절대 논리식 문서 원본 보기

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[[모형 이론]]에서 '''절대 논리식'''(絶對論理式, {{llang|en|absolute formula}})은 모든 [[모형 (논리학)|모형]]에서 참인 [[논리식]]이다.

== 정의 ==
=== 절대 문장 ===
[[1차 논리]] 언어 <math>\mathcal L</math>의 [[구조 (논리학)|구조]]들의 모임 <math>\mathcal M</math>이 주어졌다고 하자. (예를 들어, <math>\mathcal M</math>은 어떤 <math>\mathcal L</math>의 문장들의 집합 <math>\mathcal T\subseteq\operatorname{Sent}(\mathcal L)</math>이 성립하는 <Math>\mathcal L</math>-구조들의 모임일 수 있다.)

1차 논리 언어 <math>\mathcal L</math>의 문장 <math>\phi\in\operatorname{Sent}(\mathcal L)</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, <math>\mathcal M</math> 속에서 '''절대 문장'''({{llang|en|absolute sentence}})이라고 한다.
* 임의의 두 <math>\mathcal L</math>-[[구조 (논리학)|구조]] <math>M,M'\in\mathcal M</math>에 대하여, <math>M\models\phi\iff M'\models\phi</math>이다. 즉, <math>\mathcal M</math>에 속하는 모든 구조에서 동시에 참이거나 동시에 거짓이다.

=== 상향·하향 절대 논리식 ===
1차 논리 언어 <math>\mathcal L</math>의 구조 <math>M</math>이 주어졌다고 하자.

<math>\mathcal L</math>-[[논리식]] <math>\phi(x_1,\dots,x_n)\in\operatorname{wff}(\mathcal L)</math>가 <math>n</math>개의 자유 변수 <math>x_1,\dots,x_n</math>를 갖는다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, <math>\phi</math>가 '''<math>M</math>-하향 절대 논리식'''({{llang|en|downward-absolute formula}})이라고 한다.
:<math>M</math>의 임의의 <math>\mathcal L</math>-부분 구조 <math>M'\subseteq M</math> 및 임의의 <math>m_1,m_2,\dots,m_n\in M'</math>에 대하여, <math>M\models\phi[m_1,\dots,m_n]\implies M'\models\phi[m_1,\dots,m_n]</math>이다.
마찬가지로, 만약 다음 조건이 성립한다면, <math>\phi</math>가 '''<math>M</math>-상향 절대 논리식'''({{llang|en|upward-absolute formula}})이라고 한다.
:<math>M</math>을 부분 구조로 포함하는 임의의 <math>\mathcal L</math>-구조 <math>(M',\in)</math> 및 임의의 <math>m_1,m_2,\dots,m_n\in M</math>에 대하여, <math>M\models\phi[m_1,\dots,m_n]\Longleftarrow M'\models\phi[m_1,\dots,m_n]</math>이다.

=== 추이적 절대 논리식 ===
집합론의 명제의 경우, [[폰 노이만 전체]] <math>V</math>는 집합론의 언어 <math>\mathcal L_\in</math>의 [[고유 모임]] 구조이다. 이 경우, <math>\mathcal L_\in</math>-논리식 <math>\phi(x_1,\dots,x_n)\in\operatorname{wff}(\mathcal L_\in)</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, <math>\phi</math>가 '''추이적 절대 논리식'''이라고 한다.<ref name="Kunen">{{서적 인용|title=Set theory: an introduction to independence proofs|성=Kunen|이름=Kenneth|저자링크=케네스 쿠넌|publisher=North-Holland|날짜=1980|isbn=978-0-444-86839-8|url=http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|총서=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|권=102|zbl=0534.03026|mr=597342|언어=en|확인날짜=2016-08-08|보존url=https://web.archive.org/web/20160911102401/http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|보존날짜=2016-09-11|url-status=dead}}</ref>{{rp|117, Definition IV.3.1(2)}}
:<math>\mathsf{ZFC}</math>의 [[표준 추이적 모형]] <math>M\in\mathcal M</math> 및 집합 <math>m_1,\dots,m_k\in M</math>에 대하여, <math>(M\models\phi[m_1,\dots,m_k])\iff \phi[m_1,\dots,m_k]</math>

== 예 ==
다음과 같은 논리식들은 추이적 절대 논리식이다.
* <math>x=\varnothing</math>
* <math>x</math>는 (폰 노이만 정의) [[순서수]]이다.
* <math>x</math>는 유한 [[순서수]]이다.
* <math>x=\omega</math>
* <math>x</math>는 [[함수의 그래프]]이다.
다음과 같은 논리식들은 추이적 절대 논리식이 아니다.
* <math>x</math>는 [[가산 집합]]이다.

=== 숀필드 절대성 정리 ===
[[체르멜로-프렝켈 집합론]](<math>\mathsf{ZF}</math>)의 모형 <math>M</math>이 주어졌을 때, 그 속의 [[자연수]] 집합 <math>\mathbb N^M</math>은 [[페아노 공리계]]의 모형을 이룬다. [[체르멜로-프렝켈 집합론]](<math>\mathsf{ZF}</math>)의 [[표준 추이적 모형]] <math>M</math>과, 그 속의 [[구성 가능 전체]] <math>L^M\subseteq M</math>를 생각하자. 그렇다면, <math>L^M</math>을 포함하는, <math>M</math>의 부분 구조 가운데 <math>\mathsf{ZF}</math>의 모형인 것들의 집합
:<math>\{M'\subseteq M\colon L^M\subseteq M',\;M'\models\mathsf{ZF}\}</math>
을 생각하자. 그렇다면 이 모형들의 자연수 집합들
:<math>\mathcal N=\{\mathbb N^{M'}\subseteq M\colon L^M\subseteq M',\;M'\models\mathsf{ZF}\}</math>
을 생각할 수 있다.

'''숀필드 절대성 정리'''({{llang|en|Shoenfield absoluteness theorem}})에 따르면, [[페아노 공리계]]의 언어의 <math>\Pi_2^1</math> 문장과 <math>\Sigma^1_2</math> 문장들은 <math>\mathcal N</math>에 대하여 절대 문장이다.

== 같이 보기 ==
* [[보존적 확장]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:모형 이론]]
[[분류:논리학 개념]]