자기 쌍대 양-밀스 이론 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''자기 쌍대 양-밀스 이론'''({{llang|en|self-dual Yang–Mills theory}})은 4차원 공간 위의 [[양-밀스 순간자]]를 다루는 [[양자장론]]이다.

== 정의 ==
다음과 같은 기하학적 구조가 주어졌다고 하자.
* 4차원 (유클리드 부호수) [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>. 이는 시공간에 해당한다.
* 콤팩트 [[리 군]] <math>G</math> 및 그 [[리 대수]] 위의 [[이차 형식]] <Math>\operatorname{Tr}(AB)</math> 
* <math>G</math>-[[주다발]] <math>P\twoheadrightarrow M</math>
'''자기 쌍대 양-밀스 이론'''은 다음과 같은 장을 갖는다.
* <math>P</math>의 [[주접속]] <math>A</math>. 그 [[주곡률]] <math>F\in\operatorname\Omega^2(M;\operatorname{ad}(P))</math>이다.
* 자기 반쌍대 [[보조장]] <math>L \in \Gamma(\mathrm T^{\wedge2}M \otimes \operatorname{ad}(P))</math>
이에 대한 작용은 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=Ultraviolet properties of the self-dual Yang–Mills theory|이름=Andrey|성=Losev|이름2=Igor|성2=Polyubin|이름3=Alexei|성3=Rosly|arxiv=1711.10026|언어=en}}</ref>
:<math>\exp(-S) = \exp\left(\tau\int\mathrm d^4x\,\operatorname{tr}
(F\wedge\star F)
+
\mathrm i\int\mathrm d^4x\,\operatorname{tr}(P\wedge F)
\right)</math>
작용에서, [[리만 계량]]은 직접 등장하지 않으며, 대신 2차 형식의 [[호지 쌍대]] <math>\star\colon\Omega^2(M)\to\Omega^2(M)</math>만이 등장한다. 특히, 이 작용은 (고전적으로) [[리만 계량]]의 [[등각 변환]]
:<math>g \mapsto \exp(\phi)g\qquad(\phi\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R))</math>
에 대하여 불변이다.

이에 대한 [[운동 방정식]]은 다음과 같다.
:<math>F = \star F</math>
:<math>P = 0</math>
즉, 그 [[짜임새 공간]]은 [[양-밀스 순간자]]의 공간과 같다.

이 작용에서, 보조장이 자기 반쌍대인 것은 추가로 부여해야 하는 제약이다. 이러한 제약이 없이는 명백히 로런츠 불변인 작용을 적을 수 없다.<ref>{{저널 인용|성=Marcus|이름=N.|성2=Schwarz|이름2=J. H.|날짜=1982|제목=Field theories that have no manifestly Lorentz-invariant formulation|저널=Physics Letters B|권=115|호=2|쪽=111–114|doi=10.1016/0370-2693(82)90807-3 |언어=en}}</ref>

=== 초대칭 자기 쌍대 양-밀스 이론 ===
이 이론에 [[페르미온]]을 추가하여 [[초대칭]]을 따르게 할 수 있다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9509099|제목=An action for ''N''=4 supersymmetric self-dual Yang–Mills theory|이름=E.|성=Sokatchev|언어=en}}</ref> 4차원에서, 하나의 [[게이지 장]]은 2개의 [[질량껍질]] 위 자유도를 가지므로, 자기 쌍대 게이지 장은 1개의 [[질량껍질]] 위 자유도를 가진다. 4차원에서 1개의 자유도를 갖는 [[페르미온]]은 [[마요라나-바일 스피너]]가 되어야 하는데, 이는 부호수 (2,2)에서만 가능하다. (반면, 자기 쌍대 게이지 장이 존재하라면 부호수가 (4,0) 또는 (2,2)일 수 있다.)

== 성질 ==
이 이론의 작용에 항 <math>\textstyle\epsilon\int \operatorname{tr}(L\wedge L)</math>를 추가한다면, 이 이론은 일반 [[양-밀스 이론]]과 동치이게 된다.

== 역사 ==
고든 차머스({{llang|en|Gordon Chalmers}})와 워런 시걸({{llang|en|Warren Siegel}})이 1997년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Gordon|성=Chalmers, Warren Siegel|제목=T-Dual Formulation of Yang-Mills Theory|날짜=1997|arxiv=hep-th/9712191|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|이름=M. V.|성=Movshev|arxiv=0812.0224|제목=A note on self-dual Yang–Mills theory|date=2008-12-07|url=https://archive.org/details/arxiv-0812.0224|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Self-dual Yang–Mills: symmetries and moduli space|date=1998-06-25|url=https://archive.org/details/arxiv-hep-th9803183|이름=A. D.|성=Popov|arxiv=hep-th/9803183|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=self-dual Yang-Mills theory|title=Self-dual Yang-Mills theory}}

[[분류:양자장론]]