절대 수렴 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''절대 수렴'''(絶對收斂, {{llang|en|absolute convergence}})은 [[급수 (수학)|급수]]가 각 항에 [[절댓값]]을 취하였을 때 [[수렴]]하는 성질이다.<ref name="Bogachev">{{서적 인용
|성1=Bogachev
|이름1=V. I.
|성2=Smolyanov
|이름2=O. G.
|제목=Topological Vector Spaces and Their Applications
|언어=en
|총서=Springer Monographs in Mathematics
|출판사=Springer
|위치=Cham
|날짜=2017
|isbn=978-3-319-57116-4
|issn=1439-7382
|doi=10.1007/978-3-319-57117-1
|lccn=2017939903
|zbl=1378.46001
}}</ref><ref name="Kadets">{{서적 인용
|성1=Kadets
|이름1=Mikhail I.
|성2=Kadets
|이름2=Vladimir M.
|제목=Series in Banach Spaces. Conditional and Unconditional Convergence
|언어=en
|총서=Operator Theory Advances and Applications
|권=94
|출판사=Birkhäuser
|위치=Basel
|날짜=1997
|isbn=978-3-0348-9942-0
|doi=10.1007/978-3-0348-9196-7
|zbl=0876.46009
}}</ref><ref name="Schaefer">{{서적 인용
|성1=Schaefer
|이름1=H. H.
|성2=Wolff
|이름2=M. P.
|제목=Topological Vector Spaces
|언어=en
|판=2
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=3
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=1999
|isbn=978-1-4612-7155-0
|issn=0072-5285
|doi=10.1007/978-1-4612-1468-7
|zbl=0983.46002
}}</ref> 만약 어떤 [[실수]]항 또는 [[복소수]]항 급수가 절대 수렴한다면, 원래의 급수 역시 수렴한다.

== 실수항 또는 복소수항 급수 ==
=== 정의 ===
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자.

<math>\mathbb K</math> 항의 급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n</math> (<math>x_n\in\mathbb K</math>)가 주어졌을 때, 만약 각 항에 [[절댓값]]을 취하여 얻는 음이 아닌 실수 항의 급수가 [[수렴]]한다면, 즉
:<math>\sum_{n=0}^\infty|x_n|<\infty</math>
라면, 원래의 급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n</math>가 '''절대 수렴'''한다고 한다.

=== 성질 ===
<math>\mathbb K</math> 항의 급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n</math> (<math>x_n\in\mathbb K</math>)가 주어졌다고 하자.

만약 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n</math>이 절대 수렴한다면, 원래의 급수 역시 수렴한다 ('''절대 수렴 판정법''', 絶對收斂判定法, {{llang|en|absolute convergence test}}). 그러나 그 역은 성립하지 않는다. <math>\mathbb K</math> 항의 급수가 수렴하지만 절대 수렴하지 않는다면, '''[[조건 수렴]]'''한다고 한다. 또한, 임의의 [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(\{0,1,2,\dots\})</math>에 대하여, 그 순열을 통해 항을 재배열하여 얻는 급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_{\sigma(n)}</math> 역시 수렴하며, 합은 원래의 급수와 같다.<ref name="Kadets" />{{rp|5, §1.1, Theorem 1.1.2}} 이는 임의의 [[바나흐 공간]] 또는 [[프레셰 공간]] 위에서도 성립한다.
{{증명}}
실수항 급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n</math> (<math>x_n\in\mathbb R</math>)가 절대 수렴한다고 가정하자. 그렇다면, 임의의 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>0\le x_n+|x_n|\le 2|x_n|</math>이므로, 임의의 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여
:<math>\sum_{k=0}^n(x_k+|x_k|)\le 2\sum_{k=0}^n|x_k|</math>
이다. 따라서
:<math>\sum_{k=0}^\infty(x_k+|x_k|)\le 2\sum_{k=0}^\infty|x_k|<\infty</math>
이다. 즉, <math>\textstyle\sum_{k=0}^\infty(x_k+|x_k|)</math>는 수렴한다. <math>\textstyle\sum_{k=0}^\infty|x_k|</math> 역시 수렴하므로, <math>\textstyle\sum_{k=0}^\infty x_k</math>는 수렴한다.
{{증명 끝}}

만약 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n</math>이 [[조건 수렴]]한다면, <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_{\sigma(n)}</math>이 발산하게 되는 [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(\{0,1,2,\dots\})</math>이 존재한다.

