점근 국소 유클리드 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''점근 국소 유클리드 공간'''(漸近局所Euclid空間, {{llang|en|asymptotically locally Euclidean space, ALE space}})는 무한대에서 4차원 유클리드 공간의 [[오비폴드]]로 근사되는 4차원 [[초켈러 다양체]]이다.

== 정의 ==
SU(2)의 유한 부분군 <math>\Gamma\le\operatorname{SU}(2)</math>가 주어졌다고 하자. 이는 [[매케이 화살집]]을 통해 ADE 분류를 갖는다.

4차원 [[초켈러 다양체]] <math>M</math> 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 '''점근 국소 유클리드 공간'''이라고 한다.<ref name="Kronheimer2"/><ref name="Anderson">{{저널 인용|이름=Michael T.|성=Anderson|arxiv=0810.4830|제목=A survey of Einstein metrics on 4-manifolds|날짜=2009|언어=en}}</ref>{{rp|§5}}
:어떤 콤팩트 집합 <math>K \subseteq M</math>을 제외하면, <math>M \setminus K</math>는 <math>\mathbb R^4 \setminus \operatorname{ball}(0,R)</math>와 [[미분 동형]]이며, 적절한 좌표계에서 다음과 같은 꼴이다.
::<math>|g_{ij}-\delta_{ij}| \in \mathcal O(r^{-4})</math>
::<math>|\partial_{k_1k_2\dotso k_p}g_{ij}| \in \mathcal O(r^{-4-p})</math>
여기서 <math>r</math>는 <math>\mathbb R^4</math>의 원소의 L<sup>2</sup> 노름이며, <math>R</math>는 충분히 큰 임의의 상수이다.

== 분류 ==
SU(2)의 유한 부분군 <math>\Gamma \le \operatorname{SU}(2)</math>가 주어졌다고 하자. (이는 [[매케이 화살집]]을 통해 ADE 분류를 갖는다.) 그렇다면, 복소수 [[아핀 대수다양체]]
:<math>X = \mathbb C^2 / \Gamma</math>
의 최소 분해({{llang|en|minimal resolution}})
:<math>\pi\colon \tilde X \to X</math>
를 생각하자. 즉, 그 예외 [[인자 (대수기하학)|인자]] <math>\pi^{-1}(0)</math>는 [[사영 직선]]들의 합집합이며, 특히 그 2차 [[특이 호몰로지]]는 (예외 인자를 구성하는 [[사영 직선]]들로 생성되므로) 유한 생성 [[자유 아벨 군]]이다.
:<math>\operatorname H_2(\tilde X;\mathbb Z) \cong \mathbb Z^n</math>
여기서 <math>n\in\mathbb N</math>은 <Math>\pi^{-1}(0)</math>을 구성하는 사영 직선의 수이다.
:<math>\pi^{-1}(0) = L_1 \cup L_2 \cup \dotsb \cup L_n</math>
또한, 이 사영 직선 <math>L_i</math>들의 [[교차 형식]]은 <math>\Gamma</math>의 [[매케이 화살집]]의 [[카르탕 행렬]]의 &minus;1배와 같다.<ref name="Anderson"/>{{rp|§5}}

이 경우, <math>\tilde X</math>의 2차 [[드람 코호몰로지]]류
:<math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\operatorname H^2(\tilde X;\mathbb R)</math>
가운데 다음 조건이 성립한다고 하자.
* 임의의 <math>L \in \operatorname H_2(\tilde X;\mathbb Z)</math>에 대하여, 만약 <math>L.L = -2</math>라면, <math>\textstyle\int_L \alpha_i \ne 0</math>인 <math>i\in\{1,2,3\}</math>가 존재한다.
그렇다면, 이 데이터를 사용하여 <math>\tilde X</math> 위에 어떤 표준적인 초켈러 구조를 구성할 수 있으며, 이 경우 세 개의 켈러 구조의 드람 코호몰로지류는 각각 <math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3</math>이다.

