자기 동형 사상 문서 원본 보기

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[[파일:Klein-automorphism.svg|오른쪽|섬네일|400x400픽셀| 두 [[케일리 그래프]] 간의 자기 동형 사상, [[순열|주기 표기법]]의 순열 및 두 케일리 표 사이의 함수로 표시된 [[클라인 4원군]]의 자기 동형 사상.]]
[[수학]]에서 '''자기 동형''' 또는 '''자기 동형 사상'''(自己同型寫像, {{Llang|en|automorphism}})은 [[수학적 대상]]의 [[자기 사상]]인 [[동형 사상]]이다. 대상의 모든 구조를 유지하면서 대상을 자기 자신으로 사상하므로 이는 대상의 [[대칭]]을 나타낸다고 할 수 있다. 대상의 모든 자기 동형 사상의 [[집합]]은 그 대상의 [[대칭군 (군론)|대칭군]]이라고 할 수 있는 자기동형군을 형성한다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 '''자기 동형 사상'''은 [[자기 사상]]인 [[동형 사상]]이다. 즉, <math>X</math>의 자기 사상 <math>f: X \to X</math>가 자기 동형 사상이라는 것은 <math>f\circ g=g\circ f=\operatorname{id}_X</math>를 만족하는 사상 <math>g : X \to X</math>이 존재한다는 것을 의미한다.

[[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math>에서 대상 <math>X</math>의 자기 동형 사상들은 사상의 합성에 대하여 [[군 (수학)|군]]을 이룬다. 이 군에서, [[항등원]]은 항등 사상이며, [[역원]]은 역사상이다. 이를 '''자기 동형군'''(自己同型群, {{llang|en|automorphism group}})이라고 하고, <math>\operatorname{Aut}(X)</math>로 쓴다. 즉, 자기 동형군 <math>\operatorname{Aut}(X)</math>는 <math>X</math>의 [[자기 사상 모노이드]] <math>\operatorname{End}(X)</math>의 [[가역원]]들로 구성된 부분 모노이드이다.

