저우 군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}

[[대수기하학]]에서 임의의 [[체 (수학)|체]]에 [[대수다양체|대수 버라이어티]]의 '''저우 군'''은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[호몰로지|코호몰로지]]와 비슷한 대수-기하학적 유사체이다. 저우 군의 원소는 단순 또는 세포 코호몰로지 군이 부분 복합체에서 형성되는 방식과 유사한 방식으로 부분 버라이어티들(소위 [[대수적 순환]])로 형성된다. 버라이어티가 [[매끄러운 스킴|매끄러울]] 때 저우 군은 코호몰로지 군( [[푸앵카레 쌍대성]] 비교)으로 해석될 수 있으며 교차곱이라는 곱셈을 갖는다. 저우 군은 대수 버라이어티에 대한 풍부한 정보를 전달하고, 일반적으로 계산하기가 어렵다. 1958년 클로드 슈발레가 [[저우웨이량]]의 이름을 따서 명명했다.

== 유리적 동치성과 저우 군 ==
다음 내용을 위해 체 <math>k</math>에 대한 '''버라이어티'''를 유한 유형 <math>k</math>- integral [[스킴 (수학)|스킴]]으로 정의한다. 임의의 유한 유형 <math>k</math>-스킴 <math>X</math>에 대해, <math>X</math> 위의 '''대수적 순환'''은 <math>X</math>의 부분 버라이어티의 [[정수]] 계수 유한 [[선형 결합]]을 의미한다.(여기와 아래에서는, 달리 명언급지 않는 한  부분 버라이어티들이 <math>X</math> 안에서 닫혀 있는 것으로 이해된다.  [[자연수]] <math>i</math>에 대해, <math>X</math> 위의 <math>i</math> -차원 순환(또는 <math>i</math> - '''순환''')들이 이루는 군 <math>Z_i(X)</math>은 <math>X</math>의 <math>i</math> 차원 부분 버라이어티들의 집합에서 생성된 [[자유 아벨 군]]이다.

임의의 <math>i+1</math>차원 버라이어티 <math>W</math>와 <math>W</math> 위에서 정의된 영함수가 아닌 임의의 [[유리 함수층|유리 함수]] <math>f</math>에 대해, <math>f</math>는 <math>i</math> -순환

: <math>(f) = \sum_Z \operatorname{ord}_Z (f) Z   </math>

이다. 여기서 합은 <math>W</math>의 모든 <math>i</math>  -차원 부분 버라이어티 <math>Z</math>에 걸쳐 있고, 정수 <math>\operatorname{ord}_Z(f)</math>는 <math>Z</math> 위에서 <math>f</math>의 소멸 차수를 나타낸다.(따라서,  <math>f</math>가 <math>Z</math> 위에서 극점을 가지면 <math>\operatorname{ord}_Z(f)</math>가 음수이다.) <math>W</math>가 특이 버라이어티인 경우 소멸 차수의 정의에 약간의 주의가 필요하다.<ref>Fulton. Intersection Theory, section 1.2 and Appendix A.3.</ref>

유한 유형 <math>k</math>-스킴 <math>X</math>에 대해, '''유리적으로 0과 동치'''인 <math>i</math>-순환들의 군은, <math>X</math>의 모든 <math>(i+1)</math>-차원 부분 버라이어티 <math>W</math>에 대한 순환 <math>(f)</math>와 <math>W</math> 위의 0이 아닌 모든 유리 함수 <math>f</math>에 의해 생성된 <math>Z_i(X)</math>의 부분 군이다. <math>X</math>위의 <math>i</math> -차원 순환들의 '''저우 군''' <math>CH_i(X)</math>은, <math>Z_i(X)</math>을 유리적으로 0과 동치인 순환의 부분 군으로 나눈 [[몫군]]이다. 가끔 저우 군에서 부분 버라이어티 <math>Z</math>의 동치류를 <math>[Z]</math>로 쓰는 사람도 있다.  두 개의 부분 버라이어티 <math>Z</math>, <math>W</math>의 경우 <math>Z</math>와 <math>W</math>가 '''유리적으로 동치'''임을 <math>[Z] = [W]</math>라고 쓴다.

