작용소 K이론 문서 원본 보기

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수학에서, '''작용소 K이론'''(作用素K異論, {{llang|en|operator K-theory}})는 [[C* 대수]]에 대응되는 [[K이론]]이다. 주기 2의 보트 주기성을 가지며, 가환 [[C* 대수]]의 경우 [[겔판트 표현 정리]]에 의하여 이는 [[위상 K이론]]과 일치한다.

== 정의 ==
=== 사영원 ===
(항등원을 갖는) [[복소수 대합 대수]] <math>A</math>의 원소 <math>a\in A</math>가 만약 <math>a^2=a^*=a</math>를 만족시킨다면, <math>a</math>를 '''사영원'''({{llang|en|projection element}})이라고 한다. 사영원의 집합을 <math>\operatorname P(A)</math>로 표기하자.

원소 <math>a\in A</math>에 대하여, 만약 <math>a^*a\in\operatorname P(A)</math>라면, <math>a</math>를 '''부분 등거리원'''({{llang|en|partial isometry}})이라고 한다. 만약 <math>a</math>가 부분 등거리원이라면, <math>a^*</math> 역시 부분 등거리원이다. 부분 등거리원들의 집합을 <Math>\operatorname{PI}(A)</math>로 표기하자.

<Math>\operatorname P(A)</math> 위에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 정의할 수 있다.
:<math>a\sim b\iff \exists c\in\operatorname{PI}(A)\colon a=c^*c,\; b=cc^*</math>

=== 무한 행렬 공간 ===
(항등원을 갖는) [[C* 대수]] <math>A</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>A</math>성분의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]]들의 [[C* 대수]] <math>\operatorname{Mat}(n;A)</math>를 정의할 수 있다. <math>n\times n</math> 행렬에 모든 성분이 0인 <math>n+1</math>번째 행 및 열을 추가하는 사상을
:<math>\iota_n\colon\operatorname{Mat}(n;A)\to\operatorname{Mat}(n+1;A)</math>
라고 하면, 이들을 통해 다음과 같은 [[귀납적 극한]]을 취할 수 있다.
:<math>\operatorname{Mat}(\infty;A)=\lim_{n\to\infty}\operatorname{Mat}(n;A)</math>
이는 그러나 항등원을 갖지 않아 [[환 (수학)|환]]이 아니다. <math>\operatorname{Mat}(\infty;A)</math> 위에 이항 연산
:<math>M\oplus N=\begin{pmatrix}
M&0_{m\times n}\\
0_{n\times m}&N
\end{pmatrix}\qquad(M\in\operatorname{Mat}(m;A),\;N\in\operatorname{Mat}(n;A))</math>
을 정의하자.

<math>\operatorname{Mat}(\infty;A)</math> 위에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 정의하자.
:<math>M\sim N\iff\exists P\in\operatorname{Mat}(m,n;A)\colon M=PP^*,\;N=P^*P\qquad(M\in\operatorname{Mat}(m;A),\;N\in\operatorname{Mat}(n;A))</math>
그렇다면, <Math>\operatorname{Mat}(\infty;A)/\sim</math>는 [[가환 모노이드]]를 이룬다. 이를 <math>\operatorname D(A)</math>로 표기하자. <math>\operatorname D(A)</math>의 [[그로텐디크 군]]을 <math>A</math>의 '''0차 K군'''이라고 하며, <math>\operatorname K_0(A)</math>로 표기한다.

=== K<sub>1</sub> ===
마찬가지로, <math>A</math>계수의 [[일반 선형군]]
:<math>\operatorname{GL}(n;A)=\operatorname{Unit}\left(\operatorname{Mat}(n;A)\right)</math>
및
:<math>\operatorname{GL}(\infty;A)=\lim_{n\to\infty}\operatorname{GL}(n;A)</math>
를 정의하자. (<math>\operatorname{GL}(\infty;A)</math>는 항등원을 갖지 않아 사실 [[군 (수학)|군]]이 아니다.) 이 경우, <math>A</math>의 '''<math>i</math>차 K군'''은 다음과 같다.
:<math>\operatorname K_i(A)=\pi_{i-1}(\operatorname{GL}(\infty;A))\qquad(i\ge1)</math>

== 성질 ==
보트 주기성에 따라
:<math>\operatorname K_{i+2}(A)=\operatorname K_i(A)</math>
이다.

== 예 ==
1차원 [[C* 대수]] <math>\mathbb C</math>를 생각하자. <math>\operatorname K_0(\mathbb C)</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname D(\mathbb C)\cong\mathbb N</math>
:<math>\operatorname K_0(\mathbb C)\cong\mathbb Z</math>
구체적으로,
:<math>n\mapsto[1_{n\times n}]\qquad(n\in\mathbb N)</math>
이다. 이는 복소수 [[정사각 행렬]] <Math>M\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb C)</math> 가운데 <math>M^2=1</math>이라면
:<math>M=\operatorname{diag}(e_1,e_2,\dotsc,e_n)</math>
:<math>e_1,\dotsc,e_n\in\{0,1\}</math>
의 꼴이기 때문이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last1=Rordam | first1=M. | last2=Larsen | first2=Finn | last3=Laustsen | first3=N. | title=An introduction to ''K''-theory for C*-algebras | publisher=Cambridge University Press | series=London Mathematical Society Student Texts | isbn=978-0-521-78334-7| 날짜=2000-01 | volume=49 | doi= 10.1017/CBO9780511623806 | 언어=en}}
* {{저널 인용 | arxiv=funct-an/9606001 | 제목=An introduction to ''K''-theory and cyclic cohomology | 이름=Jacek | 성=Brodzky|bibcode=996funct.an..6001B|날짜=1996|언어=en}}
* {{서적 인용 | 제목=''K''-theory for operator algebras | 성= Blackadar |이름= Bruce | doi=10.1007/978-1-4613-9572-0 | issn= 0940-4740 | 총서=Mathematical Sciences Research Institute Publications | 권=5 | 출판사=Springer-Verlag | isbn= 978-1-4613-9574-4 | 날짜=1986 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=operator K-theory|title=Operator K-theory}}
* {{웹 인용|url=https://www.impan.pl/swiat-matematyki/notatki-z-wyklado~/k_theory.pdf|제목=Lecture notes on the ''K''-theory of operator algebras|이름=Rainer|성=Matthies|이름2=Wojciech|성2=Szymański|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.unice.fr/~indira/papers/Bernst.pdf|제목=Crash-course on topological K-theory for C*-algebras|이름=I. L.|성=Chatterji|날짜=2002-11-07|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.maths.gla.ac.uk/~cvoigt/papers/KTheorie.pdf|제목=K-Theorie für Operatoralgebren|이름=Christian|성=Voigt|언어=de}}

{{전거 통제}}

[[분류:K이론]]
[[분류:연산자 이론]]