자연로그의 밑의 원주율 제곱 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[자연로그의 밑]] <math>e</math>의 [[원주율]] <math>\pi</math> [[거듭제곱|제곱]] <math>e^\pi</math>은 23과 24 사이의 [[실수]]이며, [[겔폰트-슈나이더 정리]]를 사용하여 [[초월수]]임을 보일 수 있다.

== 값 ==
<math>e^\pi</math>의 값은 다음과 같다 {{OEIS|id=A039661}}.
:<math>e^\pi=23.140692632779\cdots</math>

== 성질 ==
=== 초월성 ===
[[오일러 항등식]]에 따라,
:<math>e^\pi=(e^{i\pi})^{-i}=(-1)^{-i}</math>
이다. <math>-i</math>가 [[대수적 수]]이며, [[실수]]가 아니므로 [[유리수]]가 아니다. [[겔폰트-슈나이더 정리]]에 의하여, <math>e^\pi</math>는 [[초월수]]이다.

=== 연분수 표현 ===
<math>e^\pi</math>는 다음과 같은 [[연분수]] 전개를 갖는다 {{OEIS|A058287}}.
:<math>e^\pi=23+\cfrac 1{7+\cfrac 1{9+\cfrac 1{3+\cfrac 1{1+\cfrac 1{1+\cfrac 1{591+\cfrac 1{2+\cfrac 1{9+\cfrac 1{1+\cfrac 1{2+\cfrac 1{34+\ddots}}}}}}}}}}}</math>

=== 극한 공식 ===
<math>e^\pi</math>는 다음과 같은 극한을 통해 빠르게 근사할 수 있다.<ref name="Borwein">{{서적 인용
|이름1=Jonathan
|성1=Borwein
|이름2=David
|성2=Bailey
|제목=Mathematics by experiment. Plausible reasoning in the 21st century
|url=https://archive.org/details/mathematicsbyexp0000borw
|언어=en
|판=2
|출판사=A K Peters
|위치=Wellesley, Massachusetts
|날짜=2008
|isbn=978-1-56881-442-1
|mr=2473161
|zbl=1163.00002
}}</ref>{{rp|137, Algorithm 3.7}}
:<math>e^\pi=\lim_{n\to\infty}(k_n/4)^{-1/2^{n-1}}</math>
여기서
:<math>k_0=1/\sqrt 2</math>
:<math>k_{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-k_n^2}}{1+\sqrt{1-k_n^2}}</math>

== 같이 보기 ==
* [[초월수]]
* [[오일러 항등식]]
* [[겔폰트-슈나이더 상수]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=GelfondsConstant|제목=Gelfond’s constant}}

[[분류:수학 상수]]