작용소 노름 문서 원본 보기

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[[함수해석학]]에서 '''작용소 노름'''(作用素norm, {{llang|en|operator norm}})은 두 [[노름 공간]] 사이의 [[유계 작용소]]에 대하여 정의되는 [[노름]]이다.

두 노름 공간 사이의 [[유계 작용소]]는 단위 벡터를 어떤 유한한 길이 이상으로 늘리지 못하는, 두 [[노름 공간]] 사이의 [[선형 변환]]인데, 유계 작용소가 단위 벡터를 늘리는 최댓값을 그 '''작용소 노름'''이라고 한다. 즉, 작용소 노름이 ''c''인 작용소는 임의의 벡터의 길이를 ''c''배 초과로 늘리지 못한다.

== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]] 가운데 하나이며, <math>V</math>와 <math>W</math>가 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]이라고 하자. 그렇다면, 이들 사이의 [[선형 변환]] <math>T\colon V\to W</math>에 대하여, 다음과 같은 음이 아닌 [[확장된 실수]]를 정의할 수 있으며, 이를 <math>T</math>의 '''작용소 노름'''이라고 한다.<ref>{{서적 인용
|성=Reed | 이름=Michael C. |이름2=Barry |성2=Simon
|제목=Functional analysis
|총서=Methods of modern mathematical physics |권=1
|출판사=Academic Press
|날짜=1980
|isbn=0-12-585050-6
|zbl= 0459.46001
|언어=en
}}</ref>{{rp|69, Example III.1.4}}<ref name="Rudin">{{서적 인용 | last=Rudin | first=Walter | authorlink=월터 루딘 | 제목=Functional analysis | url=https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi | publisher=McGraw-Hill | isbn=978-0-07-054236-5 | 날짜=1991 | zbl=0867.46001 | 총서=International Series in Pure and Applied Mathematics|판=2판 |언어=en}}</ref>{{rp|92–93, Theorem 4.1; 95, Theorem 4.4}}
:<math>
\begin{align}
\|T\|&=\sup_{v\in V\setminus\{0\}}\frac{\|Tv\|_W}{\|v\|_V}\\
&=\sup_{v\in V\setminus\{0\}}\|T(v/\|v\|_V)\|_W \\
&= \inf\left\{c\in[0,\infty)\colon \|Tv\|_W \le c\|v\|_V \forall v\in V\right\} \\
&= \inf\left\{c\in[0,\infty): \frac{\|Tv\|_W}{\|v\|_V} \le c \forall v\in V\setminus\{0\}\right\} \\
&= \sup_{v\in V,\;\|v\|_V = 1} \|Tv\|_W\\
&\in[0,\infty]
\end{align}
</math>
위 [[상계]](또는 [[하계 (수학)|하계]])는 일반적으로 포화되지 못할 수 있다.

== 성질 ==
작용소 노름은 [[유계 작용소]] 위의 [[노름]]이다. 즉, 아래의 성질을 만족시킨다.
:<math>\|T\| = 0 \iff T = 0 \qquad\forall T\in\operatorname B(V,W)</math>
:<math>\|aT\| = |a| \|T\| \qquad\forall a\in\mathbb K,\; T\in\operatorname B(V,W) </math>
:([[삼각 부등식]]) <math>\|T + U\| \le \|T\| + \|U\| \qquad\forall T,U\in\operatorname B(V,W)</math>

두 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]] <math>V</math>와 <math>W</math> 사이의 임의의 <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]] <math>T\in\hom_{\mathbb K}(V,W)</math>에 대하여 다음 네 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Rudin"/>{{rp|24, Theorem 1.32}}
* <math>T</math>는 [[유계 작용소]]이다.
* <math>T</math>는 (<math>V</math>와 <math>W</math>의 위상에 대하여) [[연속 함수]]이다.
* (<math>V</math>와 <math>W</math>의 덧셈 [[위상군]] [[균등 공간]] 구조에 대하여) [[균등 연속 함수]]이다.
* <math>T</math>는 (<math>V</math>와 <math>W</math>의 노름 [[거리 함수]]에 대하여) [[립시츠 연속 함수]]이다.
* <math>T</math>의 작용소 노름이 유한하다. 즉, <math>\|T\|<\infty</math>이다.
이 가운데 ‘립시츠 연속 ⇒ 균등 연속 ⇒ 연속’은 자명하다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (유한 노름 ⇒ 립시츠 연속):'''
<div class="mw-collapsible-content">
유한한 노름의 작용소 <math>T</math>가 주어졌을 때, 임의의 <math>u,v\in V</math>에 대하여,
:<math>d(Tu,Tv)=\|Tu-Tv\|=\|T(u-v)\|\le \|T\| d(u,v)</math>
이므로, <Math>T</math>는 립시츠 상수 <math>\|T\|</math>에 대하여 [[립시츠 연속 함수]]이다.
</div></div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (연속 ⇒ 유한 노름):'''
<div class="mw-collapsible-content">
연속 작용소 <math>T</math>가 주어졌다고 하자. 연속성의 정의에 따라,
:<math>T\left(\operatorname{ball}_V(0,\delta)\right)\subseteq\operatorname{ball}_W(0,1)</math>
인 양의 실수 <math>\delta\in\mathbb R^+</math>가 존재한다. (여기서 <math>\operatorname{ball}(x,r)</math>는 [[열린 공]]을 뜻한다.)

그렇다면, 연속성에 따라, 임의의 <math>v\in V\setminus\{0\}</math>에 대하여, <math>\delta v/2\|v\|\in\operatorname{ball}_V(0,\delta)</math>이므로,
:<math>\|Tv\|=\frac{2\|v\|}\delta\cdot \|T(\delta v/2\|v\|)\| \le \frac{2\|v\|}\delta</math>
이다. 즉,
:<math>\|T\|\le \frac 2\delta <\infty</math>
이다.
</div>
</div>

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[페아노의 정리]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=OperatorNorm|title=Operator norm}}

[[분류:연산자 이론]]
[[분류:노름]]