작용소군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서 '''작용소군'''(作用素群, {{llang|en|operator group}})은 어떤 [[모노이드]]의 작용을 갖춘 [[군 (수학)|군]]이다. [[군 (수학)|군]]과 [[가군]]의 공통적인 일반화이다.

== 정의 ==
'''작용소군''' <math>(G,\Omega,\phi)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.<ref name="Rotman">{{서적 인용 | 성=Rotman|이름= Joseph  | title=An introduction to the theory of groups | publisher=Springer | 날짜=1994 | isbn= 978-1-4612-8686-8|doi=10.1007/978-1-4612-4176-8|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=148|issn=0072-5285|zbl=0810.20001|판=4|언어=en}}</ref>{{rp|151}}
* <math>G</math>는 [[군 (수학)|군]]이다.
* <math>\Omega</math>는 [[모노이드]]이다. 이 모노이드의 원소를 '''작용소'''({{llang|en|operator}})라고 한다.
* <math>\phi\colon\Omega\to\operatorname{End}(G)</math>는 [[모노이드]]의 [[준동형]]이다.
일부 저자들은 <math>\Omega</math>가 [[반군]](즉, 단위원을 가지지 않을 수 있음)일 경우를 허용하기도 한다. 이 경우, 자명하게 항등원을 추가할 수 있으므로 사실상 같은 개념을 얻는다.

작용소 모노이드가 <math>\Omega</math>인 작용소군을 '''<math>\Omega</math>-작용소군'''({{llang|en|<math>\Omega</math>-group}})이라고 한다. 주어진 <math>\Omega</math>에 대하여, <math>\Omega</math>-작용소군들의 모임은 [[대수 구조 다양체]]를 이룬다. <math>\Omega</math>-작용소군에서, <math>\Omega</math>의 구조를 보존시키는 부분군을 '''허용 가능 부분군'''({{llang|en|admissible subgroup}})이라고 한다.<ref name="Rotman"/>{{rp|151}}

== 예 ==
작용소군의 대표적인 예로는 다음이 있다.
{| class=wikitable
! 군 !! 작용소 집합 <math>\Omega</math> !! 작용 !! 허용 가능 부분군
|-
| <math>G</math> || [[한원소 집합]] <math>\{\bullet\}</math> || [[항등 함수]] || (임의의) [[부분군]]
|-
| <math>G</math> || <math>G</math> || <math>g\colon h\mapsto ghg^{-1}</math> || [[정규 부분군]]
|-
| <math>G</math> || [[자기 동형군]] <math>\operatorname{Aut}G</math> || [[자기 사상]]의 작용 || [[특성 부분군]]({{llang|en|characteristic subgroup}})
|-
| <math>G</math> || [[자기 준동형]] 모노이드 <math>\operatorname{End}G</math> || [[자기 사상]]의 작용 || 완전 불변 부분군({{llang|en|fully invariant subgroup}})
|-
| <math>R</math> 위의 왼쪽 [[가군]] <math>M</math> || 환의 곱셈 모노이드 <math>(R,\cdot)</math> || 가군 작용 || [[부분 가군]]
|}

== 응용 ==
[[조르당-횔더 정리]]는 적어도 하나의 [[합성열]]을 갖는 작용소군에 대하여 성립한다. 이를 통해, 군에 대한 조르당-횔더 정리와 가군에 대한 조르당-횔더 정리를 공통적으로 일반화할 수 있다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Operator group}}

{{전거 통제}}

[[분류:추상대수학]]