적분의 점화식 문서 원본 보기

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[[적분|적분 미적분학]]에서 '''적분의 점화식'''은 [[점화식]]의 형태로 된 [[적분]] 공식이다. 주로 [[초등함수]]의 거듭제곱, [[초월함수]]와 n차다항식의 곱의 형태 같은 [[정수]] [[매개변수]]를 포함하는 [[수식]]을 직접 적분하기 어려울 때 쓰인다.

이러한 점화식과 다른 [[적분|적분법]]을 이용하면 피적분함수를 정수 매개변수의 값이 더 작은 동일하거나 유사한 형태의 식으로 바꾸어 쉽게 적분이 가능하도록 단순화 할 수 있다.<ref>Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, {{ISBN|978-0-521-86153-3}}</ref> 이 방식은 가장 초기에 사용된 적분법 중 하나이다.

== 적분의 점화식을 유도하는 원리 ==
적분의 점화식은 [[치환 적분]], [[부분]] [[삼각 치환|적분]], [[삼각 치환]], [[부분분수|부분 분수]]에 의한 적분 등과 같은 일반적인 적분법을 이용하여 유도할 수 있다. 핵심은 정수 매개 변수를 이용하여 나타낼 수 있는 함수 <math>I_n </math>(예 : 거듭 제곱)를 더 낮은 값의 매개 변수(더 낮은 거듭 제곱)를 포함하는 함수(예 : <math>I_{n-1} </math> 또는 <math>I_{n-2} </math>)에 대하여 나타내는 것이다. 즉 원래의 적분을 점화식의 형태로 나타내는 것이다. 결론적으로 적분의 점화식은 다음과 같이 적분

<math>I_n =\int f(x,n) \,\text{d}x, </math>

을 <math>k<n </math>인 정수 <math>k </math>에 대하여

: <math>I_k = \int f(x,k) \,\text{d}x, </math>

의 형태로 나타내는 것이다.

:

== 적분의 점화식을 이용한 함수의 적분 ==
점화식을 이용하여 함수를 적분하기 위해서 <math>I_n </math>의 적분을 점화식을 사용하여  <math>I_{n-1} </math> 또는 <math>I_{n-2} </math> 에 대한 적분으로 나타내야 한다. <math>I_n </math>이 쉽게 적분될 때까지 (주로 n=1 또는 n=0일 때까지) 점화식을 반복적으로 사용하여, 결과를 적분하고, 다시 대입하여 <math>I_n </math>을 계산한다.<ref>Further Elementary Analysis, R.I. Porter, G. Bell & Sons Ltd, 1978, {{ISBN|0-7135-1594-5}}</ref>

=== 예시 ===
아래는 점화식을 이용한 적분 과정의 예시이다.

'''코사인함수의 적분'''

일반적으로

: <math>\int \cos^n x \,\text{d}x, \,\!</math>

와 같은 적분은 적분의 점화식을 이용하여 적분할 수 있다.
[[파일:Cos_to_the_n.png|섬네일|  ''n'' = 1, 2 ... 30인 경우의<math>\int \cos^n (x) \,\text{d}x\!</math> ]]

: <math>I_n = \int \cos^n x\,\text{d}x . \,\!</math>

라고 하자.

: <math>I_n = \int \cos^ {n-1} x \cos x \,\text{d}x, \,\!</math>

: <math>\cos x \,\text{d}x = \text{d} ( \sin x) , \,\!</math>

라고 치환하면

: <math>I_n = \int \cos^{n-1} x \,\text{d}(\sin x) . \!</math>

부분 적분을 이용하면

: <math> \begin{align} \int \cos^n x \,\text{d}x & = \cos^{n-1} x \sin x - \int \sin x \,\text{d}(\cos^{n-1} x) \\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \sin x \cos^{n-2} x\sin x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \sin^2 x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x (1-\cos^2 x )\,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x - (n-1)\int \cos^n x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n ,
\end{align} \,</math>

: <math>I_n \ + (n-1) I_n\ = \cos^{n-1} x \sin x\ + \ (n-1) I_{n-2}, \,</math>

: <math>n I_n\ = \cos^{n-1} (x) \sin x\ + (n-1) I_{n-2}, \,</math>

: <math>I_n \ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x\ + \frac{n-1}{n} I_{n-2}, \,</math>

따라서 적분의 점화식은 다음과 같다.

: <math>\int \cos^n x \,\text{d}x\ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x . \!</math>

이 예시를 보충하기 위해 ''n'' = 5를 대입해 보면.

