전사 사상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|전사 함수|일반적인 범주에서의 전사 사상|집합 사이의 전사 사상}}
[[범주론]]에서 '''전사 사상'''(全射寫像, {{llang|en|epimorphism}})은 두 [[사상 (수학)|사상]]의 등식에서 오른쪽에서 합성되어 있을 때, 소거할 수 있는 [[사상 (수학)|사상]]이다. [[단사 사상]]의 반대 개념이다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''전사 사상'''이라고 한다.
* 임의의 대상 <math>Z</math> 및 사상 <math>g_1,g_2\colon Y\to Z</math>에 대하여, 만약 <math>g_1\circ f=g_2\circ f</math>라면 <math>g_1=g_2</math>이다.
*:<math>X\xrightarrow fY\overset{g_1}{\underset{g_2}{\rightrightarrows}}Z </math>

=== 정규 전사 사상 ===
{{본문|여핵}}
영 사상을 갖는 범주 <math>\mathcal C</math>에서, 어떤 사상 <math>f\colon X\to Y</math>의 [[여핵]] <math>\operatorname{coker} f\colon K\to X</math>으로 나타낼 수 있는 사상을 '''정규 전사 사상'''({{llang|en|normal epimorphism}})이라고 한다. 정규 전사 사상은 ([[쌍대극한]]이므로) 항상 전사 사상이다.

=== 강한 전사 사상 ===
범주 <math>\mathcal C</math>에서,  '''강한 전사 사상'''(強-全射寫像, {{llang|en|strong epimorphism}})은 모든 [[단사 사상]]에 대하여 [[왼쪽 유일 올림 성질]]을 만족시키는 전사 사상이다. 즉, 전사 사상 <math>\pi\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 전사 사상이라고 한다.
:임의의 가환 사각형
::<math>\begin{matrix}X&\xrightarrow\pi &Y\\
\downarrow & &\downarrow\\
A&\xrightarrow[i]{}&B
\end{matrix}</math>
:에서 <math>i</math>가 [[단사 사상]]이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상 <math>Y\to A</math>가 존재한다.
::<math>\begin{matrix}X&\xrightarrow\pi &Y\\
\downarrow &{\scriptstyle\exists!}\swarrow &\downarrow\\
A&\xrightarrow[i]{}&B
\end{matrix}</math>

=== 극단 전사 사상 ===
범주 <math>\mathcal C</math>의 전사 사상 <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''극단 전사 사상'''(極端全射寫像, {{llang|en|extremal epimorphism}})이라고 한다.
* 임의의 대상 <math>Z</math> 및 사상 <math>g\colon X\to Z</math> 및 [[단사 사상]] <math>h\colon Z\to Y</math>에 대하여, 만약 <math>f=h\circ g</math>라면 <math>h</math>는 [[동형 사상]]이다.
*:<math>
\begin{matrix}
X\\
{\scriptstyle g}\downarrow&\searrow\scriptstyle f\\
Z&\xrightarrow[h]{}&Y
\end{matrix}
</math>

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[동형 사상]] ⊆ [[유효 전사 사상]] ⊆ [[정칙 전사 사상]] ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상
:[[동형 사상]] ⊆ [[분할 전사 사상]] ⊆ [[정칙 전사 사상]] ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상
:[[동형 사상]] = [[단사 사상]] ∩ 극단 전사 사상 = 전사 사상 ∩ [[극단 단사 사상]]
[[분할 전사 사상]]이 [[정칙 전사 사상]]인 이유는 [[분할 전사 사상]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 그 [[오른쪽 역사상]] <math>s\colon Y\to X</math>이 주어졌을 때 <math>f=\operatorname{eq}\{s\circ f,\operatorname{id}_X\}</math>이기 때문이다.

=== 요네다 매장 ===
[[요네다 매장]]을 통하여, 전사 사상의 조건을 [[준층]] 범주에서 해석할 수 있다. 즉, [[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 전사 사상이다.
* 임의의 대상 <math>Z</math>에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 <math>(\circ f)\colon\hom_{\mathcal C}(Y,Z)\to\hom_{\mathcal C}(X,Z)</math>는 [[단사 함수]]이다.
* 쌍대 [[준층]] [[토포스]]의 반대 범주 <math>\operatorname{PSh}(\mathcal C^{\operatorname{op}})^{\operatorname{op}}</math>로 가는 [[요네다 매장]] 함자 <math>\hom_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\operatorname{PSh}(\mathcal C^{\operatorname{op}})^{\operatorname{op}}</math> 아래서, <math>f</math>의 상 <math>(f\circ)\colon\hom_{\mathcal C}(-,X)\to \hom_{\mathcal C}(-,Y)</math>은 쌍대 준층 토포스 <math>\operatorname{PSh}(\mathcal C^{\operatorname{op}})</math>에서의 [[단사 사상]] (즉, 쌍대 준층 토포스의 반대 범주 <math>\operatorname{PSh}(\mathcal C^{\operatorname{op}})^{\operatorname{op}}</math>에서의 전사 사상)이다.