예를 들어, <math>X</math>은 <math>n</math>차원 버라이어티일 때. 저우 군 <math>CH_{n-1}(X)</math>은 <math>X</math>의 제수 유군이다 . <math>X</math>가 <math>k</math> 위에서 매끄러울 때  (또는 더 일반적으로,  locally Noetherian normal factorial scheme<ref>Stacks Project, https://stacks.math.columbia.edu/tag/0BE9</ref> ), 이는 <math>X</math> 위의 [[가역층|선다발]]들의 [[피카르 군]]과 동형이다.

=== 유리적 동치성의 예 ===

==== 사영 공간에 대한 유리적 동치성 ====
초곡면에 의해 정의된 유리적으로 동치적인 순환은 모두 동일한 벡터 다발의 영점들로 구성될 수 있기 때문에 사영 공간에서 구성하기 쉽다. 예를 들어, 두 개의 <math>d</math>차 동차 다항식 <math>f,g \in H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal O(d))</math>이 주어졌을 때,  <math>sf + tg</math>의 영점 궤적으로 정의된 초곡면 족을 구성할 수 있다. 대략적으로 이것은 다음과 같이 구성될 수 있다.

: <math>
X = \text{Proj}\left( \frac{\mathbb{C}[s,t][x_0,\ldots,x_n]}{(sf + tg)}\right) \hookrightarrow \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^n
</math>

사영 <math>\pi_1: X \to \mathbb{P}^1</math>을 사용하여 점 <math>[s_0:t_0]</math>에서 올이  <math>s_0 f + t_0 g</math>로 정의되는 사영 초곡면임을 알 수 있다. <math>sf + tx_0^d</math>는 유리적인 동치성을 확립하는 데 사용될 수 있기 때문에, 이는 모든 <math>d</math>차 초곡면의 순환류가 <math>d[\mathbb{P}^{n-1}]</math>과 유리적으로 동치인 것을 보여주는 데 사용될 수 있다. <math>x_0^d=0</math>의 궤적이 <math>\mathbb{P}^{n-1}</math>임과  중복도 <math>d</math>인 버라이어티를 가짐에 주목하라. 이는 순환류의 계수이다.

==== 곡선 위의 순환의 유리적 동치성 ====
매끄러운 사영 곡선 <math>C</math>의 두 개의 서로 다른 선다발 <math>L, L' \in\operatorname{Pic}(C)</math>을 취하는 경우, 두 선다발의 일반 단면에서 사라지는 궤적은 <math>CH(C)</math> 안에서 비동치 순환류를 정의한다. 이는 매끄러운 버라이어티의 경우 <math>\operatorname{Div}(C) \cong \operatorname{Pic}(C)</math>이기 때문이다. 따라서 <math>s \in H^0(C, L)</math>의 제수 류 그리고 <math>s' \in H^0(C, L')</math>는 동치가 아닌 류를 정의한다.

== 저우 환 ==
<math>k</math>-스킴 <math>X</math>가 매끄러울 때, 저우 군은 단지 등급 아벨 군이 아니라 더 나아가 환을 형성한다. 즉, <math>X</math>가 <math>k</math> 위에서 매끄러울 때, <math>CH^i(X)</math>를 <math>X</math> 위의 [[여차원]] <math>i</math>의 순환들의 저우 군이라 하자. (여기서 <math>X</math>는 <math>n</math>차원 버라이어티이다 , 이것은 단지 <math>CH^i(X) = CH_{n-i}(X)</math>을 의미한다.) 그러면 군 <math>CH^*(X)</math>에 곱셈

: <math>CH^i(X) \times CH^j(X) \rightarrow CH^{i+j}(X).</math>

을 추가하면 가환 [[등급 대수|등급 환]]을 형성한다. 이 곱셈은 대수적 순환의 교차로부터 발생한다. 예를 들어, <math>Y</math>와 <math>Z</math>가 <math>X</math>의 각각 여차원 <math>i</math>, <math>j</math> 인 매끄러운 부분 버라이어티이고  <math>Y</math>, <math>Z</math>가 [[횡단성|횡단적]]으로 교차하면,<math>CH^{i+j}(X)</math>에서 곱 <math>[Y][Z]</math>이 교차 <math>Y\cap Z</math>의 여차원 <math>i+j</math>인 기약 성분들의 합이다.

