전신 방정식 문서 원본 보기

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'''전신 방정식'''(電信方程式, {{lang|en|telegraph equation}})은 [[송신선]]의 [[전류]]와 [[전압]]을 다루는 2차 [[편미분 방정식]]이다.

== 역사 ==
1887년에 당시 [[전보]] 기사였던 [[올리버 헤비사이드]]가 도입하였다.<ref>{{서적 인용|성=Heaviside|이름=Oliver|저자링크=올리버 헤비사이드|장=On the Self-Induction of Wires Part VIII: The Transmission of Electromagnetic Waves along Wires without Distortion|제목=Electrical Papers|권=2|쪽=307|연도=1894|위치=New York|출판사=McMillan and Co.|url=http://books.google.com/books?id=bywPAAAAIAAJ&ots=yYQtIN4ie7&pg=PA307}}</ref>

== 전개 ==
편의상 <math>A'=\partial A/\partial x</math>, <math>\dot A=\partial A/\partial t</math>로 표기하자.

[[파일:Transmission line element.svg|thumb|right|단위 길이당 전신선 모형 회로도]]
매우 가는 균일한 전신선이 단위 길이당 [[전기 저항]] <math>R</math>과 단위 길이당 [[인덕턴스]] <math>L</math>을 가진다고 하자. 또한, 전신선에서 전류가 단위 길이당 [[전도율]] <math>G</math>과 단위 길이당 [[전기 용량]] <math>C</math>를 통해 (병렬로) 샌다고 하자.

전신선 위의 [[전압]] <math>V(x,t)</math>과 [[전류]] <math>I(x,t)</math>는 다음과 같은 연립 1차 편미분 방정식을 따른다.
:<math>V'=-RI-L\dot I</math>
:<math>I'=-GV-C\dot V</math>.
두 편미분 방정식 가운데 하나를 다른 하나에 대입하면 다음과 같이 하나의 2차 편미분 방정식을 얻는다.
:<math>V''=GRV+(GL+CR)\dot V+LC\ddot V</math>.
:<math>I''=GRI+(GL+CR)\dot I+LC\ddot I</math>.
이를 '''전신 방정식'''이라고 한다.

=== 전파의 속도 ===
편의상 전력 손실을 무시하자. 즉, <math>R=0</math>, <math>G=0</math>으로 놓자. 그렇다면 전신 방정식은 다음과 같이 [[파동 방정식]]이 된다.
:<math>V''=LC\ddot V</math>.
:<math>I''=LC\ddot I</math>.
이 방정식의 일반해는
:<math>V(x,t)=\int V_0(\omega)\exp\left(i\omega(\sqrt{LC}x-t)\right)\,d\omega</math>
이다. 따라서, 전신선을 통해 전달되는 신호의 속도는 <math>1/\sqrt{LC}</math>임을 알 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|성=Polyanin|이름=Andrei D.|장=§2.7 Telegraph Equation|제목=EqWorld: The World of Mathematical Equations|url=http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde207.pdf|연도=2004}}

{{전거 통제}}

[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:전기공학]]