절대 갈루아 군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Complex_conjugate_picture.svg|섬네일|[[실수]]의 절대 갈루아 군 <math>\operatorname{Gal}(\mathbb C/\mathbb R)</math>은 2차 [[순환군]]이다. 이는 <math>\mathbb C</math>가 <math>\mathbb R</math>의 [[분해 가능 폐포]]이며, 차수가 2이기 때문이다.]]
[[대수적 수론]] 및 [[체론]]에서, '''절대 갈루아 군'''(絶對Galois群, {{llang|en|absolute Galois group}})은 주어진 [[체 (수학)|체]]의 최대 [[갈루아 확대]]의 [[갈루아 군]]이다. [[분해 가능 폐포]] <math>K^{\operatorname{sep}}</math>의 선택에 의존하지만, 이는 체의 확대의 동형 아래 유일하므로, 절대 갈루아 군은 “[[내부 자기 동형]]” 아래 유일하다. 또한, 절대 갈루아 군의 [[군 코호몰로지]]는 분해 가능 폐포의 선택에 의존하지 않는다. [[완전 비분해 확대]]의 [[자기 동형군]]은 자명하므로, 절대 갈루아 군은 [[대수적 폐포]] <math>\bar K</math>의 [[자기 동형군]]과 [[동형]]이지만, 대수적 폐포는 [[갈루아 확대]]가 아닐 수 있다.

[[대역체]]의 절대 갈루아 군의 구조에 대한 완전한 이해는 요원하며, 이는 [[대수적 수론]] 및 [[산술 기하학]]의 주요 목표 가운데 하나다.

== 정의 ==
임의의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>가 주어졌을 때, 그 [[분해 가능 폐포]] <math>K^{\operatorname{sep}}</math>는 <math>K</math>의 [[갈루아 확대]]를 이룬다. (<math>K</math>가 [[완전체]]일 때, <math>K^{\operatorname{sep}}</math>는 [[대수적 폐포]] <math>\bar K</math>와 같다. 이는 예를 들어 [[환의 표수|표수]] 0의 체나 [[유한체]]에 대하여 성립한다.) 그 [[갈루아 군]]
:<math>\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K)</math>
(즉, <math>K</math> 위에서 항등인 <math>K^{\operatorname{sep}}</math>의 [[자기 동형 사상]]들이 [[함수의 합성]]에 따라 이루는 [[군 (수학)|군]])을 <math>K</math>의 '''절대 갈루아 군'''이라고 한다.

[[체 (수학)|체]] <math>K</math>의 절대 갈루아 군은 <math>K^{\operatorname{sep}}</math>의 선택에 의존하지만, 동형 아래 유일하다. 구체적으로, <math>L/K</math>와 <math>\sigma(L)/\sigma(K)</math>가 [[분해 가능 폐포]]이며,
:<math>\sigma\in\operatorname{Isom}(L/K,\sigma(L)/\sigma(K))</math>
가 그 사이의 <math>K</math>-대수 동형일 때,
:<math>\operatorname{Gal}(\sigma(L)/\sigma(K))=\sigma\circ\operatorname{Gal}(L/K)\circ\sigma^{-1}</math>
이다.

== 성질 ==
=== 노이키르히-우치다 정리 ===
'''노이키르히-우치다 정리'''({{llang|en|Neukirch–Uchida theorem}})에 따르면, 임의의 두 [[대수적 수체]] <math>K_1</math>, <math>K_2</math> 및 절대 갈루아 군 사이의 위상군 [[동형 사상]]
:<math>\phi\colon\operatorname{Gal}(\bar K_1/K_1)\xrightarrow\cong\operatorname{Gal}(\bar K_2/K_2)</math>
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 체 [[동형 사상]] <math>\sigma\colon\bar K_1\xrightarrow\cong\bar K_2</math>가 존재한다.
:<math>\sigma(K_1)=K_2</math>
:<math>\phi(g)=\sigma\circ g\circ\sigma^{-1}\qquad\forall g\in\operatorname{Gal}(\bar K_1/K_1)</math>
이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.
:<math>\begin{matrix}
K_1 & \hookrightarrow & \bar{K_1} & \xrightarrow[\cong]g & \bar{K_1} \\
{\scriptstyle\sigma|_{K_1}}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle\sigma} & & \downarrow{\scriptstyle\sigma} \\
K_2 & \hookrightarrow & \bar{K_2} & \xrightarrow[\phi(g)]{\cong} & \bar{K_2}
\end{matrix}
</math>
특히, 임의의 두 [[대수적 수체]] <math>K_1</math>, <math>K_2</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\operatorname{Gal}(\bar{K_1}/K_1)\cong\operatorname{Gal}(\bar{K_2}/K_2)</math>
* <math>K_1\cong K_2</math>