: <math> I_5 = \int \cos^5 x \,\text{d}x . \,\!</math>

n=5, n=3을 대입하면

: <math>n=5, \quad I_5 = \tfrac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \tfrac{4}{5} I_3, \,</math>

: <math>n=3, \quad I_3 = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3} I_1, \,</math>

결과를 대입하면

: <math>\because I_1\ = \int \cos x \,\text{d}x = \sin x + C_1,\,</math>

: <math>\therefore I_3\ = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3}\sin x + C_2, \quad C_2\ = \tfrac{2}{3} C_1,\,</math>

: <math>I_5\ = \frac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \frac{4}{5}\left[\frac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \frac{2}{3} \sin x\right] + C,\,</math>

여기서 ''C''는 적분상수이다.

'''지수함수의 적분'''

또 다른 전형적인 예는 다음과 같다.

: <math>\int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\!</math>

: <math>I_n = \int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\!</math>

라고 하자.

치환 적분을 하면

: <math> x^n \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( x^{n+1})}{n+1} , \,\!</math>

로 치환하면

: <math>I_n = \frac{1}{n+1} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}) , \!</math>

부분 적분을 하면

: <math>\begin{align} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}) & = x^{n+1}e^{ax} - \int x^{n+1} \,\text{d}(e^{ax}) \\
& = x^{n+1}e^{ax} - a \int x^{n+1} e^{ax}\,\text{d}x ,
\end{align} \!</math>

: <math>(n+1) I_n = x^{n+1}e^{ax} - a I_{n+1} , \!</math>

''n + 1'' → ''n'', ''n'' → ''n'' – 1으로 바꾸면

: <math>n I_{n-1} = x^ne^{ax} - a I_n , \!</math>


: <math> I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ) , \,\!</math>

따라서 적분의 점화식은 다음과 같다.

: <math> \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ). \!</math>

<math>e^{ax}</math>를 치환하여 이 공식을 유도하는 다른 방법도 있다.

<math> e^{ax} \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( e^{ax})}{a} , \,\!</math>

<math>I_n = \frac{1}{a} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}) , \!</math>

<math>\begin{align} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}) & = x^{n}e^{ax} - \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n}) \\
& = x^{n}e^{ax} - n \int e^{ax} x^{n-1}\,\text{d}x ,
\end{align} \!</math>

결과를 다시 대입하면 점화식을 구할 수 있다.

<math> I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ), \,\!</math>

즉

: <math> \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ). \!</math>

== 적분의 점화식의 표 ==

=== 유리함수 ===
다음의 적분<ref>http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite integrals list</ref> 은 아래를 포함한다:

* [[일차 방정식|선형]] [[제곱근|라디칼]] <math>\sqrt{ax+b}\,\!</math>
* 선형 인수 <math>{px+q}\,\!</math>  또는 선형 라디칼 <math>\sqrt{ax+b}\,\!</math>
* [[이차 함수|이차]]식 <math>x^2+a^2\,\!</math>
* 이차식 <math>x^2-a^2\,\!</math> (<math>x>a\,\!</math>)
* 이차식 <math>a^2-x^2\,\!</math> (<math>x<a\,\!</math>)
* ([[기약 다항식]]) <math>ax^2+bx+c\,\!</math>
* 기약 다항식<math>\sqrt{ax^2+bx+c}\,\!</math>의 라디칼

