적분 판정법 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Integral Test.svg|섬네일|오른쪽|300픽셀|[[조화급수]]에 적용한 적분판정법. 곡선 {{수학|1=''y'' = 1 / ''x''}}, {{수학|''x'' ∈ [1, ∞)}} 아래쪽의 면적이 무한하므로 직사각형들의 총면적 역시 무한하다.]]
{{미적분학}}
[[미적분학]]에서 '''적분 판정법'''(積分判別法, {{lang|en|integral test}})은 [[음이 아닌 실수]] 항 [[급수 (수학)|급수]]와 [[음이 아닌 실수]] 값 [[함수]]의 [[이상 적분]]의 [[수렴]]성 사이의 관계를 나타내는 [[수렴 판정법]]이다.

== 정의와 증명 ==
[[음이 아닌 실수]] 값 [[감소함수]]
:<math>f\colon[0,\infty)\to[0,\infty)</math>
:<math>\forall x,y\in[0,\infty)\colon x\le y\implies f(x)\ge f(y)</math>
가 주어졌다고 하자. (특히, <math>f</math>는 임의의 <math>[0,a]\subseteq[0,\infty)</math>에서 [[리만 적분]] 가능하다.) '''적분 판정법'''에 따르면,  다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Rudin">{{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|저자링크=월터 루딘
|제목=Principles of mathematical analysis
|언어=en
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1976
|isbn=978-0-07-054235-8
|mr=0385023
|zbl=0346.26002
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|확인날짜=2014-10-06
|url-status=dead
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006165957/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|보존날짜=2014-10-06
}}</ref>{{rp|138–139, Exercise 8}}<ref name="Tao">{{서적 인용
|성1=Tao
|이름1=Terence
|저자링크=테런스 타오
|제목=Analysis I
|언어=en
|판=3
|총서=Texts and Readings in Mathematics
|권=37
|출판사=Springer
|위치=Singapore
|날짜=2016
|isbn=978-981-10-1789-6
|issn=2366-8725
|doi=10.1007/978-981-10-1789-6
|lccn=2016940817
}}</ref>{{rp|290, Proposition 11.6.4}}
* [[급수 (수학)|급수]] <math>\sum_{n=0}^\infty f(n)</math>는 [[수렴]]한다.
* [[이상 적분]] <math>\int_0^\infty f(x)\,dx</math>은 [[수렴]]한다.
또한, (수렴 여부와 관계 없이) 다음 부등식이 성립한다.
:<math>\int_0^\infty f(x)\,dx\le\sum_{n=0}^\infty f(n)\le f(0)+\int_0^\infty f(x)\,dx</math>
{{증명}}
음이 아닌 실수 항 [[급수 (수학)|급수]]의 합과 음이 아닌 실수 값 [[리만 적분 가능 함수]]의 [[이상 적분]]의 값은 음이 아닌 [[확장된 실수]]로서 항상 존재하며, 이들의 수렴 여부는 합이나 적분 값의 유한한지 여부와 [[동치]]이다. 임의의 <math>n\in\{0,1,2,\dots\}</math> 및 <math>n\le x\le n+1</math>에 대하여,
:<math>f(n+1)\le f(x)\le f(n)</math>
이다. <math>[n,n+1]</math> 위의 [[리만 적분]]을 취하면
:<math>f(n+1)\le\int_n^{n+1}f(x)\,dx\le f(n)</math>
이 된다. <math>n\in\{0,1,2,\dots\}</math>에 대한 [[급수 (수학)|급수]]를 취하면
:<math>\sum_{n=1}^\infty f(n)\le\int_0^\infty f(x)\,dx\le\sum_{n=0}^\infty f(n)</math>
이 된다. 이는
:<math>\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty\int_n^{n+1}f(x)\,dx
&=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\int_i^{i+1}f(x)\,dx\\
&=\lim_{n\to\infty}\int_0^{n+1}f(x)\,dx\\
&=\int_0^\infty f(x)\,dx
\end{align}
</math>
임에 따른다. 따라서, 만약
:<math>\sum_{n=0}^\infty f(n)<\infty</math>
라면
:<math>\int_0^\infty f(x)\,dx\le\sum_{n=0}^\infty f(n)<\infty</math>
이며, 만약
:<math>\int_0^\infty f(x)\,dx<\infty</math>
라면
:<math>\sum_{n=0}^\infty f(n)=f(0)+\sum_{n=1}^\infty f(n)\le a_0+\int_0^\infty f(x)\,dx<\infty</math>
이다. 즉, 수렴 여부가 [[동치]]다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
급수
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^p}\qquad(p\in\mathbb R)</math>
를 생각하자. (혹자는 이를 '''p-급수'''({{llang|en|p-series}})라고 부른다.) 만약 <math>p\le0</math>이라면, 이 급수는 자명하게 발산한다. 이제, <math>p>0</math>이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 이 급수의 수렴 여부는 다음 [[이상 적분]]이 수렴하는지 여부와 [[동치]]이다.
:<math>\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}</math>
만약 <math>p=1</math>이라면,
:<math>\int_1^\infty\frac{dx}x=\lim_{x\to\infty}\int_1^x\frac{dt}t=\lim_{x\to\infty}(\ln x-\ln1)=\infty</math>
이다. 만약 <math>p\ne 1</math>이라면,
:<math>\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}=\lim_{x\to\infty}\int_1^x\frac{dt}{t^p}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^{1-p}}{1-p}-\frac1{1-p}\right)=\begin{cases}
\infty&p<1\\
1/(p-1)&p>1
\end{cases}
</math>
이다. 따라서, 이 급수는 <math>p>1</math>일 때 수렴하며, <math>p\le1</math>일 때 발산한다. [[비 판정법]]이나 [[근 판정법]]은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. [[라베 판정법]]의 증명은 이 급수의 <math>p</math>에 따른 수렴 여부에 기반한다.