보다 일반적으로 다양한 경우에 [[교차 이론]]은 저우 환에서 곱 <math>[Y][Z]</math>을 나타내는 명시적인 순환을 구성한다. 예를 들어, <math>Y</math>와 <math>Z</math>가 서로 여차원인(즉, 두 대상의 차원의 합이 <math>X</math>의 차원과 같다.) 부분 버라이어티이면, 교차의 차원이 0인 경우 <math>[Y][Z]</math>는 [[교차수]]라고 불리는 계수를 갖는 교차점들의 합과 같다. 매끄러운 <math>k</math>-스킴 <math>X</math>의 임의의 부분 버라이어티 <math>Y</math>와 <math>Z</math>의 경우, 교차 <math>Y\cap Z</math>의 차원에 대한 가정 없이 윌리엄 풀턴과 Robert MacPherson의 교차 이론은 <math>Y\cap Z</math>의 저우 군의 표준 요소를 구성한다. <math>X</math>의 저우 군의 상은 곱 <math>[Y][Z]</math>과 같다.<ref>Fulton, Intersection Theory, section 8.1.</ref>

== 예 ==

=== 사영 공간 ===
임의의 체 <math>k</math> 위에서 [[사영 공간]] <math>\mathbb P^n</math>의 저우 환은 환

: <math>CH^*(\mathbb P^n) \cong \mathbf Z[H]/(H^{n + 1}) </math>

이다. 여기서 <math>H</math>는 초평면(특이 선형 함수의 영점 궤적)의 동치류이다. 게다가, 사영 공간에서 <math>d</math>차이고 여차원 <math>a</math>인 임의의 부분 버라이어티 <math>Y</math>들은 <math>dH^a</math>와 유리적으로 동일하다. <math>\mathbb P^n</math> 안에서 여차원 <math>a</math>의  및 차수 <math>b</math>인 임의의 두 부분 버라이어티 <math>Y</math>, <math>Z</math>에 대해서 저우 환 안에서 곱은 다음과 같다.

: <math>[Y] \cdot [Z] = a\, b\, H^n</math>

여기서 <math>H^n</math>는 <math>\mathbb P^n</math> 안의 <math>k</math>-유리점의 동치류이다. 예를 들어, <math>Y</math>와 <math>Z</math>가 가로로 교차하면 <math>Y\cap Z</math>는 <math>ab</math>차 영 순환이다. 기본 체 <math>k</math>가 [[대수적으로 닫힌 체|대수적으로 닫힌]]인 경우, 이는 정확히  <math>ab</math> 가지의 교차점이 있음을 의미한다; 이것은 [[열거 기하학|열거 기하학의 고전적인 결과인 베주의 정리]]의 한 버전이다.

=== 사영 다발 공식 ===
랭크 <math>r</math>인 벡터 다발 <math>E \to X</math>이 주어지면  매끄러운 적절한 스킴 <math>X</math>을 통해 연관된 사영 다발 <math>\mathbb{P}(E)</math>의 저우 환은 <math>X</math>의 저우 환과 <math>E</math>의 천 특성류를 사용하여 계산할 수 있다.<math>\zeta = c_1(\mathcal O_{\mathbb{P}(E)}(1))</math>이고 <math>E</math>의 천 특성류를 <math>c_1,\ldots, c_r</math>라 하면, 환 동형사상

: <math>
CH^\bullet(\mathbb{P}(E)) \cong \frac{CH^\bullet(X)[\zeta]}{\zeta^r + c_1\zeta^{r-1} + c_2\zeta^{r-2} + \cdots + c_r}
</math>

이 존재한다.