=== 역문제 ===
모든 [[사유한군]]은 어떤 [[갈루아 확대]]의 [[갈루아 군]]과 [[동형]]이지만,<ref name="FriedJarden3"/>{{rp|12}} 모든 사유한군이 어떤 절대 갈루아 군과 동형이지는 않다. 예를 들어, [[아르틴-슈라이어 정리]]에 따르면, 유한 절대 갈루아 군은 [[자명군]]이거나 2차 순환군이다.

모든 [[사영 사유한군]]은 어떤 [[유사 대수적으로 닫힌 체]]의 절대 갈루아 군과 [[동형]]이다. 이 결과는 알렉산데르 루보츠키({{llang|he|אלכסנדר לובוצקי}})와 라우 판덴드리스({{llang|nl|Lou van den Dries}})가 증명하였다.<ref name="FriedJarden3">{{서적 인용|성1=Fried|이름1=Michael D.|성2=Jarden|이름2=Moshe|제목=Field arithmetic|언어=en|판=3|총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge|권=11|출판사=Springer|위치=Berlin|날짜=2008|isbn=978-3-540-77269-9|issn=0071-1136|doi=10.1007/978-3-540-77270-5|mr=2445111|zbl=1145.12001|lccn=2008924174|id={{구글 도서 식별자|FNkMaZrvpvsC}}}}</ref>{{rp|208, 545}}

== 예 ==
[[대수적으로 닫힌 체]]의 절대 갈루아 군은 [[자명군]]이다.

[[실수체]]의 절대 갈루아 군
:<math>\operatorname{Gal}(\mathbb C/\mathbb R)\cong\mathbb Z/2</math>
은 2차 [[순환군]]이며, 이는 [[항등 함수]]와 [[복소켤레]]로 이루어진다.

=== 유한체 ===
임의의 [[유한체]] <math>\mathbb F_q</math>의 절대 갈루아 군은 정수환의 [[사유한 완비화]]와 [[동형]]이다.<ref>{{인용
| last=Szamuely
| first=Tamás
| title=Galois Groups and Fundamental Groups
| publisher=[[Cambridge University Press]]
| location=[[Cambridge]]
| series=Cambridge studies in advanced mathematics
| volume=117
| year = 2009
}}</ref>
:<math>\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb F_q}/\mathbb F_q)\cong\hat\mathbb Z=\varprojlim_n\mathbb Z/n\mathbb Z\cong\prod_p\mathbb Z_p</math>
또한, [[프로베니우스 사상]]
:<math>\operatorname{Frob}_{\mathbb F_q}\in\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb F_q}/\mathbb F_q)</math>
:<math>\operatorname{Frob}_{\mathbb F_q}\colon x\mapsto x^q</math>
은 그 위상 생성원({{llang|en|topological generator}})을 이룬다 (즉, 이를 생성원으로 하는 [[순환군]]은 절대 갈루아 군의 [[조밀 집합|조밀]] 부분군이다).

