절댓값 (대수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수학]] 및 [[대수적 수론]]에서 '''절댓값'''(絶對값, {{llang|en|absolute value}})은 [[정역]]의 원소의 크기를 측정하는 실수 함수이다. 초등 수학에서의 [[절댓값]]을 일반화한다.

== 정의 ==
[[정역]] <math>D</math> 위의 '''절댓값'''은 다음 조건들을 만족시키는 함수 <math>|\cdot|\colon D\to\mathbb R_{\ge0}</math>이다.<ref name="Neukirch">{{서적 인용|성=Neukirch|이름=Jürgen|저자링크=위르겐 노이키르히|기타=Norbert Schappacher 역|날짜=1999|제목=Algebraic number theory|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|issn=0072-7830|권=322|출판사=Springer|isbn=978-3-540-65399-8|zbl=0956.11021|mr=1697859|doi=10.1007/978-3-662-03983-0|언어=en}}</ref>{{rp|116, Definition 3.1}}
* 임의의 <math>x\in D</math>에 대하여, <math>|x|=0\iff x=0</math>
* 임의의 <math>x,y\in D</math>에 대하여, <math>|xy|=|x||y|</math>
* ([[삼각 부등식]]) 임의의 <math>x,y\in D</math>에 대하여, <math>|x+y|\le|x|+|y|</math>
정역 <math>D</math> 위의 절댓값은 그 [[분수체]] <math>K=\operatorname{Frac}D</math> 위로 다음과 같이 확장할 수 있다.
:<math>|x/y|=|x|/|y|\qquad\forall x,y\in D</math>
절댓값을 갖춘 정역 <math>(D,|\cdot|)</math> 위에는 다음과 같이 [[거리 함수]]를 정의하여, [[거리 공간]]으로 만들 수 있다.
:<math>d(x,y)=|x-y|</math>

절댓값의 공리에 따라, <math>|1|=|-1|=1</math>이다. 또한, 다음이 성립함을 보일 수 있다.
:<math>|n|\le n\qquad\forall n\in\mathbb N</math>

=== 비아르키메데스 절댓값 ===
[[정역]] <math>D</math> 위의 절댓값 <math>|\cdot|</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 절댓값을 '''비아르키메데스 절댓값'''({{llang|en|non-Archimedean absolute value}})이라고 한다.
* ([[초거리 부등식]])  임의의 <math>x,y\in D</math>에 대하여, <math>|x+y|\le\max\{|x|,|y|\}</math>
* <math>\{|\overbrace{1+1+\cdots+1}^n|\colon n\in\mathbb N\}</math>이 [[유계 집합]]이다.
비아르키메데스 절댓값이 아닌 절댓값을 '''아르키메데스 절댓값'''({{llang|en|Archimedean absolute value}})이라고 한다.

비아르키메데스 절댓값의 [[로그]]를 취하면, <math>a\mapsto-\log|a|</math>는 [[값매김]]을 이룬다. 반대로, 실수 덧셈군(의 부분군)을 값군으로 갖는 [[값매김]] <math>v</math>가 주어졌다면, 그 [[지수 함수]] <math>a\mapsto\exp(-v(a))</math>는 비아르키메데스 절댓값을 이룬다.

비아르키메데스 절댓값 <math>|\cdot|</math>을 갖춘 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, 절댓값이 1 이하인 원소들은 [[값매김환]]을 이룬다. 이를 <math>K</math>의 <math>|\cdot|</math>에 대한 '''정수환'''({{llang|en|ring of integers}})이라고 한다.

=== 자리 ===
같은 정역 <math>D</math> 위의 두 절댓값 <math>|\cdot|</math>, <math>|\cdot|'</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 두 절댓값들이 서로 '''동치'''라고 한다.
* 임의의 <math>x\in D</math>에 대하여, 만약 <math>|x|<1</math>이면 <math>|x|'<1</math>이다.
* 임의의 <math>x\in D</math>에 대하여, <math>|x|<1</math>과 <math>|x|'<1</math>이 [[동치]]이다.
* <math>|\cdot|</math>과 <math>|\cdot|'</math>은 <math>D</math> 위에 같은 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 정의한다.
* <math>|\cdot|=|\cdot|^s</math>인 양의 실수 <math>s\in\mathbb R^+</math>가 존재한다.
절댓값의 동치는 [[동치 관계]]이며, 이에 대한 자명하지 않은 [[동치류]]를 '''자리'''({{llang|en|place}})라고 한다.

=== 완비화 ===
절댓값을 갖춘 [[정역]] <math>D</math>는 [[거리 공간]]을 이루므로, [[코시 열]]을 정의할 수 있으며, 이들은 각 성분의 덧셈과 곱셈에 대하여 [[가환환]]을 이룬다. 절댓값들이 0으로 수렴하는 코시 열 <math>(x_i)_{i\in\mathbb N}\subset D</math>들은 코시 열들의 환의 [[소 아이디얼]]을 이루며, 따라서 그 몫환은 [[정역]]을 이룬다. 이 정역을 <math>D</math>의 절댓값 <math>|\cdot|</math>에 대한 '''완비화'''({{llang|en|completion}})라고 한다. 이는 [[거리 공간]]으로서의 [[완비 거리 공간|완비화]]와 일치한다.