== 예 ==
* 주어진 부호수의 [[대수 구조]]와 그 [[준동형]]의 [[구체적 범주]] (또는 그 [[충만한 부분 범주]])에서, 자기 동형 사상은 단순히 [[전단사 함수]]인 [[자기 준동형]]이다.
** [[집합]]의 범주에서, 자기 동형 사상은 [[전단사]] [[자기 함수]]([[순열]])이며, 집합 <math>S</math>의 자기 동형군은 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(S)</math>이라고 한다.
** 체 <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]]의 범주 <math>K\text{-Vect}</math>에서, 자기 동형 사상은 [[전단사]] 자기 [[선형 변환]]이며, [[벡터 공간]] <math>V</math>의 자기 동형군은 [[일반선형군]] <math>\operatorname{GL}(V;K)</math>이다.
** [[군 (수학)|군]]의 범주에서, 자기 동형 사상은 [[전단사]] 자기 [[군 준동형]]이다. 이는 구조가 변경되지 않은 상태로 유지되는 군 원소의 순열이라고 할 수 있다. 모든 군 <math>G</math>에 대해 [[상 (수학)|상]]이 [[내부 자기 동형군]] <math>\operatorname{Inn}(G)</math>이고 [[핵 (수학)|핵]]이 [[군의 중심|중심]] <math>\operatorname Z(G)</math>인 자연스러운 군 준동형 <math>G\to\operatorname{Aut}(G)</math>가 존재한다. 따라서 <math>G</math>의 중심이 [[자명군|자명]]하다면, <math>G</math>는 자신의 자기동형군의 [[부분군]]으로 여길 수 있다.<ref name="Pahl">{{서적 인용|제목=Mathematical foundations of computational engineering|성=PJ Pahl, R Damrath|연도=2001|판=Felix Pahl translation|출판사=Springer|쪽=376|장=§7.5.5 Automorphisms|isbn=3-540-67995-2}}</ref> 이 경우 자기 동형군 <math>\operatorname{Aut}(G)</math>의 중심 역시 자명하므로, 위 과정을 반복하여 [[자기 동형탑]]을 만들 수 있다. 자명한 중심을 갖는 [[유한군]]의 [[자기 동형탑]]은 무한히 커지지 않음을 보일 수 있다.
* [[갈루아 확대]]의 자기 동형군은 [[갈루아 군]]이라고 한다.
* [[모노이드]] <math>M</math>을 하나의 대상 <math>\bullet</math>을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 동형군 <math>\operatorname{Aut}(\bullet)</math>은 <math>M</math>의 [[가역원]]들의 군 <dd><math>\{m\in M\colon\exists n\in M\colon mn=nm=1\}</math></dd>이다. 특히, 만약 <math>M</math>이 [[군 (수학)|군]]이라면, <math>\operatorname{Aut}(\bullet)\cong M</math>이다.
* [[정수]]의 덧셈군 <math>\mathbb Z</math>는 유일한 비항등 자기 동형 사상 <math>1\mapsto-1</math>을 갖는다. 그러나 환으로서의 <math>\mathbb Z</math>는 항등 자기 동형 사상만 갖는다. 덧셈 역원을 취하는 함수는 모든 [[아벨 군]]의 자기 동형 사상이지만, 환이나 체에서는 일반적으로 ([[환의 표수|표수]]가 2가 아닌 경우) 자기 동형 사상이 아니다.
* [[체 (수학)|체]](와 [[환 준동형]])의 범주에서, 체 자기 동형 사상은 [[전사 함수|전사]] 자기 [[환 준동형]]이며, 이는 자동적으로 [[전단사 함수]]가 된다. [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>와 [[실수체]] <math>\mathbb R</math>의 경우 항등이 아닌 자기 동형은 존재하지 않는다. <math>\mathbb R</math>의 일부 부분체는 비항등 자기 동형을 갖는다. 예를 들어, <math>a+b\sqrt 2\mapsto a-b\sqrt 2</math> (<math>a,b\in\mathbb Q</math>)는 [[이차 수체]] <math>\mathbb Q(\sqrt 2)</math>의 자기 동형이다. 그러나 이러한 부분체의 자기 동형은 <math>\mathbb R</math>에서 제곱근이 있는 수의 성질을 유지할 수 없기 때문에 <math>\mathbb R</math> 전체로 확장되지는 않는다. [[복소수체]] <math>\mathbb C</math>의 자기 동형 사상은 [[체의 확대]] <math>\mathbb C/\mathbb Q</math>의 자기 동형 사상과 [[동치]]이다. <math>\mathbb R</math>을 <math>\mathbb R</math>로 보내는 <math>\mathbb C</math>의 자기 동형 사상은 [[항등 함수]]와 [[켤레 복소수]] 밖에 없으며, 이 둘은 유일한 <math>\mathbb C</math>의 [[연속 함수|연속]] 자기 동형 사상이기도 하다. [[선택 공리]]를 가정하면, <math>\mathbb C</math>의 임의의 부분체의 임의의 자기 동형 사상은 <math>\mathbb C</math>의 자기 동형 사상으로 확장될 수 있으며, 또한 자기 동형들의 집합의 크기는 <math>2^{2^{\aleph_0}}</math>이다.<ref>{{저널 인용|제목=Automorphisms of the Complex Numbers|저널=Mathematics Magazine|성=Yale|이름=Paul B.|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/PaulBYale.pdf|날짜=May 1966|권=39|호=3|쪽=135–141|doi=10.2307/2689301|jstor=2689301|access-date=2022-04-16|archive-date=2020-11-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20201108174430/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/PaulBYale.pdf|url-status=}}</ref><ref>{{인용 |last=Lounesto |first=Pertti |year=2001 |publisher= Cambridge University Press |title=Clifford Algebras and Spinors | edition = 2nd |pages= 22–23|isbn=0-521-00551-5 }}</ref>
* [[사원수]] <math>\mathbb H</math>의 환 자기 동형 사상은 스콜렘-뇌터 정리에 의해 내부 자기 동형 사상이 된다. 즉, 자기 동형 사상은 어떤 원소 <math>b</math>에 대해 <math>a\mapsto bab^{-1}</math> 형식을 갖는다.<ref>{{인용|year=2003|title=Handbook of algebra|volume=3|출판사=[[Elsevier]]|page=453}}</ref> 사원수의 자기동형군은 3차원 공간에서의 회전군인 [[SO(3)]]과 [[사원수와 회전|동형]]이다.
* [[팔원수]] <math>\mathbb O</math>의 자기동형군은 예외적 리 군 [[G₂]]이다.
* [[그래프 (수학)|그래프]](와 그래프 준동형)의 범주에서, 그래프의 자기 동형 사상은 변과 변이 아닌 것을 보존하는 꼭짓점의 순열이다. 특히 두 꼭짓점이 변으로 연결되면 순열에 의한 상도 연결되어 있다.
* [[기하학]]에서 자기 동형 사상은 공간의 운동이라고 할 수 있다. 몇몇 특수한 상황에서 사용되는 용어는 다음과 같다.
** [[거리 공간]]과 [[등거리변환]]의 범주에서, 자기 동형 사상은 [[전사 함수|전사]] 자기 [[등거리변환]]이다. 이는 자동으로 전단사 함수가 되며, 역함수 역시 등거리변환이다. [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 거리 공간으로서의 자기 동형군은 [[유클리드 군]] <math>\operatorname{IO}(n)</math>이다.
** [[리만 곡면]](과 [[정칙 함수]])의 범주에서, 자기 동형 사상은 자기 [[쌍정칙 함수]]([[등각 사상]])이다. 예를 들어, [[리만 구]]의 자기 동형 사상은 [[뫼비우스 변환]]이다.
** [[매끄러운 다양체]](와 [[매끄러운 함수]])의 범주에서, [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>의 자기 동형 사상은 자신으로의 [[미분 동형 사상]]이며, 그 자기동형군은 흔히 <math>\operatorname{Diff}(M)</math>으로 표기한다.
** [[위상 공간 (수학)|위상 공간]](과 [[연속 함수]])의 범주에서, 위상 공간의 자기 동형 사상은 자신으로의 [[위상 동형 사상]]이다. 이때 전단사 연속 함수는 위상 동형 사상이 되기 위한 충분 조건이 아니다.

