접촉기하학 문서 원본 보기

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'''접촉기하학'''(接觸幾何學, {{llang|en|contact geometry}})은 '''접촉 구조'''를 연구하는, [[미분기하학]]의 한 분야이다. 짝수 차원에서 존재하는 [[심플렉틱 다양체|심플렉틱 기하학]]에 대응되는 분야이며, 홀수 차원의 다양체를 다룬다.

== 정의 ==
<math>M</math>이 <math>2n+1</math>차원의 [[매끄러운 다양체]]라고 하자. <math>M</math> 위의 '''접촉 형식'''(接觸形式, {{llang|en|contact form}})는 다음과 같은 조건을 만족하는 1차 [[미분 형식]] <math>\alpha</math>이다.
* <math>\alpha\wedge(d\alpha)^n\ne0</math>.
접촉 형식들의 집합에 다음과 같은 [[동치관계]]를 정의하자. <math>\lambda\colon M\to\mathbb R</math>가 어디서나 0이 아닌 [[연속함수]]라면,
:<math>\alpha\sim\lambda\alpha</math>.
이 동치관계에 대한 [[동치류]] <math>[\alpha]</math>를 '''접촉 구조'''(接觸構造, {{llang|en|contact structure}})라고 한다. 즉, 같은 동치류에 속하는 서로 다른 두 접촉 형식은 같은 접촉 구조를 정의한다. 또한, 접촉 형식이 국소적으로만 존재하는 경우도 있는데, 이 경우 접촉 형식들이 국소적으로 존재하여, 그 이어붙이는 구간에 서로 동치여야 한다. 이는 [[심플렉틱 기하학]]에서 심플렉틱 퍼텐셜이 국소적으로만 존재하는 것과 마찬가지다.

접촉 구조를 갖춘 매끄러운 다양체를 '''접촉다양체'''(接觸多樣體, {{llang|en|contact manifold}})라고 한다.

== 레브 벡터장 ==
접촉 형식 <math>\alpha</math>가 주어지면, '''레브 벡터장'''(Reeb vector場, {{lang|en|Reeb vector field}})은 다음 두 조건을 만족하는 유일한 벡터장 <math>X</math>이다.
* <math>X\lrcorner d\alpha=0</math> (<math>\lrcorner</math>는 내부적({{lang|en|interior product}})
* <math>X\lrcorner\alpha=1</math>.
이 벡터장은 접촉 형식에 의존한다. 즉, 같은 접촉 구조를 나타내는 접촉 형식도 다른 레브 벡터장을 가질 수 있다.

== 르장드르 부분다양체 ==
[[심플렉틱 다양체]]에는 자연스럽게 [[라그랑주 부분 다양체]]를 정의할 수 있다. 마찬가지로 접촉다양체에도 자연스러운 부분 다양체의 개념이 존재하는데, 이를 '''르장드르 부분 다양체'''({{lang|en|Legendrian submanifold}})라고 한다. <math>M</math>이 접촉다양체이고, <math>\alpha</math>가 그 (국소적) 접촉 형식이라면, 다음을 만족하는 부분다양체 <math>N\subset M</math>을 <math>M</math>의 '''르장드르 부분 다양체'''라고 한다.
* 모든 <math>x\in N</math>에서, <math>T_xN\lrcorner\alpha=0</math>.
이 조건은 접촉 형식의 선택에 의존하지 않는다. 즉, 서로 동치인 두 접촉 형식은 같은 르장드르 부분다양체를 정의한다.

== 접촉다양체의 심플렉틱화 ==
<math>2n+1</math>차원 접촉다양체 <math>M</math>이 주어지면, 다음과 같이 <math>M</math>을 부분 다양체로 갖는 <math>2n+2</math>차원 [[심플렉틱 다양체]] <math>(\hat M,\omega)</math>를 다음과 같이 정의할 수 있는데, 이를 '''심플렉틱화'''(symplectic化, {{lang|en|symplectization}})라고 한다.

다양체로서, <math>\hat M=M\times(0,\infty)</math>이다. 여기에 다음과 같이 심플렉틱 형식 <math>\omega</math>를 정의할 수 있다. <math>M</math>의 국소좌표계 <math>x^i</math>를 잡고, <math>0<\lambda<\infty</math>가 벡터 다발의 좌표라고 하자. 또한, <math>\alpha</math>가 <math>M</math>의 접촉 형식이라고 하자. 그렇다면 <math>(x^i,\lambda)</math>에 다음과 같이 심플렉틱 형식을 정의할 수 있다.
:<math>\omega=d(\lambda\alpha)=d\lambda\wedge\alpha+\lambda d\alpha</math>.