== 예 ==
임의의 정역 <math>D</math> 위의 '''자명 절댓값'''({{llang|en|trivial absolute value}})은 다음과 같다.
:<math>|x|_0=\begin{cases}0&x=0\\1&x\ne0\end{cases}</math>

[[유리수체]]와 [[실수체]], [[복소수체]]의 경우, 초등 수학의 [[절댓값]]은 대수적 절댓값을 이룬다.
:<math>|\cdot|_{\mathbb R}\colon x\mapsto\begin{cases}x&x\ge0\\-x&x<0\end{cases}</math>
:<math>|\cdot|_{\mathbb C}\colon x+iy\mapsto\sqrt{x^2+y^2}</math>

=== 𝔭진 절댓값 ===
[[데데킨트 정역]] <math>D</math>가 주어졌을 때, <math>D</math>의 영 아이디얼이 아닌 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math>에 대하여 '''<math>\mathfrak p</math>진 절댓값'''({{llang|en|<math>\mathfrak p</math>-adic absolute value}}) <math>|\cdot|_{\mathfrak p}</math>은 <math>D</math> 위의 절댓값이며, 다음과 같다.
:<math>|x|_{\mathfrak p}=\begin{cases}0&x=0\\\exp(-n)&(x)=\mathfrak p^n\mathfrak q,\qquad\mathfrak p\nmid\mathfrak q,\qquad n\in\mathbb N\end{cases}</math>
이는 물론 <math>\operatorname{Frac}D</math> 위의 절댓값으로 확대할 수 있다.

=== 대수적 수체 ===
'''오스트롭스키 정리'''(Островский定理, {{llang|en|Ostrowski theorem}})에 따르면, [[대수적 수체]] <math>K</math> 위의 자리들의 목록은 다음과 같다.
* 자명 절댓값 <math>|\cdot|_0</math>과 동치인 자리. 이를 '''자명 자리'''({{llang|en|trivial place}})라고 한다.
* [[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_K</math>의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math>에 대하여, <math>\mathfrak p</math>진 절댓값의 자리. 이를 '''유한 자리'''({{llang|en|finite place}})라고 한다.
* 실수로의 매장 <math>\iota\colon K\hookrightarrow\mathbb R</math>에 대하여, <math>|\cdot|_\iota=|\cdot|_{\mathbb R}\circ\iota</math>. 여기서 <math>|\cdot|_{\mathbb R}</math>는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 '''실 무한 자리'''({{llang|en|real infinite place}})라고 한다.
* 복소수로의 매장 <math>\iota\colon K\hookrightarrow\mathbb C</math>에 대하여 (<math>\iota(K)\not\subset\mathbb R</math>), <math>|\cdot|_\iota=|\cdot|_{\mathbb C}\circ\iota</math>. 여기서 <math>|\cdot|_{\mathbb C}</math>는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, <math>\iota</math>와 <math>\bar\iota</math>는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 '''복소 무한 자리'''({{llang|en|complex infinite place}})라고 한다.

예를 들어, [[유리수체]]의 자리의 목록은 다음과 같다.
* 자명 자리 <math>|\cdot|_0</math>
* 소수 <math>p</math>에 대하여, <math>p</math>진 자리 <math>|\cdot|_p</math>
* 하나의 실 무한 자리 <math>|\cdot|_\infty</math>

'''겔판트-토른하임 정리'''(Гельфанд-Tornheim定理, {{llang|en|Gelfand–Tornheim theorem}})에 따르면, 아르키메데스 절댓값을 갖는 임의의 [[체 (수학)|체]]는 [[복소수체]]의 부분체이며, 아르키메데스 절댓값은 이 복소 매장에 의하여 유도되는 절댓값과 동치이다.

[[대수적 수체]] <math>K</math>의 [[대수적 정수환]]은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환들의 [[교집합]]이다.<ref>{{서적 인용| last=Cassels | first=J.W.S. | authorlink=존 윌리엄 스콧 캐셀스| title=Local fields | zbl=0595.12006 | series=London Mathematical Society Student Texts | volume=3 | publisher=Cambridge University Press | 날짜=1986 | isbn=0-521-31525-5 |언어=en}}</ref>{{rp|192}}

== 역사 ==
[[퀴르샤크 요제프]]가 1913년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Kürschák|이름=Josef|저자링크=퀴르샤크 요제프|제목=Über Limesbildung und allgemeine Körpertheorie|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002167751|권=142|날짜=1913|쪽=211–253|doi=10.1515/crll.1913.142.211|jfm=44.0239.01|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Norm on a field}}
* {{eom|title=Valuation}}
* {{매스월드|id=Valuation|title=Valuation}}

{{전거 통제}}

[[분류:추상대수학]]
[[분류:대수적 수론]]