=== 반대 범주 ===
범주 <math>\mathcal C</math>의 전사 사상은 그 반대 범주 <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>의 [[단사 사상]]이다.

== 예 ==
[[구체적 범주]]에서, 함수로서 [[전사 함수]]인 사상은 항상 전사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 모든 전사 사상이 전사 함수인 [[구체적 범주]]로는 다음과 같은 예를 들 수 있다.
* [[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>에서의 전사 사상은 [[전사 함수]]이다.
* [[군 (수학)|군]]과 [[군 준동형]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>에서의 전사 사상은 전사 군 준동형이다.
* 체 <math>K</math>에 대하여, <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]]과 [[선형 변환]]들의 범주 <math>K\text{-Vect}</math>에서의 전사 사상은 전사 [[선형 변환]]이다.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주에서의 전사 사상은 전사 [[연속 함수]]이다.
전사 함수가 아닌 전사 사상이 존재하는 [[구체적 범주]]로는 다음과 같은 예를 들 수 있다.
* [[모노이드]]의 범주 <math>\operatorname{Mon}</math>에서, 자연수의 덧셈 모노이드에서 정수의 덧셈 모노이드로 가는 포함 함수 <math>\mathbb N\to\mathbb Z</math>는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다. 보다 일반적으로, 모노이드 <math>M</math>의 군화 (망각 함자의 [[왼쪽 수반 함자]]) <math>G</math>가 주어졌을 때, 포함 [[모노이드 준동형]] <math>M\to G</math>는 항상 전사 사상이자 [[단사 사상]]이자 [[단사 함수]]이지만, (<math>M</math>이 군이 아니라면) [[전사 함수]]가 아니다.
* [[환 (수학)|환]]의 범주 <math>\operatorname{Ring}</math>에서, 포함 함수 <math>\mathbb Z\to\mathbb Q</math>는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.
* [[하우스도르프 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Haus}</math>에서, 전사 사상은 [[상 (수학)|상]]이 [[조밀 집합]]인 [[연속 함수]]이다. 예를 들어, 포함 함수 <math>\mathbb Q\to\mathbb R</math>는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.

=== 집합의 범주 ===
[[집합]]과 [[함수]]의 [[토포스]] <math>\operatorname{Set}</math>에서는 다음이 성립한다.
* 전사 사상은 [[전사 함수]]이다.
* 전사 사상 · [[정칙 전사 사상]] · [[유효 전사 사상]]의 개념이 일치한다.
(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

=== 군의 범주 ===
[[군 (수학)|군]]과 [[군 준동형]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>에서는 다음이 성립한다.
* 전사 사상은 [[전사 함수]]인 [[군 준동형]]이다.
* 모든 전사 사상은 정규 전사 사상이다.

=== 위상 공간의 범주 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>에서는 다음이 성립한다.
* 전사 사상은 [[전사 함수]]인 [[연속 함수]]이다.
* [[정칙 전사 사상]]은 [[몫사상]]이다.
(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 전사 사상을 정의할 수 없다.)

== 같이 보기 ==
* [[단사 사상]]
== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Epimorphism}}
* {{eom|title=Normal epimorphism}}
* {{nlab|id=epimorphism|title=Epimorphism}}
* {{nlab|id=strict epimorphism|title=Strict epimorphism}}
* {{nlab|id=strong epimorphism|title=Strong epimorphism}}
* {{nlab|id=extremal epimorphism|title=Extremal epimorphism}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2012/09/29/monomorphisms-and-epimorphisms/|제목=Monomorphisms and epimorphisms|이름=Qiaochu|성=Yuan|날짜=2012-09-29|웹사이트=Annoying Precision|언어=en|확인날짜=2016-01-04|보존url=https://web.archive.org/web/20150923191536/https://qchu.wordpress.com/2012/09/29/monomorphisms-and-epimorphisms/|보존날짜=2015-09-23|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://ncatlab.org/toddtrimble/published/epimorphisms+in+the+category+of+groups|제목=Epimorphisms in the category of groups|이름=Todd|성=Trimble|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://nguembou.wordpress.com/2010/01/30/epimorphisms-in-the-category-of-groups-are-surjective/|제목=Epimorphisms in the category of groups|날짜=2010-01-30|이름=Christian Nguembou|성=Tagne|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Inclusion_of_Natural_Numbers_in_Integers_is_Epimorphism|제목=Inclusion of natural numbers in integers is epimorphism|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:범주론]]