==== 히르체부르흐 곡면 ====
예를 들어, [[히르제브루흐 표면|히르체부르흐 곡면]]의 저우 환은 사영 다발 공식을 사용하여 쉽게 계산할 수 있다. <math>\mathbb{P}^1</math> 위에 <math>F_a = \mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(a))</math>과 같이 구성되어 있음을 기억하라. 그러면 이 벡터 다발의 유일하고 자명하지 않은 천 특성류는 <math>c_1 = aH</math>과 같다. 이는 저우 환이 다음과 동형임을 의미한다.

: <math>
CH^\bullet(F_a) \cong \frac{CH^\bullet(\mathbb{P}^1)[\zeta]}{(\zeta^2 + aH\zeta)} \cong \frac{\mathbf Z[H,\zeta]}{(H^2, \zeta^2+aH\zeta)}
</math>

=== 주목할만한 사항들 ===
다른 대수 버라이어티의 경우 저우 군이 더 풍부한 성질을 가질 수 있다. 예를 들어, 체 <math>k</math>위의 [[타원곡선|타원 곡선]] <math>X</math>를 고려하자. 그러면 <math>X</math> 위의 저우 군의 영 순환들은 [[완전열]]

: <math> 0 \rightarrow X(k) \rightarrow CH_0(X) \rightarrow \mathbf{Z} \rightarrow 0 </math>

에 들어맞는다. 따라서 [[타원 곡선]] <math>X</math>의 저우 군은 <math>X</math>의 <math>k</math>- [[유리점]]들이 이루는 군 <math>X(k)</math>과 밀접한 관련이 있다.  여기서 <math>k</math>는 [[대수적 수체|수체]]이다. <math>X(k)</math>는 <math>X</math>의 모델-베유 군이라고 불린다. 정수론의 가장 깊은 문제 중 일부는 이 군을 이해하려는 시도이다. 여기서 <math>k</math>는 [[복소수]]이며, 타원 곡선의 예는 저우 군이 셀 수 없는 아벨 군일 수 있음을 보여준다.

== 함자성 ==
<math>k</math>-스킴들의 [[고유 사상|적절한 사상]] <math>f: X\to Y</math>에 대해서는, 각 정수 <math>i</math>에 대해 '''밂 준동형사상''' <math>f_*: CH_i(X)\to CH_i(Y)</math>이 있다. 예를 들어, 적절한 <math>k</math>-스킴 <math>X</math>에 대해서, 이는 준동형 사상 <math>CH_0(X)\to \mathbf Z</math>을 제공한다. 이는 <math>X</math> 안의 닫힌 점의 <math>k</math>-차수를 나타낸다. (<math>X</math> 안의 닫힌 점은 <math>k</math>의 유한 확대 체 <math>E</math>의 경우 <math>\operatorname{Spec}(E)</math> 형식을 가지고 있다. 또 이의 차수는 <math>E</math>의 <math>k</math>-차수를 뜻한다.)

 <math>r</math>차원 올(비어 있을 수도 있음)을 가진 <math>k</math>-스킴의 [[평탄 사상]] <math>f: X\to Y</math>에 대해 [[귀진 완전열|준동형사상]] <math>f^*: CH_i(Y)\to CH_{i+r}(X)</math>이 존재한다.

저우 군의 주요 계산 도구는 다음과 같은 '''국소화 열'''이다. <math>k</math>-스킴 <math>X</math>과 <math>X</math>의 닫힌 부분 스킴 <math>Z</math>에 대해, 다음 [[완전열]]이 있다:

: <math>CH_i(Z) \rightarrow CH_i(X) \rightarrow CH_i(X-Z) \rightarrow 0,</math>

여기서 첫 번째 준동형사상은 적절한 사상 <math>Z\to X</math>와 관련된 밂이다. 두 번째 준동형사상은 평탄 사상 <math>X - Z \to X</math>에 대한 당김이다.<ref>Fulton, Intersection Theory, Proposition 1.8.</ref> 국소화 열은 '''고차 저우 군'''으로도 알려진 저우 군, (보렐-무어) [[모티브 코호몰로지]] 군의 일반화를 사용하여 왼쪽으로 확장될 수 있다.<ref>Bloch, Algebraic cycles and higher K-groups; Voevodsky, Triangulated categories of motives over a field, section 2.2 and Proposition 4.2.9.</ref>

매끄러운 <math>k</math>-스킴의 임의의 사상 <math>f: X\to Y</math>에 대해 당김 준동형사상 <math>f^*: CH^i(Y)\to CH^i(X)</math>이 존재한다. 이는 환 준동형사상 <math>CH^*(Y)\to CH^*(X)</math>이다.

