점근적 평탄 다양체 문서 원본 보기

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[[리만 기하학]]과 [[일반 상대성 이론]]에서 '''점근적 평탄 다양체'''(漸近的平坦多樣體, {{llang|en|asymptotically flat manifold}})는 어떤 [[콤팩트 집합]]("중심")을 제외하면, [[유클리드 공간]]에 점근적으로 근접하는 [[리만 계량]]을 갖는 조각들("끝")로 구성된 [[리만 다양체]]이다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원 [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>가 주어졌다고 하고, 또 어떤 양의 실수 <math>\alpha\in\mathbb R^+</math>가 주어졌다고 하자.
<math>M</math>의 '''점근적 평탄 끝'''({{llang|en|asymptotically flat end}}) <math>(\Sigma,\iota_\Sigma)</math>는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>M</math>의 <math>n</math>차원 부분 다양체 <math>\Sigma\subseteq M</math>
* [[미분 동형 사상]] <math>\iota_\Sigma\colon\{x\in\mathbb R^n\colon \|x\|>1\}\to\Sigma</math>
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>\frac{\partial^l}{\partial x^{i_1}\partial x^{i_2}\cdots\partial x^{i_l}}\left(\iota_\Sigma^*g\left(\frac\partial{\partial x_i},\frac\partial{\partial x_j}\right)-\delta_{ij}\right)\in O(r^{-\alpha-l})\qquad\forall l\in\{0,1,2\},\;\forall i_1,i_2,\dots,i_l,i,j\in\{1,\dots,n\}</math>
여기서
:<math>r=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x^i)^2}</math>
이다. 위 조건을 지표 표기법으로 줄여 쓰면 다음과 같다.
:<math>\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_l}(g_{ij}-\delta_{ij})\in O(r^{-\alpha-l})\qquad\forall l\in\{0,1,2\},\;\forall i_1,i_2,\dots,i_l,i,j\in\{1,\dots,n\}</math>

<math>n</math>차원 리만 다양체 <math>(M,g)</math>와 그 유한 개의 점근적 평탄 끝 <math>(\iota_1,\Sigma_a)_{a=1,\dots,m}</math>이 주어졌으며, 만약
:<math>M\setminus(\Sigma_1\cup\Sigma_2\cup\cdots\Sigma_m)</math>
이 [[콤팩트 공간]]이라면, <math>M</math>을 '''점근적 평탄 다양체'''({{llang|en|asymptotically flat manifold}})라고 한다. 이 경우, 위의 <math>m</math>의 최솟값을 <math>M</math>의 '''끝의 수'''({{llang|en|number of ends}})라고 한다.

=== 로런츠 다양체의 경우 ===
위 조건은 리만 다양체를 마치 공간처럼 여겨 정의한 개념이다. 마찬가지로, [[로런츠 다양체]]를 [[시공간]]으로 여겨 비슷한 조건을 정의할 수 있다.

<math>n+1</math> [[로런츠 다양체]] <math>(\mathcal M,g)</math>가 주어졌다고 하고, 또 어떤 양의 실수 <math>\alpha\in\mathbb R^+</math>가 주어졌다고 하자.

<math>\mathcal M</math>의 '''점근적 평탄 끝'''({{llang|en|asymptotically flat end}}) <math>(\Sigma,\iota_\Sigma)</math>는 다음과 같은 데이터로 주어진다.<ref name="CGP"/>{{rp|§3.6}}
* <math>\mathcal M</math>의 <math>n</math>차원 공간형 부분 다양체 <math>\Sigma\subseteq M</math> (즉, <math>g\restriction\Sigma</math>는 [[리만 계량]]을 이룬다)
* [[미분 동형 사상]] <math>\iota_\Sigma\colon\{x\in\mathbb R^n\colon \|x\|>1\}\to\Sigma</math>
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_l}(g_{ij}-\delta_{ij})\in O(r^{-\alpha-l})\qquad\forall l\in\{0,1,2\},\;\forall i_1,i_2,\dots,i_l,i,j\in\{1,\dots,n\}</math>
:<math>\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_l}(\operatorname{II}_{ij}-\delta_{ij})\in O(r^{-\alpha-l})\qquad\forall l\in\{0,1,2\},\;\forall i_1,i_2,\dots,i_l,i,j\in\{1,\dots,n\}</math>
여기서
:<math>r=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x^i)^2}</math>
이며, <math>\operatorname{II}_{ij}</math>는 <math>\Sigma</math>의 [[제2 기본 형식]]이다. (이는 <math>\mathrm T^*\Sigma\otimes\mathrm T^*\Sigma\otimes\mathrm N_{\mathcal M/\Sigma}</math>의 [[단면 (올다발)|단면]]인데, [[법다발]] <math>\mathrm N_{\mathcal M/\Sigma}</math>은 <math>\mathcal M</math>의 로런츠 계량 <math>g</math>로 인하여 표준적으로 [[단위벡터|단위 벡터]] 단면을 잡을 수 있다.)

진공 [[아인슈타인 방정식]]의 해의 경우, <math>n\ge3</math>이라면 항상 <math>\alpha=n-2</math>로 잡을 수 있다.<ref name="CGP">{{저널 인용|제목=Mathematical general relativity: a sampler|이름1=Piotr T.|성1=Chruściel|이름2=Gregory J.|성2=Galloway|이름3=Daniel|성3=Pollack|arxiv=1004.1016|bibcode=2010arXiv1004.1016C|mr=2721040|doi=10.1090/S0273-0979-2010-01304-5|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=47|호=4|날짜=2010-10|쪽=567–638|issn=0273-0979|언어=en}}</ref>{{rp|(3.26), §3.7}}

== 예 ==
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]]는 자명하게 0개의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다. [[유클리드 공간]]은 자명하게 하나의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다.

원점을 제외한 유클리드 공간 <math>\mathbb R^n\setminus\{0\}</math> 위에 다음과 같은 [[리만 계량]]을 주자.
:<math>\mathrm ds^2=r^{-2}\,\mathrm dr^2+(\ln(r+1/r))^2\,\mathrm d\Omega^2</math>
좌표 변환
:<math>r=\exp t</math>
를 가하면 이는
:<math>\mathrm ds^2=\mathrm dt^2+(\ln(2\cosh(t))^2\,\mathrm d\Omega^2</math>
가 되므로, 이는 <math>t\to\pm\infty</math>에서
:<math>\mathrm ds^2\approx\mathrm dt^2+|t|^2\,\mathrm d\Omega^2</math>
이다. 따라서, 이는 두 개의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다.

4차원 이상의 시공간에서, [[슈바르츠실트 계량]]은 ([[질량 중심]] 틀에서 <math>t=0</math> 조각을 생각한다면) 점근적 평탄 다양체를 이룬다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[아인슈타인 방정식]]

{{전거 통제}}

[[분류:일반 상대성이론]]
[[분류:리만 기하학]]
[[분류:로런츠 다양체]]