{| class="wikitable"
!적분
!적분의 점화식
|-
|<math>I_n = \int \frac{x^n}{\sqrt{ax+b}} \,\text{d}x\,\!</math>
|<math>I_n = \frac{2x^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)} - \frac{2nb}{a(2n+1)} I_{n-1}\,\!</math>
|-
|<math>I_n = \int \frac{\text{d}x}{x^n\sqrt{ax+b}}\,\!</math>
|<math>I_n = -\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)bx^{n-1}}-\frac{a(2n-3)}{2b(n-1)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
|<math>I_n = \int x^n\sqrt{ax+b}\,\text{d}x\,\!</math>
|<math>I_n = \frac{2x^n\sqrt{(ax+b)^3}}{a(2n+3)}-\frac{2nb}{a(2n+3)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
|<math>I_{m,n} = \int \frac{\text{d}x}{(ax+b)^m(px+q)^n}\,\!</math>
|<math>I_{m,n} = 
\begin{cases}
  -\frac{1}{(n-1)(bp-aq)} \left [ \frac{1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}+a(m+n-2)I_{m,n-1} \right ]   \\
  \frac{1}{(m-1)(bp-aq)} \left [ \frac{1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}+p(m+n-2)I_{m-1,n} \right ]
\end{cases}\,\!</math>
|-
|<math>I_{m,n} = \int  \frac{(ax+b)^m}{(px+q)^n} \,\text{d}x\,\!</math>
|<math>I_{m,n} =
\begin{cases}
  -\frac{1}{(n-1)(bp-aq)}\left [ \frac{(ax+b)^{m+1}}{(px+q)^{n-1}}+a(n-m-2)I_{m,n-1} \right ]   \\
  -\frac{1}{(n-m-1)p}\left [ \frac{(ax+b)^m}{(px+q)^{n-1}}+m(bp-aq)I_{m-1,n} \right ]  \\
  -\frac{1}{(n-1)p}\left [ \frac{(ax+b)^m}{(px+q)^{n-1}}-amI_{m-1,n-1} \right ]
\end{cases}\,\!</math>
|}
{| class="wikitable"
! 적분
! 적분의 점화식
|-
| <math>I_n=\int \frac{(px+q)^n}{\sqrt{ax+b}} \,\text{d}x\,\!</math>
| <math>\int (px+q)^n\sqrt{ax+b} \,\text{d}x = \frac{2(px+q)^{n+1}\sqrt{ax+b}}{p(2n+3)}+\frac{bp-aq}{p(2n+3)}I_n\,\!</math>  <math>I_n=\frac{2(px+q)^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)}+\frac{2n(aq-bp)}{a(2n+1)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_n=\int \frac{\text{d}x}{(px+q)^n\sqrt{ax+b}}\,\!</math>
| <math>\int \frac{\sqrt{ax+b}}{(px+q)^n}\,\text{d}x = -\frac{\sqrt{ax+b}}{p(n-1)(px+q)^{n-1}}+\frac{a}{2p(n-1)}I_{n}\,\!</math>  <math>I_n= -\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)(aq-bp)(px+q)^{n-1}}+\frac{a(2n-3)}{2(n-1)(aq-bp)}I_{n-1}\,\!</math>
|}
{| class="wikitable"
! 적분
! 적분의 점화식
|-
| <math>I_n= \int \frac{\text{d}x}{(x^2+a^2)^n}\,\!</math>
| <math>I_n= \frac{x}{2a^2(n-1)(x^2+a^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2+a^2)^n}\,\!</math>
| <math>a^2I_{n,m}= I_{m,n-1}-I_{m-2,n}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(x^2+a^2)^n} \,\text{d}x\,\!</math>
| <math>I_{n,m}= I_{m-2,n-1}-a^2I_{m-2,n}\,\!</math>
|}
{| class="wikitable"
! 적분
! 적분의 점화식
|-
| <math>I_n= \int \frac{\text{d}x}{(x^2-a^2)^n}\,\!</math>
| <math>I_n= -\frac{x}{2a^2(n-1)(x^2-a^2)^{n-1}}-\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2-a^2)^n}\,\!</math>
| <math>{a^2}I_{n,m}= I_{m-2,n}-I_{m,n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(x^2-a^2)^n} \,\text{d}x\,\!</math>
| <math>I_{n,m}= I_{m-2,n-1}+a^2I_{m-2,n}\,\!</math>
|}
{| class="wikitable"
! 적분
! 적분의 점화식
|-
| <math>I_n= \int \frac{\text{d}x}{(a^2-x^2)^n}\,\!</math>
| <math>I_n= \frac{x}{2a^2(n-1)(a^2-x^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(a^2-x^2)^n}\,\!</math>
| <math>{a^2}I_{n,m}= I_{m,n-1}+I_{m-2,n}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(a^2-x^2)^n} \,\text{d}x\,\!</math>
| <math>I_{n,m}= a^2I_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}\,\!</math>
|}
{| class="wikitable"
! 적분
! 적분의 점화식
|-
| <math>I_n = \int \frac{\text{d}x}{{x^n}(ax^2+bx+c)}\,\!</math>
| <math>-cI_n =\frac{1}{x^{n-1}(n-1)}+ bI_{n-1}+aI_{n-2}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n}=\int \frac{x^m \,\text{d}x}{(ax^2+bx+c)^n}\,\!</math>
| <math>I_{m,n}= -\frac{x^{m-1}}{a(2n-m-1)(ax^2+bx+c)^{n-1}} - \frac{b(n-m)}{a(2n-m-1)}I_{m-1,n} + \frac{c(m-1)}{a(2n-m-1)}I_{m-2,n}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(ax^2+bx+c)^n}\,\!</math>
| <math>-c(m-1)I_{m,n}= \frac{1}{x^{m-1}(ax^2+bx+c)^{n-1}}+{a(m+2n-3)}I_{m-2,n}+{b(m+n-2)}I_{m-1,n}\,\!</math>
|-
|}
{| class="wikitable"
! 적분
! 적분의 점화식
|-
| <math>I_n = \int (ax^2+bx+c)^n\,\text{d}x\,\!</math>
| <math>8a(n+1)I_{n+\frac{1}{2}} = 2(2ax+b)(ax^2+bx+c)^{n+\frac{1}{2}} + (2n+1)(4ac-b^2)I_{n-\frac{1}{2}}\,\!</math>
|-
| <math>I_n = \int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^n}\,\text{d}x\,\!</math>
| <math>(2n-1)(4ac-b^2)I_{n+\frac{1}{2}} = \frac{2(2ax+b)}{(ax^2+bx+c)^{n-\frac{1}{2}}}+{8a(n-1)}I_{n-\frac{1}{2}}\,\!</math>
|-
|}
[[지수법칙]]에 따라:

: <math>I_{n+\frac{1}{2}} = I_{\frac{2n+1}{2}} =\int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^{\frac{2n+1}{2}}}\,\text{d}x = \int \frac{1}{\sqrt{(ax^2+bx+c)^{2n+1}}}\,\text{d}x\,\!</math>

=== 초월함수 ===
다음의 적분<ref>http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite integrals list</ref> 은 아래의 함수들을 포함하는 함수들이다:

* 사인
* 코사인
* 사인 및 코사인의 곱 또는 나누었을 때의 몫
* ''x''의 거듭 제곱과 지수함수의 곱
* 사인 / 코사인과 지수함수의 곱

{| class="wikitable"
! 적분
! 적분의 점화식
|-
| <math>I_n=\int x^n \sin{ax} \,\text{d}x\,\!</math>
| <math>a^2I_n=-ax^n \cos{ax} + nx^{n-1} \sin{ax} - n(n-1) I_{n-2} \,\!</math>
|-
| <math>J_n=\int x^n \cos{ax} \,\text{d}x \,\!</math>
| <math>a^2J_n=ax^n \sin{ax} + nx^{n-1} \cos{ax} - n(n-1) J_{n-2} \,\!</math>
|-
| <math> I_n = \int \frac{\sin{ax}}{x^n} \,\text{d}x\,\!</math>  <math>J_n = \int \frac{\cos{ax}}{x^n} \,\text{d}x \,\!</math>
| <math>I_n = -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}J_{n-1}\,\!</math>  <math>J_n = -\frac{\cos{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}I_{n-1}\,\!</math>

공식을 결합하여 ''I <sub>n</sub>''의 개별적인 방정식을 얻을 수 있다.

<math>J_{n-1} = -\frac{\cos{ax}}{(n-2)x^{n-2}}-\frac{a}{n-2}I_{n-2}\,\!</math>

<math>I_n = -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\left [\frac{\cos{ax}}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}I_{n-2}\right ] \,\!</math>

<math> \therefore I_n = -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{(n-1)(n-2)}\left (\frac{\cos{ax}}{x^{n-2}}+aI_{n-2}\right ) \,\!</math>

그리고 ''J <sub>n</sub>'' :

<math>I_{n-1} = -\frac{\sin{ax}}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}J_{n-2}\,\!</math>

<math>J_n = -\frac{\cos{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\left [-\frac{\sin{ax}}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}J_{n-2} \right ]\,\!</math>

