자유 대상 문서 원본 보기

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[[범주론]]과 [[추상대수학]]에서 '''자유 대상'''(自由對象, {{llang|en|free object}})은 [[망각 함자]]의 [[왼쪽 수반 함자]]의 [[상 (수학)|상]]이다. 대략, 주어진 [[범주 (수학)|범주]] 속에서 특별한 제약을 가하지 않고 생성되는 가장 일반적인 대상으로 생각할 수 있다.

== 정의 ==
[[구체적 범주]] <math>\operatorname{Forget}\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>가 주어졌다고 하고, 망각 함자 <math>\operatorname{Forget}</math>의 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>F\dashv\operatorname{Forget}</math>
가 존재한다고 하자. 이 경우, 집합 <math>S</math>로부터 생성되는, <math>\mathcal C</math> 속의 '''자유 대상'''은 <math>F</math>에 대한 [[상 (수학)|상]] <math>F(S)</math>이다. 이 경우, 수반 함자의 정의에 따라 표준적 함수 <math>S\to\operatorname{Forget}(F(S))</math>가 존재하는데, 이를 '''표준적 단사 함수'''({{llang|en|canonical injection}})라고 한다.

=== 구성 ===
[[대수 구조 다양체]]의 범주 <math>\mathcal V</math>의 망각 함자는 항상 [[왼쪽 수반 함자]]를 가지며, 따라서 항상 자유 대상을 갖는다. 이를 '''자유 대수'''({{llang|en|free algebra}}) 또는 '''항 대수'''({{llang|en|term algebra}})라고 한다.

구체적으로 이는 다음과 같이 정의된다. [[대수 구조 다양체]] <math>\mathcal V</math>의 연산들이 <math>(f_i)_{i\in I}</math>이며, 그 항수가 <math>n_i</math>라고 하자. 또한, <math>\mathcal V</math>에서 성립하는 대수적 관계들이 <math>(R_j)_{j\in J}</math>라고 하자. 또한, 임의의 집합 <math>S</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 집합들을 정의할 수 있다.
* <math>T_0=S</math>
* <math>T_{r+1}=T_r\sqcup \bigsqcup_{i\in I}\overbrace{T_r\times\cdots\times T_r}^{n_i}</math>
<math>(t_1,\dots,t_{n_i})\in T_r\times\cdots\times T_r</math>를 <math>f_i(t_1,\dots,t_{n_i})</math>로 표기하자. <math>T_r</math>는 [[대수 구조]] 연산을 <math>r</math>번 이하 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다.
그렇다면, 이들의 [[합집합]]
:<math>T=\bigcup_{i=0}^\infty T_i</math>
를 정의할 수 있다. 이는 [[대수 구조]] 연산을 유한번 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다.

<math>\mathcal V</math>를 정의하는 대수적 관계들은 <math>T</math> 위의 [[동치 관계]] <math>\sim</math>로 생각할 수 있다. (즉, 대수적 관계에서 등장하는 변수들을 <math>S</math>의 임의의 원소들로 치환한다.) 그렇다면, <math>S</math>로부터 생성되는 자유 대수 <math>\langle S\rangle</math>는 [[몫집합]] <math>T/{\sim}</math>이다. 이 위의 대수 연산은 다음과 같다.
:<math>f_i([t_1],[t_2],\dots,[t_{n_i}])=[f_i(t_1,\dots,t_{n_i})]</math>
여기서 <math>[-]</math>은 동치 관계 <math>\sim</math>에 대한 [[동치류]]이다.

== 예 ==
[[대수 구조 다양체]]에서의 자유 대상은 다음이 있다.
* [[집합]]의 범주: 집합 <math>S</math> 위의 "자유 집합"은 <math>S</math> 자신이다.
* [[점을 가진 집합]]의 범주: 집합 <math>S</math> 위의 "자유 점을 가진 집합"은 <math>S\sqcup\{\bullet\}</math>이다.
* [[모노이드]]의 범주: [[클레이니 스타]] <math>S^*</math>
* [[군 (수학)|군]]의 범주: [[자유군]]
* [[아벨 군]]의 범주: [[자유 아벨 군]] <math>\mathbb Z^{\oplus|S|}</math>
* [[가환환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]]의 범주: 집합 <math>S</math> 위의 [[자유 가군]] <math>R^{\oplus|S|}</math>
** 만약 <math>R=K</math>가 [[나눗셈환]]일 경우, 모든 [[가군]]이 [[자유 가군]]이며, 이를 [[벡터 공간]]이라고 한다. 이 경우, 집합 <math>S</math> 위의 자유 가군은 <math>S</math>를 [[기저 (선형대수학)|기저]]로 하는 [[벡터 공간]] <math>\operatorname{Span}_KS</math>이다.
* 체 <math>K</math> 위의 [[단위 결합 대수]]의 범주: 집합 <math>S</math> 위의 [[자유 단위 결합 대수]]는 <math>S</math>를 기저로 하는 [[벡터 공간]] <math>\operatorname{Span}_KS</math> 위의 [[텐서 대수]] <math>T(\operatorname{Span}_KS)</math>이다.
* 체 <math>K</math> 위의 [[가환 대수]]의 범주: [[다항식환]] <math>K[S]</math>
* 체 <math>K</math> 위의 [[리 대수]]의 범주: [[자유 리 대수]]

[[대수 구조 다양체]]가 아닌 [[구체적 범주]]의 경우, 다음과 같은 예가 있다.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>: [[이산 공간]]
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]의 범주 <math>\operatorname{CompHaus}</math>: 집합 <math>S</math>에 대응하는 자유 콤팩트 하우스도르프 공간은 [[이산 공간]] <math>S</math>의 [[스톤-체흐 콤팩트화]]이다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Free algebra}}
* {{eom|title=Free algebraic system}}
* {{매스월드|id=Free|title=Free}}
* {{nlab|id=free object|title=Free object}}
* {{nlab|id=free functor|title=Free functor}}
* {{nlab|id=free monad|title=Free monad}}

== 같이 보기 ==
* [[모나드 (범주론)|모나드]]

{{전거 통제}}

[[분류:추상대수학]]
[[분류:범주론]]