=== 평탄 당김의 예 ===
부풀리기를 사용하여 예제가 아닌 항목을 구성할 수 있다. 예를 들어 <math>\mathbb{A}^2</math>의 원점 부풀리기를 취한다면  그러면 원점 위의 올은 <math>\mathbb{P}^1</math>과 동형이다.

==== 곡선의 분기된 덮개 ====
곡선의 분기된 덮개

: <math>f: \operatorname{Spec}\left( \frac{\mathbb{C}[x,y]}{(f(x) - g(x,y))} \right) \to \mathbb{A}^1_x</math>

를 고려하자. 이 사상은 <math>f(\alpha) = 0</math>일 때마다 분기되기 때문에  인수분해

: <math>g(\alpha,y) = (y - a_1)^{e_1}\cdots(y-a_k)^{e_k}</math>

를 얻는다. 여기서 어떤 하나의 <math>i</math>에 대해  <math>e_i>1</math> . 이는 점<math>\{\alpha_1,\ldots,\alpha_k \} = f^{-1}(\alpha)</math>이 각각 중복도 <math>e_1,\ldots,e_k</math>를 가지고 있음을 함의한다. 점 <math>\alpha</math>의 평탄 당김은 그렇다면

: <math>f^*[\alpha] = e_1[\alpha] + \cdots + e_k[\alpha_k]</math>

이다.

==== 버라이어티의 평탄 족 ====
평탄 버라이어티들의 족

: <math>X \to S</math>

과 부분 버라이어티 <math>S' \subset S</math>을 고려하자. 그런 다음 데카르트 정사각형을 사용하여

: <math>
\begin{matrix}
S'\times_{S} X & \to & X \\
\downarrow & & \downarrow \\
S' & \to & S
\end{matrix}
</math>

여기서 <math>S'\times_{S} X</math>의 상이 <math>X</math>의 부분 버라이어티이다. 그러므로

: <math>f^*[S'] = [S'\times_S X]</math>.

== 순환 사상 ==
저우 군에서 더 계산이 잘되는 이론에 이르기까지 몇 가지 준동형사상('''순환 사상'''으로 알려짐)이 있다.

첫째, 복소수 스킴 ''<math>X</math>''의 경우 저우 군에서 보렐–무어 호몰로지에 대한 준동형사상이 있다.<ref>Fulton, Intersection Theory, section 19.1</ref>

: <math>\mathit{CH}_i(X) \rightarrow H_{2i}^{BM}(X,\mathbf{Z}).</math>

''<math>X</math>''의 ''i'' 차원 부분버라이어티가 실수 차원 2''i를'' 갖기 때문에 인수 2가 나타난다. ''<math>X</math>가'' 복소수에 대해 매끄러우면 이 순환 사상은 준동형 사상

: <math>\mathit{CH}^j(X) \rightarrow H^{2j}(X,\mathbf{Z})</math>

으로서 [[푸앵카레 쌍대성]]을 사용하여 다시 작성될 수 있다. 이 경우( <math>X</math>는 '''C'''에 대해 매끄러움), 이러한 준동형사상은 저우 환에서 코호몰로지 환으로 가는 환 준동형 사상을 형성한다. 직관적으로 이는 저우 환와 코호몰로지 환이 순환의 교차점을 설명하기 때문이다.

매끄러운 복소 [[사영 다형체|사영 버라이어티]]를 위해 더 풍부한 이론인 [[들리뉴-베일린손 코호몰로지|들리뉴 코호몰로지]]를 통해 저우 환에서 일반적인 코호몰로지 인자로 가는 순환 사상을 작성한다.<ref>Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, v. 1, section 12.3.3; v. 2, Theorem 9.24.</ref> 이는 0과 호몰로지 동치인 순환들에서 intermediate Jacobian로 가는 Abel-Jacobi 사상을 통합한다. [[지수열]]이 ''<math>\text{CH}^1(X)</math>''가 들리뉴 코호몰로지와 동형으로 사상되지만 ''j'' > 1인 ''<math>\text{CH}^j(X)</math>''에 대해서는 실패함을 보여준다.