<math> \therefore J_n = -\frac{\cos{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{(n-1)(n-2)}\left (-\frac{\sin{ax}}{x^{n-2}}+aJ_{n-2} \right )\,\!</math>
|-
| <math>I_n = \int \sin^n{ax} \,\text{d}x\,\!</math>
| <math>anI_n = -\sin^{n-1}{ax}\cos{ax}+a(n-1)I_{n-2}\,\!</math>
|-
| <math>J_n = \int \cos^n{ax} \,\text{d}x\,\!</math>
| <math>anJ_n = \sin{ax}\cos^{n-1}{ax}+a(n-1)J_{n-2}\,\!</math>
|-
| <math>I_n = \int \frac{\text{d}x}{\sin^n{ax}}\,\!</math>
| <math>(n-1)I_n = - \frac{\cos{ax}}{a\sin^{n-1}{ax}}+ (n-2)I_{n-2}\,\!</math>
|-
| <math>J_n = \int \frac{\text{d}x}{\cos^n{ax}}\,\!</math>
| <math>(n-1)J_n = \frac{\sin{ax}}{a\cos^{n-1}{ax}}+ (n-2)J_{n-2}\,\!</math>
|-
|}
{| class="wikitable"
! 적분
! 적분의 점화식
|-
| <math>I_{m,n} = \int \sin^m{ax}\cos^n{ax}\,\text{d}x\,\!</math>
| <math>I_{m,n} = \begin{cases}
  -\frac{\sin^{m-1}{ax}\cos^{n+1}{ax}}{a(m+n)}+\frac{m-1}{m+n}I_{m-2,n} \\
  \frac{\sin^{m+1}{ax}\cos^{n-1}{ax}}{a(m+n)}+\frac{n-1}{m+n}I_{m,n-2} \\
\end{cases}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n} = \int \frac{\text{d}x}{\sin^m{ax}\cos^n{ax}}\,\!</math>
| <math>I_{m,n} = \begin{cases}
  \frac{1}{a(n-1)\sin^{m-1}{ax}\cos^{n-1}{ax}}+\frac{m+n-2}{n-1}I_{m,n-2} \\
  -\frac{1}{a(m-1)\sin^{m-1}{ax}\cos^{n-1}{ax}}+\frac{m+n-2}{m-1}I_{m-2,n} \\
\end{cases}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n} = \int \frac{\sin^m{ax}}{\cos^n{ax}}\,\text{d}x\,\!</math>
| <math>I_{m,n} = \begin{cases}
  \frac{\sin^{m-1}{ax}}{a(n-1)\cos^{n-1}{ax}}-\frac{m-1}{n-1}I_{m-2,n-2} \\
  \frac{\sin^{m+1}{ax}}{a(n-1)\cos^{n-1}{ax}}-\frac{m-n+2}{n-1}I_{m,n-2} \\
  -\frac{\sin^{m-1}{ax}}{a(m-n)\cos^{n-1}{ax}}+\frac{m-1}{m-n}I_{m-2,n} \\
\end{cases}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n} = \int \frac{\cos^m{ax}}{\sin^n{ax}}\,\text{d}x\,\!</math>
| <math>I_{m,n} = \begin{cases}
  -\frac{\cos^{m-1}{ax}}{a(n-1)\sin^{n-1}{ax}}-\frac{m-1}{n-1}I_{m-2,n-2} \\
  -\frac{\cos^{m+1}{ax}}{a(n-1)\sin^{n-1}{ax}}-\frac{m-n+2}{n-1}I_{m,n-2} \\
  \frac{\cos^{m-1}{ax}}{a(m-n)\sin^{n-1}{ax}}+\frac{m-1}{m-n}I_{m-2,n} \\
\end{cases}\,\!</math>
|-
|}
{| class="wikitable"
! 적분
! 적분의 점화식
|-
| <math>I_{n} = \int x^n e^{ax}\,\text{d}x\,\!</math>  <math>n > 0\,\!</math>
| <math> I_{n} = \frac{x^n e^{ax}}{a} - \frac{n}{a}I_{n-1} \,\!</math>
|-
| <math>I_{n} = \int x^{-n} e^{ax} \,\text{d}x\,\!</math>  <math>n > 0\,\!</math>

<math>n \neq 1\,\!</math>
| <math> I_{n} = \frac{- e^{ax}}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{a}{n-1}I_{n-1} \,\!</math>
|-
| <math>I_{n} = \int e^{ax} \sin^n{bx} \,\text{d}x\,\!</math>
| <math> I_{n} = \frac{e^{ax} \sin^{n-1}{bx}}{a^2+(bn)^2}\left ( a\sin bx - bn\cos bx \right ) + \frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn)^2}I_{n-2} \,\!</math>
|-
| <math>I_{n} = \int e^{ax} \cos^n{bx} \,\text{d}x\,\!</math>
| <math> I_{n} = \frac{e^{ax} \cos^{n-1}{bx}}{a^2+(bn)^2}\left ( a\cos bx + bn\sin bx \right ) + \frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn)^2}I_{n-2} \,\!</math>
|-
|}

== 각주 ==
{{각주}}

== 서지 ==

* Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition.
[[분류:적분학]]