자기 수반 작용소 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[작용소 이론]]에서 '''자기 수반 작용소'''(自己隨伴作用素, {{llang|en|self-adjoint operator}}) 또는 '''자기 수반 연산자'''는 스스로의 [[에르미트 수반]]이 자신과 같은 [[작용소]]이다.<ref name="Teschl">{{서적 인용 |이름=Gerald |성=Teschl |제목=Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators |출판사=American Mathematical Society |총서=Graduate Studies in Mathematics|권=99|날짜=2009 |url=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ |zbl=1166.81004|mr=2499016|isbn=978-0-8218-4660-5|언어=en}}</ref> 유한 차원에서의 [[에르미트 행렬]]을 일반화한 개념이다.

== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]] 가운데 하나라고 하자.

<math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]] <math>H</math> 위의 조밀 부분 집합 <math>D\subseteq H</math>가 주어졌다고 하자. 연속 선형 변환
:<math>A\colon D\to H</math>
에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 것을 <math>D</math> 위의 '''자기 수반 작용소'''라고 한다.
:<math>A\colon D\to H</math>
* [[대칭 작용소]]이며, <Math>\operatorname{dom}A = \operatorname{dom}A^*</math>이다.
* 임의의 <math>x,y\in D</math>에 대하여, <math>\langle x|A|y\rangle = \langle Ax|y\rangle</math>이다. 또한, 임의의 <math>x,y\in H</math>에 대하여, 만약 <math>\langle x|A = \langle y| \colon H\to\mathbb K</math>라면, <math>x\in D</math>이다.
** 특히, 임의의 <math>x\in D</math>에 대하여, <math>\langle x|A = \langle Ax|\colon D\to\mathbb K</math>는 [[유계 작용소]]이다. 이에 따라, 이는 연속 선형 범함수 <math>H\to\mathbb K</math>로 유일하게 확장된다.
* <math>\operatorname{dom}A=\operatorname{dom}A^*</math>이며, 모든 <math>u\in\operatorname{dom}A</math>에 대하여 <math>Au=A^*u</math>이다. 여기서 <math>A^*\colon\operatorname{dom}A^*\to H</math>는 [[에르미트 수반]]이다.
* 그래프 <math>\operatorname{graph}(A) = \{(x,Ax)\colon x\in H\}\subseteq H\oplus H</math> 및 심플렉틱 사상 <math>J\colon H\oplus H\to H\oplus H</math>, <Math>(x,y)\mapsto(-y,x)</math>에 대하여, <math>(J\operatorname{graph}A)^\perp = \operatorname{graph}A</math>이다.
* 다음 조건들을 모두 만족시키는 [[측도 공간]] <math>X</math>과 [[가측 함수]] <math>f \colon X \to (\mathbb R,\operatorname{Borel}(X))</math>과 전단사 [[유니터리 작용소]] <math>UH \to \operatorname L^2(X;\mathbb K)</math>가 존재한다. (여기서 <math>T_f \colon \operatorname{dom}T_f \to \operatorname L^2(X;\mathbb K),\;\phi \mapsto f\phi</math>는 <math>f</math>와의 점별 곱셈이다.)
** <math>U\operatorname{dom}A = \operatorname{dom}T_f</math>
** <math>UA = T_fU</math>

마지막 정의에서 등장하는 꼴의 작용소를 '''곱셈 연산자'''({{llang|en|multiplication operator}})라고 한다. 즉, 자기 수반 작용소는 어떤 [[측도 공간]] 위의 곱셈 연산자와 유니터리 동치인 작용소이다.

== 성질 ==
[[단사 함수|단사]] 자기 수반 작용소의 [[역함수]]는 자기 수반 작용소이다.<ref name="Teschl"/>{{rp|65}}

유한 차원 [[힐베르트 공간]] <math>\mathbb C^n</math> 위의 작용소 <math>A</math>에 대하여, 다음이 서로 동치이다.
* <math>A</math>는 [[대칭 작용소]]이다.
* <math>A</math>는 자기 수반 작용소이다.
* <math>A</math>의 행렬은 [[에르미트 행렬]]이다.

== 대칭 확장 ==
[[대칭 작용소]] <math>A\colon\operatorname{dom}A\to\mathcal H</math>의 '''자기 수반 확장'''({{llang|en|self-adjoint extension}})은 다음을 만족시키는 자기 수반 작용소 <math>\tilde A\colon\operatorname{dom}\tilde A\to\mathcal H</math>이다.
* <math>\operatorname{dom}A\subseteq\operatorname{dom}\tilde A</math>
* <math>\forall v\in\operatorname{dom}A\colon Av=\tilde Av</math>
대칭 연산자 <math>A</math>의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 [[유니터리 작용소]]와 [[일대일 대응]]한다.<ref name="Teschl"/>{{rp|81–84}}
:<math>U\colon\operatorname{range}(A+i)^\perp\to\operatorname{range}(A-i)^\perp</math>
(<math>\operatorname{range}(A+i)^\perp</math>은 <math>\mathcal H</math>의 닫힌 부분공간이므로, 힐베르트 공간을 이룬다.)
특히, <math>A</math>가 자기 수반 확장을 가질 [[필요 충분 조건]]은
:<math>\dim\operatorname{range}(A+i)^\perp=\dim\operatorname{range}(A-i)^\perp</math>
이다. 양변의 두 수를 <math>A</math>의 '''결점 지표'''({{llang|en|deficiency index}})라고 한다.