임의의 체 ''k''에 대한 스킴 ''<math>X</math>''의 경우 저우 군에서 (보렐–무어) [[에탈 코호몰로지]]로 가는 유사한 순환 사상이 있다. ''<math>X</math>'' ''매끄러울 떄'', 이 동형은 저우 환에서 에탈 코호몰로지까지의 환 동형으로 식별될 수 있다.<ref>Deligne, Cohomologie Etale (SGA 4 1/2), Expose 4.</ref>

== K-이론과의 관계 ==
체 위의 매끄러운 스킴 ''<math>X</math>''의 (대수적) [[벡터 다발]] ''E는'' ''<math>\text{CH}^i(X)</math>''에 [[천 특성류]] ''c''<sub>''i''</sub>( ''E'' )를 가지며 위상에서와 동일한 형식 속성을 갖는다.<ref>Fulton, Intersection Theory, section 3.2 and Example 8.3.3.</ref> 천 특성류는 벡터 다발과 저우 군의 긴밀한 연결을 제공한다. 즉, ''K''<sub>0</sub>(''X'')를 ''<math>X</math>''에 있는 벡터 다발의 [[그로텐디크 군]]이라고 가정한다. [[그로텐디크-리만-로흐 정리]]의 일부로 [[알렉산더 그로텐디크|그로텐디크]]는 [[천 특성류|천 특성]]이 다음 동형사상을 제공한다는 것을 보여주었다.

: <math>K_0(X)\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{Q} \cong \prod_i \mathit{CH}^i(X)\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{Q}.</math>

이 동형은 대수 순환에 대한 다른 적절한 동치 관계와 비교하여 유리적 동치의 중요성을 보여준다.

== 관련 추측들 ==
대수기학과 정수론의 가장 깊은 추측 중 일부는 저우 군을 이해하려는 시도이다. 예를 들어:

* [[모델-베유 정리|모델–베유 정리]]는 제수 유 군 ''CH'' <sub>''n'' -1</sub> ( ''X'' )가 수체에 걸쳐 차원 ''n''의 다양한 ''X''에 대해 유한하게 생성된다는 것을 의미한다. 수체에 걸쳐 모든 버라이어티에 대해 모든 저우 군이 유한하게 생성되는지 여부는 미해결 문제이다. [[L-함수의 특별한 값|L-함수의 특수 값]]에 대한 블로흐–[[가토 가즈야|가토]] 추측은 이러한 군이 유한하게 생성된다고 예측한다. 더욱이, 모듈로 코호몰로지 동치성 순환 군의 순위 및 코호몰로지 0과 동치한 순환 군의 순위는 특정 정수 지점에서 주어진 버라이어티의 L-함수가 사라지는 순서와 동일해야 한다. 이러한 순위의 유한성은 또한 대수 K-이론의 [[베이스 추측]]을 따른다.
* 매끄러운 복소 사영 버라이어티 ''<math>X</math>''에 대해 [[호지 추측]]은 저우 군에서 단일 코호몰로지로 가는 순환 사상의 상(유리수 '''Q'''로 [[텐서곱|텐서됨]] )를 예측한다. 유한 생성된 체(예: [[유한체|유한 체]] 또는 수 체)에 대한 매끄러운 사영 버라이어티을 위해 [[테이트 추측]]은 저우 군에서 [[에탈 코호몰로지|l-진 코호몰로지]]로 가는 순환 사상의 상( '''Q'''<sub>''l''</sub>로 텐서링됨)를 예측한다.
* 모든 체에서 매끄러운 사영 버라이어티 ''<math>X</math>''에 대해 블로흐–[[알렉산드르 베일린손|베일린슨]] 추측은 강력한 속성을 가진 ''<math>X</math>''의 저우 군(유리수로 텐서링됨)에 대한 필터링을 예측한다.<ref>Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, v. 2, Conjecture 11.21.</ref> 이 추측은 ''<math>X</math>''의 단일 또는 에탈레 코호몰로지와 ''<math>X</math>''의 저우 군 사이의 긴밀한 연결을 암시한다.