또한, 반대로, 임의의 점근 국소 유클리드 공간은 위와 같이 <math>(\Gamma,\tilde X,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)</math>의 데이터로 결정된다.<ref name="Kronheimer2">{{저널 인용|이름=Peter B.|성= Kronheimer|저자링크=피터 크론하이머|제목=A Torelli‐type theorem for gravitational instantons|저널=Journal of Differential Geometry|권=29|날짜=1989|쪽=685–697|doi=10.4310/jdg/1214443067|mr=992335|zbl=0671.53046|언어=en}}</ref>

== 구성 ==
=== 기번스-호킹 구성 ===
점근 국소 유클리드 공간 가운데, A형은 [[기번스-호킹 가설 풀이]]로 다음과 같이 주어진다. 우선, 좌표
:<math>\tau\in\mathbb R / (4\pi\mathbb Z)</math>
:<math>\vec r \in \mathbb R^3</math>
를 정의하자. 그렇다면, A<sub>''n''</sub>형 점근 국소 유클리드 공간의 계량은 다음과 같다.
:<math>\mathrm ds^2 = V(|\vec r|) \mathrm d\vec r^2 + \frac1{V(|\vec r|)} (\mathrm d\tau+\omega)^2</math>
:<math>V(|\vec r|) = \sum_{i=1}^N \frac1{2|\vec r|}</math>
여기서
:<math>\omega = \vec\omega \cdot \mathrm d\vec r \in \Omega^1(\mathbb R^3)</math>
는 <math>\mathbb R^3</math> 위의 [[1차 미분 형식]] 가운데
:<math>\mathrm d\omega = \star \mathrm dV</math>
인 것이다.

이 경우 <math>N=1</math>인 경우는 평탄 공간과 같으며,<ref name="EGH">{{저널 인용|제목=Gravitation, gauge theories and differential geometry|이름=Tohru|성=Eguchi|이름2=Peter B.|성2=Gilkey|이름3=Andrew J.|성3=Hanson|doi=10.1016/0370-1573(80)90130-1|저널=Physics Reports|권=66|호= 6|날짜=1980-12|쪽= 213–393|언어=en}}</ref>{{rp|363}} <math>N=2</math>인 경우는 [[에구치-핸슨 공간]]이다.<ref name="EGH"/>{{rp|363}} 즉, A형 점근 국소 유클리드 공간은 여러 개의 에구치-핸슨 공간들을 겹친 것으로 이해할 수 있다.

=== 초켈러 몫 구성 ===
모든 종류의 점근 국소 유클리드 공간은 [[초켈러 몫]]으로 구성될 수 있다.<ref name="Kronheimer1">{{저널 인용|제목=The construction of ALE spaces as hyper-Kähler quotients | 이름=Peter B.|성=Kronheimer|저자링크=피터 크론하이머|저널=Journal of Differential Geometry|권=2|호=3|날짜=1989|쪽=665–683|doi=10.4310/jdg/1214443066|mr=992334|zbl=0671.53045|언어=en}}</ref>

== 역사 ==
이러한 공간들은 원래 [[일반 상대성 이론]]에서 중력의 ‘[[순간자]]’로서 최초로 거론되었다. 최초로 발견된 점근 국소 유클리드 공간은 (4차원 [[유클리드 공간]] 자체를 제외하면) [[에구치-핸슨 공간]]이다. 이후 1989년에 [[피터 크론하이머]]가 이들을 모두 분류하였다.<ref name="Kronheimer1"/><ref name="Kronheimer2"/>

== 응용 ==
점근 국소 유클리드 공간은 [[초끈 이론]]에서 자주 등장한다.<ref>{{저널 인용|이름=Clifford|성=Johnson|이름2=Robert|성2=Myers|제목=Aspects of type ⅡB theory on ALE spaces|저널=Physical Review D|권=55|날짜=1997|쪽=6382–6393|arxiv=hep-th/9610140|언어=en}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=ALE space}}

[[분류:미분기하학]]