만약 <math>\mathbb K=\mathbb R</math>이며, <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n</math>이 [[조건 수렴]]한다면, 임의의 [[확장된 실수]] <math>s\in[-\infty,\infty]</math>에 대하여, <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_{\sigma(n)}=s</math>이게 되는 [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(\{0,1,2,\dots\})</math>이 존재한다 ('''[[리만 재배열 정리]]''').<ref name="Kadets" />{{rp|6, §1.1, Theorem 1.1.3}}

== 노름 공간 위의 급수 ==
=== 정의 ===
<math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]] <math>(X,\Vert\cdot\Vert)</math> 위의 급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n</math> (<math>x_n\in X</math>)가 주어졌을 때, 만약 각 항에 [[노름]]을 취하여 얻는 음이 아닌 실수 항의 급수가 [[수렴]]한다면, 즉
:<math>\sum_{n=0}^\infty\Vert x_n\Vert<\infty</math>
라면, 원래의 급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n</math>가 '''절대 수렴'''한다고 한다.

=== 성질 ===
[[바나흐 공간]] 위의 모든 절대 수렴 급수는 [[무조건 수렴]]하며, 특히 (통상적인 의미에서) 수렴한다.<ref name="Kadets" />{{rp|9, §1.3}} 유한 차원 [[노름 공간]] 위의 모든 [[무조건 수렴]] 급수는 절대 수렴한다.<ref name="Kadets" />{{rp|10, §1.3, Theorem 1.3.5}} 이에 따라, 유한 차원 [[바나흐 공간]] 위에서 절대 수렴은 [[무조건 수렴]]과 [[동치]]이다. 무한 차원 [[바나흐 공간]] 위에는 [[무조건 수렴]]하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 존재한다 ('''[[드보레츠키-로저스 정리]]''').<ref name="Kadets" />{{rp|48, §4.1, Theorem 4.1.1}}<ref name="Schaefer" />{{rp|184, §IV.10, (10.7), Corollary 3}}

== 위상 벡터 공간 위의 급수 ==
=== 정의 ===
[[하우스도르프 공간|하우스도르프]] <math>\mathbb K</math>-[[국소 볼록 공간]] <math>X</math> 위의 급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n</math> (<math>x\in X</math>)가 주어졌을 때, 만약 임의의 [[연속 함수|연속]] [[반노름]] <math>\nu\colon X\to[0,\infty)</math>에 대하여,
:<math>\sum_{n=0}^\infty\nu(x_n)<\infty</math>
라면, 원래의 급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n</math>가 '''절대 수렴'''한다고 한다.

=== 성질 ===
[[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[완비 균등 공간|완비]] [[국소 볼록 공간]] 위의 모든 절대 수렴 급수는 [[무조건 수렴]]하며, 특히 (통상적인 의미에서) 수렴한다.<ref name="Schaefer" />{{rp|120, §III, Exercise 23, (a)}} 특히, [[프레셰 공간]] 위의 모든 절대 수렴 급수는 [[무조건 수렴]] 및 수렴한다. 유한 차원 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 볼록 공간]] 위의 모든 [[무조건 수렴]] 급수는 절대 수렴한다.<ref name="Schaefer" />{{rp|120, §III, Exercise 23, (b)}} [[핵공간|핵]]({{llang|en|nuclear}}) [[프레셰 공간]] 위에서 절대 수렴은 [[무조건 수렴]]과 [[동치]]이며, 비(非)[[핵공간|핵]] [[프레셰 공간]] 위에는 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 존재한다.<ref name="Bogachev" />{{rp|138, §2.9, Theorem 2.9.14}}<ref name="Schaefer" />{{rp|184, §IV.10, (10.7), Corollary 2}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Absolutely convergent series}}
* {{eom|제목=Absolutely convergent improper integral}}
* {{매스월드|id=AbsoluteConvergence|제목=Absolute convergence}}

{{급수}}

[[분류:적분학]]
[[분류:급수]]
[[분류:수렴]]