=== 유리수체와 샤파레비치 추측 ===
[[유리수체]]의 절대 갈루아 군 <math>\operatorname{Gal}(\bar\mathbb Q/\mathbb Q)</math>의 구조는 알려지지 않았다. 예를 들어, [[유리수체]]의 최대 [[아벨 확대]] <math>\mathbb Q^{\operatorname{ab}}=\mathbb Q(\mu)</math>의 절대 갈루아 군 <math>\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb Q}/\mathbb Q^{\operatorname{ab}})</math>이 가산 계수 자유 사유한군인지 여부는 알려지지 않았다. 이를 '''샤파레비치 추측'''(Шафаре́вич推測, {{llang|en|Shafarevich's conjecture}})이라고 하며, [[이고리 샤파레비치]]가 추측하였다.<ref name="NeukirchSchmidtWingberg2000">{{서적 인용|성1=Neukirch|이름1=Jürgen|저자링크1=위르겐 노이키르히|성2=Schmidt|이름2=Alexander|성3=Wingberg|이름3=Kay|제목=Cohomology of number fields|언어=en|총서=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|권=323|출판사=Springer|위치=Berlin|날짜=2000|issn=0072-7830|mr=1737196|zbl=0948.11001}}</ref>{{rp|449}}<ref name="NeukirchSchmidtWingberg2008">{{서적 인용|성1=Neukirch|이름1=Jürgen|저자링크1=위르겐 노이키르히|성2=Schmidt|이름2=Alexander|성3=Wingberg|이름3=Kay|제목=Cohomology of number fields|언어=en|판=2|총서=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|권=323|출판사=Springer|위치=Berlin|날짜=2008|isbn=978-3-540-37888-4|issn=0072-7830|doi=10.1007/978-3-540-37889-1|mr=2392026|zbl=1136.11001|lccn=2008921043}}</ref>{{rp|521}} 만약 샤파레비치 추측이 참이라면, <math>\mathbb Q^{\operatorname{ab}}</math>의 임의의 [[유한 확대]]의 절대 갈루아 군 역시 자유 사유한군이다. (이는 유한 부분 확대의 절대 갈루아 군은 유한 [[부분군의 지표|지표]] 닫힌 부분군이며, [[위상군]]의 유한 지표 닫힌 부분군은 항상 열린 부분군이며, 자유 사유한군의 열린 부분군은 항상 자유 사유한군이기 때문이다.)

<math>\operatorname{Gal}(\bar\mathbb Q/\mathbb Q)</math>에 대하여, 다음과 같은 성질들이 성립한다.
* [[벨리 정리]]에 따라, <math>\operatorname{Gal}(\bar\mathbb Q/\mathbb Q)</math>는 [[데생당팡]]들 위에서 [[충실한 작용|충실하게 작용]]한다.
* <math>\operatorname{Gal}(\bar\mathbb Q/\mathbb Q)</math>는 [[그로텐디크-타이히뮐러 군]]({{llang|en|Grothendieck–Teichmüller group}})의 [[부분군]]과 [[동형]]이다.

=== 유리 함수체 ===
임의의 [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>의 [[유리 함수체]] <math>K(t)</math>의 절대 갈루아 군은 계수 <math>|K|</math>의 [[자유 대상|자유]] [[사유한군]]이며, 따라서 <math>K(t)</math>의 임의의 [[유한 확대]]의 절대 갈루아 군 역시 자유 사유한군이다. 이는 아드리앙 두아디({{llang|fr|Adrien Douady}})가 [[리만 존재 정리]]를 사용하여 표수 0에 대하여 증명하였다.<ref name="Douady">{{저널 인용|성=Douady|이름=Adrien|제목=Détermination d’un groupe de Galois|언어=en|저널=Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l’Académie des Sciences, Paris|권=258|쪽=5305–5308|날짜=1964|issn=0001-4036|doi=|mr=0162796|zbl=0146.42105}}</ref> 일반적인 경우는 데이비드 하베터({{llang|en|David Harbater}})<ref name="Harbater">{{서적 인용|성=Harbater|이름=David|장=Fundamental groups and embedding problems in characteristic <math>p</math>|언어=en|편집자1-성=Fried|편집자1-이름=Michael D.|편집자표시=etal|제목=Recent developments in the inverse Galois problem|종류=Papers from the Joint Summer Research Conference held at the University of Washington, Seattle, Washington, July 17–23, 1993|쪽=353–369|총서=Contemporary Mathematics|권=186|출판사=American Mathematical Society|위치=Providence, RI|날짜=1995|mr=1352282|zbl=0858.14013|url=https://www2.math.upenn.edu/~harbater/harbppra.pdf}}</ref>와 플로리안 포프({{llang|ro|Florian Pop}})<ref name="Pop">{{저널 인용|성=Pop|이름=Florian|제목=Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar’s conjecture|언어=en|저널=Inventiones Mathematicae|권=120|호=3|쪽=555–578|날짜=1995|issn=0020-9910|doi=10.1007/BF01241142|mr=1334484|zbl=0842.14017|bibcode=1995InMat.120..555P|s2cid=128157587|id={{eudml|144288}}}}</ref>가 증명하였으며, Dan Haran과 Moshe Jarden이 대수적으로 재증명하였다.<ref name="HDJM">{{저널 인용|성1=Haran|이름1=Dan|성2=Jarden|이름2=Moshe|제목=The absolute Galois group of <math>C(x)</math>|언어=en|저널=Pacific Journal of Mathematics|권=196|호=2|쪽=445–459|날짜=2000|issn=1945-5844|doi=10.2140/pjm.2000.196.445|doi-access=free|mr=1800587|zbl=0979.12002}}</ref>