: 예를 들어, ''<math>X</math>를'' 매끄러운 복소 사영 곡면으로 가정한다. ''<math>X</math>''의 영 순환 저우 군은 동형성 정도에 따라 정수에 사상된다. ''K를'' 커널로 둔다. [[기하종수|기하 종수]] ''h'' <sup>0</sup> ( ''X'', Ω <sup>2</sup> )이 0이 아닌 경우 [[데이비드 멈퍼드|멈포드]]는 ''K'' 가 "무한 차원"임을 보여주었다( ''<math>X</math>''에 대한 유한 차원 영순환 계열의 상가 아님).<ref>Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, v. 2, Theorem 10.1.</ref> 블로흐-벨린슨 추측은 만족스러운 역, '''즉 영 순환에 대한 블로흐의 추측을''' 의미한다. 기하학적 종수가 0인 매끄러운 복소 사영 곡면 ''<math>X</math>''의 경우 ''K는'' 유한 차원이어야 한다. 보다 정확하게는 알바니즈 버라이어티 ''<math>X</math>''의 복합점 군에 동형으로 사상되어야 한다.<ref>Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, v. 2, Ch. 11.</ref>

== 저우 군에서 비롯된 개념들 ==

=== 쌍변 이론 ===
풀톤과 MacPherson은 "연산자 저우 환"과 보다 일반적으로 스킴의 모든 사상과 관련된 쌍변 이론을 정의하여 저우 환을 특이 버라이어티로 확장했다.<ref>Fulton, Intersection Theory, Chapter 17.</ref> 쌍변 이론은 사상에 [[군 (수학)|군]]과 [[환 (수학)|환]]을 각각 할당하는 공변 및 반공변 [[함자 (수학)|함자]] 쌍이다. 이는 공간에 환, 즉 [[코호몰로지 환]]을 할당하는 반공변 함수인 [[코호몰로지|코호몰로지 이론]]을 일반화한다. "쌍변(bivariant)"이라는 이름은 이론이 공변 및 반공변함자를 모두 포함한다는 사실을 의미한다.<ref>{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=pR7UCQAAQBAJ|제목=Categorical Framework for the Study of Singular Spaces|성=Fulton|이름=William|성2=MacPherson|이름2=Robert|날짜=1981|출판사=[[American Mathematical Society]]|언어=en|isbn=9780821822432}}</ref>

이것은 어떤 의미에서 저우 환이 특이 버라이어티로 확장된 가장 기본적인 것이다. [[모티브 코호몰로지]]와 같은 다른 이론은 작동 중인 저우 환에 사상된다.<ref>B. Totaro, [https://www.math.ucla.edu/~totaro/papers/public_html/linear5.pdf Chow groups, Chow cohomology and linear varieties]</ref>

=== 기타 ===
산술 저우 군은 아라켈로프 이론 정보를 인코딩하는 구성 요소, 즉 연관된 복소 다양체의 [[미분 형식]]과 함께 '''Q'''에 대한 버라이어티의 저우 군을 융합한 것이다.

체에 대한 유한 유형 스킴의 저우 군 이론은 대수 공간의 이론으로 쉽게 확장된다. 이 확장의 주요 장점은 후자 범주에서 몫을 형성하는 것이 더 쉽고 따라서 대수 공간의 등변 저우 군을 고려하는 것이 더 자연스럽다는 것이다. 훨씬 더 강력한 확장은 스택의 저우 군 확장으로, 이는 일부 특수한 경우에만 구성되었으며 특히 [[가상 기초 수업|가상 기본류]]를 이해하는 데 필요한다.

