전곡률 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Winding_Number_Around_Point.svg|섬네일|300x300픽셀|이 곡선은 전곡률이 6{{Pi}} 이고 지표/회전 수는 3이지만 {{수학 변수|p}}에 대한 [[감김 수]]는 2이다.]]
[[곡선의 미분 기하학]]에서 [[몰입 (수학)|몰입된]] 평면 곡선의 '''전곡률'''은 호 길이 매개화 곡선을 따른 [[곡률]]의 [[적분]]이다.

: <math>\int_a^b k(s)\,ds = 2\pi N.</math>

닫힌 곡선의 전곡률은 항상 2{{Pi}}의 정수 ''N''배이다. 여기서 ''N''은 ''[[감김 수|곡선의 지표]]'' 또는 ''[[감김 수|회전수]]''라고 한다. 이는 원점에 대한 단위 접벡터의 [[감김 수]] 또는 동등하게 곡선의 각 점에 할당된 [[단위원]]에 해당 점의 단위 속도 벡터를 지정하는 사상의 브라우어 차수이다. 이 사상은 곡면에 대한 가우스 사상과 비슷하다.

== 곡면과의 비교 ==
국소적인 기하 불변량인 곡률과 전역적인 위상 불변량인 지표 사이의 이러한 관계는 [[가우스-보네 정리]] 와 같은 고차원 [[리만 기하학]] 결과의 특징이다.

== 불변성 ==
[[휘트니-그라우슈타인 정리]]에 따르면 전곡률은 곡선의 정규 호모토피 하에서 불변이다. 이는 [[가우스 지도|가우스 사상]]의 [[브라우어르 차수|차수]]이다. 그러나 호모토피 하에서는 불변이 아닙니다. 꼬임(뾰족한 끝)을 통과하면 회전 수가 1씩 변경된다.

이에 반해, 점 주위의 [[감김 수]]는 그 점을 통과하지 않는 호모토피에서는 불변이고, 점을 통과하면 1씩 변한다.

== 일반화 ==
[[파일:Closed_polygonal_line.svg|섬네일|전곡률 2{{Pi}}인 닫힌 다각형 체인&nbsp; .]]
유한한 일반화는 삼각형 또는 보다 일반적으로 단순 다각형의 외부 각도를 더하면 360°=2{{Pi}}가 된다는 것이다. 이는 회전수 1에 해당한다.

곡선의 절대 전곡률은 전곡률과 거의 같은 방식으로 정의되지만 부호 있는 곡률 대신 곡률의 절대값을 사용한다. 평면의 볼록한 곡선의 경우 2{{Pi}}이고 볼록하지 않은 곡선의 경우 더 크다.<ref>{{인용|last=Chen|first=Bang-Yen|contribution=Riemannian submanifolds|doi=10.1016/S1874-5741(00)80006-0|mr=1736854|pages=187–418|publisher=North-Holland, Amsterdam|title=Handbook of differential geometry, Vol. I|year=2000}}</ref> 또한 {{수학 변수|γ}}에 전개 가능한 접선을 평면으로 편평화하고 결과 곡선의 전곡률을 계산하여 더 높은 차원 공간의 곡선으로 일반화할 수 있다. 즉, {{수학 변수|n}}차원 공간에서 곡선의 전곡률은 다음과 같다.

: <math>\int_a^b \left|\gamma''(s)\right|\sgn \kappa_{n-1}(s)\,ds</math>

여기서 {{수학|''κ''<sub>''n''&minus;1</sub>}}은 마지막 프레네 곡률(곡선의 [[곡선 비틀림|비틀림]])이고 {{수학|sgn}}은 [[부호함수|부호 함수]]이다.

주어진 [[매듭 (수학)|매듭]]을 나타내는 3차원 곡선의 최소 절대 전곡률은 매듭 [[매듭 불변량|불변량]]이다. 이 불변량은 매듭지어지지 않은 매듭의 경우 2{{Pi}}이지만 페리-밀너 정리에 따르면 매듭의 경우 최소 4{{Pi}}이다.<ref>{{인용|title=On the Total Curvature of Knots|first=John W.|last=Milnor|authorlink=John Milnor|journal=Annals of Mathematics|series=Second Series|volume=52|year=1950|pages=248–257|jstor=1969467|doi=10.2307/1969467|issue=2}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 추가 읽기 ==

* {{인용|first=Wolfgang|last=Kuhnel|title=Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds|publisher=American Mathematical Society|year=2005|edition=2nd|isbn=978-0-8218-3988-1}} (translated by Bruce Hunt)
* {{인용|last=Sullivan|first=John M.|author-link=John M. Sullivan (mathematician)|arxiv=math/0606007|contribution=Curves of finite total curvature|doi=10.1007/978-3-7643-8621-4_7|mr=2405664|pages=137–161|publisher=Birkhäuser, Basel|series=Oberwolfach Semin.|title=Discrete differential geometry|volume=38|year=2008|s2cid=117955587}}

[[분류:곡률]]
[[분류:곡선]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:매듭 이론]]