유일한 자기 수반 확장을 갖는 대칭 작용소를 '''본질적 자기 수반 작용소'''({{llang|en|essentially self-adjoint operator}})라고 한다.

== 예 ==
제곱 적분 가능 함수로 구성된 [[복소수 힐베르트 공간]]
:<math>H = \operatorname L^2(\mathbb R;\mathbb C)</math>
을 생각하자. 이 위에서, 작용소
:<math>A \colon f \mapsto (x\mapsto xf(x))</math>
를 생각하자. 만약 <math>f</math>가 제곱 적분 가능 함수라도 <math>x\mapsto xf(x)</math>가 제곱 적분 가능 함수일 필요는 없으므로, <math>A</math>는 <math>H</math> 전체에 정의될 수 없다. 즉,
:<math>\operatorname{dom}A = \{f\in H\colon (x\mapsto xf(x)) \in H\}\subsetneq H</math>
이다. 이는 <math>H</math>의 조밀 부분 공간이며, 임의의 <Math>f,g\in\operatorname{dom}H</math>에 대하여
:<math>\langle f|A|g\rangle = \int_{\mathbb R}\overline{f(x)}(xg(x))\,\mathrm dx = \int_{\mathbb R}(\overline{xf(x)})g(x)\,\mathrm dx = \langle Af|g\rangle</math>
이다. 따라서 <math>A</math>는 [[대칭 작용소]]이다. 또한, 임의의 <math>f,g\in H</math>에 대하여, 만약
:<math>\langle f|A = \langle g|</math>
라고 하자. 즉,
:<math>\forall h\in\operatorname{dom}A\colon \int_{\mathbb R} \overline{f(x)}xh(x)\,\mathrm dx = \int \overline{g(x)}h(x)</math>
이다. 그렇다면 [[리스 표현 정리]]에 따라서
:<math>g = (x\mapsto xf(x)) \in H</math>
이므로, 정의에 따라 <math>(x\mapsto xf(x)) \in \operatorname{dom}A</math>이게 된다. 즉, <math>A</math>는 자기 수반 작용소이다.

=== 곱셈 연산자 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[측도 공간]] <Math>X</math>
* [[가측 함수]] <math>f\colon X \to (\mathbb R,\operatorname{Borel}(\mathbb R))</math> (<math>\operatorname{Borel}(-)</math>은 [[보렐 시그마 대수]])
* <math>\mathbb K \in \{\mathbb R,\mathbb C\}</math>
그렇다면, <math>H = \operatorname L^2(X;\mathbb K)</math> 위에 작용소
:<math>T_f \colon \phi \mapsto \phi f </math>
를 정의할 수 있다. 이러한 꼴의 작용소를 '''곱셈 연산자'''라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* <math>\operatorname L^2(X;\mathbb K)</math> 위의 모든 곱셈 연산자는 자기 수반 작용소이다.
* 임의의 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]] <math>H</math> 및 자기 수반 작용소 <math>A\colon\operatorname{dom}A\to H</math>에 대하여, <math>U\operatorname{dom}A = \operatorname{dom}T_f</math>이자 <math>UA = T_fU</math>가 되는 [[측도 공간]] <math>X</math>와 [[가측 함수]] <math>f\colon X\to\mathbb R</math>와 (전단사) [[유니터리 작용소]] <math>U\colon H\to \operatorname L^2(\mathbb R;\mathbb K)</math>가 존재한다.

특히, 만약 <math>H = \mathbb K^n</math>이 유한 차원 [[힐베르트 공간]]이라고 하자. 그렇다면, 그 위의 자기 수반 작용소는 <Math>n\times n</math> [[에르미트 행렬]](또는 [[대칭 행렬]])이며, 그 [[고윳값]]
:<math>\{\lambda_1,\lambda_2,\dotsc,\lambda_n\}</math>
들은 모두 [[실수]]이다. 이 경우
* <math>X = \{1,2,\dotsc,n\}</math> (크기 <math>n</math>의 [[이산 가측 공간]])
* <math>\mu(S) = |S|</math> ([[셈측도]])
* <math>f\colon i \mapsto \lambda_i</math>
가 된다.

== 같이 보기 ==
* [[에르미트 수반]]
* [[정규 작용소]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |isbn=978-89-8172-378-1 |제목=공업수학 탐구 |저자=곽도영 |출판사=교우사 |날짜=2010-02-05|언어=ko}}
*{{서적 인용|first=F. A. |last=Berezin |이름2=M. A. |성2=Shubin |title=The Schrödinger equation|publisher=Klüwer |날짜=1991 |언어=en}}
*{{서적 인용|first=B. C. |last=Hall |title=Quantum theory for mathematicians |publisher=Springer-Verlag |location=New York |날짜=2013 |언어=en}}
*{{서적 인용|first=M. |last=Reed |이름2=Barry |성2=Simon |title=Methods of Mathematical Physics, vol. 2|publisher=Academic Press |year=1972 |언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics|이름=Guy|성=Bonneau|이름2=Jacques|성2= Faraut |이름3= Galliano|성3= Valent|arxiv=quant-ph/0103153|doi=10.1119/1.1328351|저널=American Journal of Physics|권=69|날짜=2001|쪽=322–331|bibcode=2001AmJPh..69..322B|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Self-adjoint operator}}
* {{eom|title=Hermitian operator}}
* {{eom|title=Semi-bounded operator}}

{{전거 통제}}

[[분류:함수해석학]]
[[분류:힐베르트 공간]]