== 해밀턴 역학과의 관계 ==
[[해밀토니언]]이 시간에 의존하지 않는 경우, [[해밀턴 역학]]은 자연스럽게 [[심플렉틱 다양체|심플렉틱 기하학]]으로 다루어진다. [[해밀토니언]]이 시간에 의존하는 경우, [[해밀턴 역학]]은 자연스럽게 접촉기하학으로 다루어진다.

[[일반화 좌표|일반화 위치]] <math>q^i</math>와 [[일반화 운동량]] <math>p_i</math>, [[시간]] <math>t</math>를 좌표로 하는 <math>2n+1</math>차원 공간 <math>M</math>을 생각하자. 이를 '''확장 위상 공간'''({{llang|en|extended phase space}})이라고 한다. [[해밀토니언]] <math>H\colon M\to\mathbb R</math>는 확장 위상 공간 위에 정의된 함수다. 그렇다면 여기에 다음과 같은 접촉 형식 <math>\alpha</math>를 정의할 수 있다.
:<math>\alpha=\sum_ip_idq^i-H(q,p,t)dt</math>.
이로써 확장 위상 공간은 접촉다양체의 구조를 가진다.

이 접촉 형식의 레브 벡터장은 다음과 같다.
:<math>X=\frac1L\left(
\frac{\partial}{\partial t}
+\sum_i\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q^i}
-\sum_i\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial p^i}\right)</math>.
여기서
:<math>L=\frac{\partial H}{\partial q_i}p^i-H</math>
는 [[라그랑지언]]이다.

물리량 <math>F(q,p,t)</math>의 시간 변화는 다음과 같다.
:<math>\frac{dF}{dt}=LX^I\frac{\partial F}{\partial x^I}</math>.
(여기서 <math>x^I=(q^1,\dots,q^i,\dots,q^n,p_1,\dots,p_i,\dots,p_n,t)</math>이다.) 시간 대신 [[작용 (물리학)|작용]] <math>dS=Ldt</math>를 변수로 하면 다음과 같다.
:<math>\frac{dF}{dS}=X^I\frac{\partial F}{\partial x^I}</math>.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Etnyre|이름=John B.|장=Introductory lectures on contact geometry|권=71|날짜=2003|쪽=81–107|arxiv=math/0111118|bibcode=2001math.....11118E|doi=10.1090/pspum/071/2024631|제목=Topology and Geometry of Manifolds|기타=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 71|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-3507-4|언어골=en}}
* {{서적 인용|성=Geiges|이름=Hansjörg|arxiv=math/0307242|bibcode=2003math......7242G|장=Contact geometry|제목=Handbook of Differential Geometry, Vol. 2|출판사=North-Holland|위치=Amsterdam|날짜=2006|쪽=315–382|doi=10.1016/S1874-5741(06)80008-7|isbn= 978-0-444-52052-4}}
* Geiges, H. ''An Introduction to Contact Topology'', Cambridge University Press, 2008.
* Aebischer et al. ''Symplectic geometry'', Birkhäuser (1994), {{ISBN|3-7643-5064-4}}
* V. I. Arnold, ''Mathematical Methods of Classical Mechanics'', Springer-Verlag (1989), {{ISBN|0-387-96890-3}}
* {{저널 인용|성=Lutz|이름=Robert|제목={{lang|fr|Quelques remarques historiques et prospectives sur la géométrie  de contact}}|저널={{lang|it|Rendiconti del Seminario della Facoltà di Scienze dell’ Università di Cagliari}}|권=58 (supplement)|날짜=1988|쪽=361–393|mr=1122864|언어=fr}}
* {{저널 인용|성=Geiges|이름=H.|제목=A brief history of contact geometry and topology|저널={{lang|la|Expositiones Mathematicae}}|권=19|호=1|날짜=2001|쪽=25–53|doi=10.1016/S0723-0869(01)80014-1|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=부분다양체론|저자=기우항|공저자=김영호|위치=서울|출판사=아카넷|isbn=978-89-89103-30-1|기타=대우학술총서 497|날짜=2002|언어=ko|url=http://www.dibrary.net/search/dibrary/SearchDetail.nl?category_code=kn&service=KOLISNET&vdkvgwkey=24458154}}{{깨진 링크|url=http://www.dibrary.net/search/dibrary/SearchDetail.nl?category_code=kn&service=KOLISNET&vdkvgwkey=24458154 }}

== 같이 보기 ==
* [[사사키 다양체]]
* [[심플렉틱 다양체]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Contact structure|first=Ü.|last=Lumiste}}

{{전거 통제}}

[[분류:다양체 상의 구조]]
[[분류:미분기하학]]