특히, [[대역 함수체]]에 대한 샤파레비치 추측([[대역 함수체]] <math>K</math>의 모든 [[원분체]]들의 합성체 <math>K(\mu)</math>의 절대 갈루아 군은 자유 사유한군)은 참이다.

=== p진 국소체 ===
<math>K</math>가 [[p진수체]] <math>\mathbb Q_p</math>의 [[유한 확대]]라고 하자. 만약 <math>p\ne2</math>라면, <math>K</math>의 절대 갈루아 군 <math>\operatorname{Gal}(\bar K/K)</math>는 위상 유한 표시 사유한군이며, <math>[\mathbb K:\mathbb Q_p]+3</math>개의 위상 생성원 및 2개의 관계에 의한 표시를 갖는다. 이는 우베 얀센({{llang|de|Uwe Jannsen}})과 카이 빙베르크({{llang|de|Kay Wingberg}})가 증명하였다.<ref name="JannsenWingberg">{{저널 인용|성1=Jannsen|이름1=Uwe|성2=Wingberg|이름2=Kay|제목=Die Struktur der absoluten Galoisgruppe <math>\mathfrak p</math>-adischer Zahlkörper|언어=en|저널=Inventiones Mathematicae|권=70|쪽=71–98|날짜=1982|issn=0020-9910|doi=10.1007/BF01393199|mr=0679774|zbl=0534.12010|bibcode=1982InMat..70...71J|s2cid=119378923|id={{eudml|142970}}|url=https://epub.uni-regensburg.de/26689/1/jannsen17.pdf}}</ref><ref name="NeukirchSchmidtWingberg2000"/>{{rp|Theorem 7.5.10}}<ref name="NeukirchSchmidtWingberg2008"/>{{rp|419, Theorem 7.5.14}} <math>p=2</math>인 경우는 완전한 묘사가 알려져 있지 않다.<ref name="NeukirchSchmidtWingberg2000"/>{{rp|§VII.5}}<ref name="NeukirchSchmidtWingberg2008"/>{{rp|417, §VII.5}}

=== 기타 ===
[[유리수체]]의 [[대수적 폐포]] <math>\bar\mathbb Q</math>의 최대 전실({{llang|en|totally real}}) 부분체의 절대 갈루아 군 역시 완전히 묘사되었다.<ref>{{웹 인용|url=http://math.uci.edu/~mfried/paplist-cov/QTotallyReal.pdf|제목=qtr|확인날짜=2019-09-04}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Shafarevich conjecture}}
* {{nlab|id=absolute Galois group|제목=Absolute Galois group}}
* {{웹 인용|url=https://galois.subwiki.org/wiki/Absolute_Galois_group|제목=Absolute Galois group|웹사이트=Galois|언어=en}}
* {{플래닛매스|urlname=absolutegaloisgroup|제목=Absolute Galois group}}
* {{proofwiki|id=Definition:Absolute Galois Group|제목=Definition: absolute Galois group}}

== 같이 보기 ==
* [[유체론]]

[[분류:갈루아 이론]]
[[분류:대수적 수론]]