자기 사상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''자기 사상'''(自己寫像, {{llang|en|endomorphism|엔도모피즘}})은 그 [[정의역]]과 [[공역]]이 같은 [[사상 (수학)|사상]]이다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>에서, <math>f\colon X\to X</math>와 같이, 시작과 끝이 같은 사상을 '''자기 사상'''이라고 한다.
* [[집합]]의 범주에서, 자기 사상은 [[정의역]]과 [[공역]]이 같은 [[함수]]이며, 이를 '''자기 함수'''(自己函數, {{llang|en|self-map}})라고 한다.
* [[대수 구조]]의 범주에서, 자기 사상은 '''자기 준동형 사상'''(自己準同型寫像)이라고 한다.
* (작은) [[범주 (수학)|범주]]의 범주에서, 자기 사상은 정의역과 공역이 같은 [[함자 (수학)|함자]]이며, 이를 '''자기 함자'''(自己函子, {{llang|en|endofunctor}})라고 한다.

[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>X</math>가 주어졌을 때, <math>X</math>의 자기 사상들은 [[모노이드]]를 이루며, 이를 '''자기 사상 모노이드'''(自己寫像monoid, {{llang|en|endomorphism monoid}})라고 한다.
* [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>의 [[모노이드 대상]]이 [[환 (수학)|환]]이므로, [[아벨 범주]](또는 일반적으로 [[아벨 군]]에 대하여 [[풍성한 범주]])의 대상 <math>X</math>의 자기 사상들은 [[환 (수학)|환]]을 이룬다. 이를 '''자기 사상환'''(自己寫像環, {{llang|en|endomorphism ring}})이라고 하고, <math>\operatorname{End}(X)</math>라고 쓴다.
* (작은) [[범주 (수학)|범주]]의 범주 <math>\operatorname{Cat}</math>는 [[2-범주]]이므로, 주어진 범주 <math>\mathcal C</math> 위의 자기 함자들의 모임 <math>\operatorname{End}\mathcal C</math>는 [[범주 (수학)|범주]]를 이룬다. 즉, 이 범주의 [[사상 (수학)|사상]]은 자기 함자 사이의 [[자연 변환]]이다. 이를 '''자기 함자 범주'''(自己函子範疇, {{llang|en|endofunctor category}})라고 한다. 자기 함자 범주에서의 [[모노이드 대상]]은 [[모나드 (범주론)|모나드]]라고 한다.

[[동형 사상]]인 자기 사상을 '''[[자기 동형 사상]]'''이라고 한다.

[[구체적 범주]]의 자기 사상 <math>f\colon X\to X</math>에 대하여, '''[[고정점]]'''은 <math>f(x)=x</math>인 원소 <math>x\in X</math>이다.

== 예 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대한 [[벡터 공간]]의 범주 <math>K\text{-Vect}</math>에서, [[벡터 공간]] <math>V</math>의 자기 사상은 [[선형 변환]] <math>V\to V</math>이다. 유한 차원의 경우, 이는 [[정사각 행렬]]로 나타낼 수 있으며, 이 경우 자기 사상환은 [[정사각 행렬]]들의 환 <math>\operatorname{Mat}(\dim V,k)</math>이다. 자기 동형 사상은 이 가운데 [[핵 (수학)|핵]]과 [[여핵]]이 모두 0차원인 경우([[전단사]]인 경우)다.

[[준군]]의 경우, 모든 자기 사상은 [[자기 동형 사상]]이다. [[모노이드]] <math>M</math>을 하나의 대상 <math>\bullet</math>만을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 사상 모노이드 <math>\operatorname{End}(\bullet)</math>는 <math>M</math> 자체와 동형이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 자기 사상의 경우, [[렙셰츠 고정점 정리]]나 [[브라우어르 고정점 정리]]와 같은 정리들이 성립한다.

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Endomorphism|title=Endomorphism}}
* {{매스월드|id=EndomorphismRing|title=Endomorphism ring}}
* {{매스월드|id=Self-Map|title=Self-map}}
* {{nlab|id=endomorphism|title=Endomorphism}}
* {{nlab|id=endomorphism ring|title=Endomorphism ring}}
* {{nlab|id=endomorphism operad|title=Endomorphism operad}}
* {{nlab|id=endofunctor|title=Endofunctor}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Self-Map|제목=Self-Map|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[자기 동형 사상]]
* [[프로베니우스 사상]]
* [[동형 사상]]

[[분류:범주론]]