자연 변환 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''자연 변환'''(自然變換, {{llang|en|natural transformation}})은 두 [[함자 (수학)|함자]] 사이에 [[범주 (수학)|범주]]적 구조를 보존하는 변환이다. 함자의 범주에서의 [[사상 (범주론)|사상]]으로 생각할 수 있다.

== 정의 ==
<math>F,G\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>가 (공변) [[함자 (수학)|함자]]라고 하자. 그렇다면 <math>F</math>와 <math>G</math> 사이의 '''자연 변환''' <math>\eta\colon F\Rightarrow G</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 모든 대상 <math>X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, [[사상 (범주론)|사상]] <math>\eta_X\colon F(X)\to G(X)</math>
이 데이터는 다음 성질을 만족하여야 한다. 모든 [[사상 (범주론)|사상]] <math>f\colon X\to Y</math> (<math>X,Y\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>)에 대하여,
:<math>\eta_YF(f)=G(f)\eta_X</math>.
즉, 다음 [[그림 (범주론)|그림]]이 가환하여야 한다.
:[[파일:Natural transformation.svg|175px]]

마찬가지로, [[반변함자]] <math>F,G\colon\mathcal C\to\mathcal D^{\operatorname{op}}</math> 사이의 자연 변환도 정의할 수 있다.

'''자연 동형 사상'''(自然同形寫像, {{llang|en|natural isomorphism}})은 모든 <math>\eta_X</math>가 [[동형 사상]]을 이루는 자연 변환 <math>\eta</math>이다. 두 함자 사이에 자연 동형 사상이 존재하는 경우, 두 함자가 '''자연 동형'''(自然同形, {{llang|en|naturally isomorphic}})이라고 한다.

== 성질 ==
세 함자 <math>F,G,H\colon\mathcal C\to\mathcal D</math> 사이의 두 자연 변환 <math>\eta\colon F\Rightarrow G</math>, <math>\eta'\colon G\Rightarrow H</math>의 합성
:<math>\eta'\circ\eta\colon F\Rightarrow H</math>
:<math>(\eta'\circ\eta)_X=\eta'_X\circ\eta_X</math>
은 자연 변환이다. 두 함자 <math>F,G\colon\mathcal C\to\mathcal D</math> 사이의 자연 변환 <math>\eta\colon F\Rightarrow G</math> 및 함자 <math>T\colon\mathcal D\to\mathcal E</math>에 대하여,
:<math>T\eta\colon TF\Rightarrow TG</math>
:<math>(T\eta)_X=T(\eta_X)</math>
는 자연 변환이다. 두 함자 <math>F,G\colon\mathcal C\to\mathcal D</math> 사이의 자연 변환 <math>\eta\colon F\Rightarrow G</math> 및 함자 <math>T\colon\mathcal E\to\mathcal C</math>에 대하여,
:<math>\eta T\colon FT\Rightarrow GT</math>
:<math>(\eta T)_X=\eta_{T(X)}</math>
는 자연 변환이다.

== 예 ==
[[군론]]에서, [[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 [[반대군]] <math>G^{\operatorname{op}}</math>은 그 군 연산의 순서를 뒤집은 군이다. 이 "뒤집기"는 함자 <math>\mathrm{Grp}\to\mathrm{Grp}</math>를 이룬다. (여기서 <math>\mathrm{Grp}</math>는 군과 [[군 준동형]]의 범주다.) 이 함자는 항등함자 <math>\mathrm{Grp}\to\mathrm{Grp}</math>와 자연 동형이다. 이는 군의 [[반대군]]을 "자연스럽게" 정의할 수 있다는 것으로 해석할 수 있다.

(실수 또는 복소수) 유한 차원 [[벡터 공간]] <math>V</math>는 그 [[쌍대 공간]] <math>V^*</math>과 항상 동형이다. 그러나 이에 해당하는 함자<math>\mathrm{FinVect}\to\mathrm{FinVect}</math>는 [[항등 함자]]와 자연 동형이지 않다. 이는 쌍대 공간을 정의하기 위해서는 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 골라야 하는데, 임의의 벡터 공간의 경우 자연스러운 기저를 정의할 수 없기 때문이다. (물론 기저는 항상 존재하나, 이를 자연스럽게 정의할 수 없다.) 물론, 유한 차원 [[내적공간]]의 범주의 경우, 쌍대 공간을 정의할 수 있는 데이터가 있으므로 쌍대 함자는 [[항등 함자]]와 자연 동형이다.

== 역사 ==
[[사무엘 에일렌베르크]]와 [[손더스 매클레인]]이 1945년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.2307/1990284|이름=Samuel|성=Eilenberg|저자링크=사무엘 에일렌베르크|저자링크2=손더스 매클레인|이름2=Saunders|성2=Mac Lane|제목=General theory of natural equivalences|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=58|호=2|날짜=1945-09|쪽=231–294}}</ref><ref>{{서적 인용|장=[http://plato.stanford.edu/entries/category-theory Category theory]|제목=Stanford Encyclopedia of Philosophy|이름=Jean-Pierre|성=Marquis|날짜=2010-02-25|출판사=Metaphysics Research Lab, Stanford University}}</ref> 이 논문은 [[범주론]]의 시초로 여겨진다. 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|[[범주 (수학)|범주]]를 정의한 이유는 [[함자 (수학)|함자]]를 정의하기 위해서이고,  [[함자 (수학)|함자]]를 정의한 이유는 자연 변환을 정의하기 위해서이다. <br>{{lang|en|[…] “category” has been defined in order to be able to define “functor” and “functor” has been defined in order to be able to define “natural transformation”.}}|<ref name="Mac Lane">{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}</ref>{{rp|18}}}}

== 같이 보기 ==
* [[초자연 변환]]
* [[보편 성질]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|first=Saunders|last=Mac Lane|저자링크=손더스 매클레인|이름2=Garrett|성2=Birkhoff|저자링크2=개릿 버코프|title=Algebra|edition=3판|publisher=AMS Chelsea Publishing|year=1999|isbn=0-8218-1646-2|언어=en}}
*{{서적 인용
 |first=Steve |last=Awodey
 |title=Category Theory
 |url=http://ukcatalogue.oup.com/product/9780199587360.do
 |날짜=2010 | 판=2판 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-958736-0 |series=Oxford Logic Guides |volume=49 | zbl=1194.18001|mr=2668552  | 언어=en}}
*{{서적 인용
 |성          = Barr
 |이름       = Michael
 |이름2      = Charles
 |성2         = Wells
 |edition      = 3판
 |series       = Reprints in Theory and Applications of Categories
 |title        = Category Theory for Computing Science
 |url          = http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/22/tr22abs.html
 |volume       = 22
 |날짜       = 2012
 |zbl          = 1253.18001
 |mr           = 2981171
 |언어       = en
 |확인날짜 = 2014-09-22
 |보존url    = https://web.archive.org/web/20150115164028/http://tac.mta.ca/tac/reprints/articles/22/tr22abs.html
 |보존날짜 = 2015-01-15
 |url-status = dead
}}
*{{서적 인용
 | title = Introduction to the theory of categories and functors
 | publisher = Wiley
 | 날짜 = 1968
 | 총서=Pure and Applied Mathematics | 권=19
 | zbl=0197.29205 | mr=0236236
 | 성 = Bucur | 이름=Ion | 이름2=Aristide |성2=Deleanu | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=NaturalTransformation|title=Natural transformation}}
* {{매스월드|id=NaturalIsomorphism|title=Natural isomorphism}}

{{전거 통제}}

[[분류:함자]]