보다 일반적으로, 급수
:<math>\sum_{n=2}^\infty\frac1{n^p\ln^qn}\qquad(p,q\in\mathbb R)</math>
를 생각하자. 이전 예 및 [[비교 판정법]]에 의하여, 이 급수는 <math>p>1</math>일 때 수렴하며, <math>p<1</math>일 때 발산한다. 이제 <math>p=1</math>이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 급수의 수렴 여부는 [[이상 적분]]
:<math>\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln^qx}</math>
의 수렴 여부와 같다. 이는
:<math>(x^{-1}\ln^{-q}x)'=-x^{-2}\ln^{-q}x+x^{-1}(-q)\ln^{-q-1}x\cdot x^{-1}=-x^{-2}\ln^{-q-1}x(\ln x+q)<0\qquad(x\gg1)</math>
임에 따른다. 만약 <math>q=1</math>이라면,
:<math>\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln x}=\lim_{x\to\infty}\int_2^x\frac{dt}{t\ln t}=\lim_{x\to\infty}(\ln\ln x-\ln\ln2)=\infty</math>
이다. 만약 <math>q\ne1</math>이라면,
:<math>\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln^qx}=\lim_{x\to\infty}\int_2^x\frac{dt}{t\ln^qt}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\ln^{1-q}x}{1-q}-\frac{\ln^{1-q}2}{1-q}\right)=\begin{cases}
\infty&q<1\\
-\ln^{1-q}2/(1-q)&q>1
\end{cases}
</math>
이다. 따라서, 이 급수는 <math>p>1</math>이거나 <math>p=1</math>, <math>q>1</math>일 때 수렴하며, <math>p=1</math>, <math>q\le1</math>이거나 <math>p<1</math>일 때 발산한다. [[비 판정법]]·[[근 판정법]]·[[라베 판정법]]은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. [[베르트랑 판정법]]의 증명은 이 급수의 <math>(p,q)</math>에 따른 수렴 여부에 기반한다.

마찬가지로, 급수
:<math>\sum_{n=\underbrace{{\mathrm e}^{{\mathrm e}^{\cdots^{{\mathrm e}^2}}}}_{k-1}}^\infty\frac1{n^{p_0}(\ln n)^{p_1}\cdots(\underbrace{\ln\cdots\ln}_k\,n)^{p_k}}</math>
의 수렴 여부 또한 적분 판정법을 통하여 구할 수 있다. <math>\mathbb R^{k+1}</math> 위의 [[사전식 순서]]를 <math>\preceq</math>로 적을 때, 이 급수는 <math>(p_0,\dots,p_k)\succ(1,\dots,1)</math>일 때 수렴하며, <math>(p_0,\dots,p_k)\preceq(1,\dots,1)</math>일 때 발산한다.

== 같이 보기 ==
* [[수렴판정법]]
* [[비교 판정법]]
* [[지배 수렴 정리]]
* [[극한 비교 판정법]]
* [[단조 수렴 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Integral test}}
* {{매스월드|id=|제목=Integral Test}}
* {{플래닛매스|urlname=IntegralTest|제목=Integral test}}
* {{플래닛매스|urlname=ExampleOfIntegralTest|제목=Example of integral test}}
* {{proofwiki|id=Cauchy Integral Test|제목=Cauchy integral test}}

{{전거 통제}}

[[분류:수렴판정법]]
[[분류:적분학]]