== 역사 ==
제수의 유리적 동치(선형 동치라고도 함)는 19세기에 다양한 사상로 연구되었으며, 이는 정수론의 [[아이디얼 유군|이데알 유군]]과 대수 곡선 이론의 [[야코비 다양체|야코비 버라이어티]]로 이어졌다. 더 높은 여차원 순환의 경우, 1930년대에 [[프란체스코 세베리]]가 유리적인 동치성을 도입했다. 1956년에 [[저우웨이량|저우 웨이량]]은 [[차우의 움직이는 보조정리|저우의 이동 보조정리]]를 사용하여 매끄러운 준사영 버라이어티에 대한  유리적 동치성을 법으로 순환에서 교차곱이 잘 정의되어 있다는 영향력 있는 증명을 제시했다. 1970년대부터 풀턴과 MacPherson은 가능한 한 특이 버라이어티을 사용하여 저우 군에 대한 현재 표준 기반을 제공했다. 그들의 이론에 따르면 매끄러운 버라이어티의 교차곱은 [[부풀리기|일반 원뿔로의 변형]]을 통해 구성된다.<ref>Fulton, Intersection Theory, Chapters 5, 6, 8.</ref>

== 같이 보기 ==

* [[교차 이론]]
* [[그로텐디크-리만-로흐 정리]]
* [[호지 추측]]
* [[모티브 (수학)|모티브(대수기하학)]]

== 참고문헌 ==

=== 인용 ===
<references />

=== 서론 ===

*  {{인용|last1=Eisenbud|first1=David|last2=Harris|first2=Joe|title=3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry}}

=== 고급 ===

* {{인용|author1-first=Spencer|author1-last=Bloch|author1-link=Spencer Bloch|title=Algebraic cycles and higher ''K''-theory|year=1986|journal=[[Advances in Mathematics]]|issn=0001-8708|volume=61|issue=3|pages=267–304|doi=10.1016/0001-8708(86)90081-2|mr=0852815|doi-access=free}}
* {{인용|first=Chevalley|last=Claude|chapter=Les classes d'équivalence rationnelle, I|title=Anneaux de Chow et applications|series=Séminaire Claude Chevalley|volume=3|year=1958|issue=2|pages=1–14|chapter-url=http://www.numdam.org/item?id=SCC_1958__3__A2_0}}
* {{인용|first=Chevalley|last=Claude|chapter=Les classes d'équivalence rationnelle, II|title=Anneaux de Chow et applications|series=Séminaire Claude Chevalley|volume=3|year=1958|issue=3|pages=1–18|chapter-url=http://www.numdam.org/item?id=SCC_1958__3__A3_0}}
* {{인용|last1=Chow|first1=Wei-Liang|author1-link=Wei-Liang Chow|title=On equivalence classes of cycles in an algebraic variety|year=1956|journal=[[Annals of Mathematics]]|issn=0003-486X|volume=64|issue=3|pages=450–479|doi=10.2307/1969596|jstor=1969596|mr=0082173}}
* {{인용|author1-first=Pierre|author1-last=Deligne|author1-link=Pierre Deligne|title=Cohomologie Etale (SGA 4 1/2)|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1977|mr=0463174|isbn=978-3-540-08066-4}}
* {{인용|last1=Fulton|first1=William|author1-link=William Fulton (mathematician)|title=Intersection Theory|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-98549-7|mr=1644323|year=1998}}
* {{인용|author1-first=Francesco|author1-last=Severi|author1-link=Francesco Severi|title=La serie canonica e la teoria delle serie principali di gruppi di punti sopra una superficie algebrica|journal=[[Commentarii Mathematici Helvetici]]|volume=4|year=1932|pages=268–326|jfm=58.1229.01|doi=10.1007/bf01202721}}
* {{인용|author1-first=Vladimir|author1-last=Voevodsky|author1-link=Vladimir Voevodsky|chapter=Triangulated categories of motives over a field|title=Cycles, Transfers, and Motivic Homology Theories|pages=188–238|publisher=[[Princeton University Press]]|year=2000|mr=1764202|isbn=9781400837120}}
* {{인용|author1-first=Claire|author1-last=Voisin|author1-link=Claire Voisin|title=Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry (2 vols.)|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=2002|isbn=978-0-521-71801-1|mr=1997577}}

[[분류:대수기하학]]