=== 체의 확대 ===
임의의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 [[범주 (수학)|범주]] <math>K\backslash\operatorname{Field}</math>를 정의할 수 있다.
* <math>K\backslash\operatorname{Field}</math>의 대상은 [[체의 확대]] <math>L/K</math>들이다.
* <math>K</math>의 확대 <math>L/K</math>와 <math>L'/K</math> 사이의 사상은 <math>K</math>-대수 단사 준동형 <math>L\to L'</math>이다. (단사 조건은 가정하지 않더라도 자동적으로 성립한다.)
이 범주에서, <math>L/K</math>의 자기 동형 사상은 <math>K</math>-대수 동형 <math>L\to L</math>이다. <math>L/K</math>가 [[대수적 확대]]일 때, 모든 <math>K</math>-대수 단사 준동형 <math>L\to L</math>은 <math>K</math>-대수 동형이다. 즉, 자동적으로 [[전사 함수]]가 된다.<ref name="Lang">{{서적 인용|성=Lang|이름=Serge|저자링크=서지 랭|제목=Algebra|언어=en|판=개정 3|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=211|출판사=Springer|위치=New York, NY|날짜=2002|issn=0072-5285|isbn=978-1-4612-6551-1|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|zbl=0984.00001|mr=1878556}}</ref>{{rp|230, Lemma 2.1}}
{{증명}}
임의의 [[체의 확대]] <math>L/K</math> 및 <math>K</math>-대수 단사 준동형 <math>\sigma\colon L\to L</math> 및 <math>a\in L</math>에 대하여, <math>a\in\sigma(L)</math>임을 보이면 족하다. <math>p\in K[x]</math>가 <math>a</math>의 [[최소 다항식]]이라고 하고, <math>S</math>가 <math>p(x)</math>의 <math>L</math> 속의 근들의 집합이라고 하자. 그렇다면 <math>K(S)/K</math>는 [[대수적 확대]]이자 [[유한 생성 확대]]이며, 따라서 [[유한 확대]]이다. 즉, <math>K(S)</math>의 <math>K</math>-[[벡터 공간]] 차원은 유한하다. <math>\sigma</math>는 <math>p</math>의 근을 <math>p</math>의 근으로 보내므로, <math>\sigma(K(S))\subseteq K(S)</math>이다. <math>\sigma</math>는 [[단사 함수|단사]] <math>K</math>-[[선형 변환]]이므로, <math>\sigma(K(S))</math>와 <math>K(S)</math>의 차원은 같다. 따라서, <math>\sigma(K(S))=K(S)\supseteq S\ni a</math>이다.
{{증명 끝}}

== 역사 ==
최초의 군 자기 동형 사상(단순히 점의 자기동형군이 아닌 군의 자기 동형) 중 하나는 아일랜드 수학자 [[윌리엄 로언 해밀턴]]이 1856년 그의 정이십면체 대수([[:en:icosian calculus]])에서 발견한 2차 자기 동형 사상이다.<ref>{{저널 인용|제목=Memorandum respecting a new System of Roots of Unity|저널=[[Philosophical Magazine]]|성=윌리엄 로언 해밀턴|저자링크=윌리엄 로언 해밀턴|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Icosian/NewSys.pdf|연도=1856|권=12|쪽=446}}</ref><blockquote><math>\mu</math>는 항등원의 새로운 5제곱근이고, 이전의 5제곱근 <math>\lambda</math>과 완전한 상호 관계(perfect reciprocity)로 연결되어 있다.</blockquote>

== 내부 및 외부 자기 동형 사상 ==
일부 범주(특히 [[군 (수학)|군]], [[환 (수학)|환]], [[리 대수]])에서 자기 동형 사상을 "내부" 및 "외부" 자기 동형 사상의 두 가지 유형으로 분리할 수 있다.

군의 경우, [[내부자기동형사상|내부 자기 동형 사상]]은 군 원소에 의해 만들어지는 켤레이다. 군 <math>G</math>의 각 원소 <math>a</math>에 대해 <math>a</math>에 의한 켤레 <math>\varphi_a: G \to G</math>는 <math>\varphi_a(g) = aga^{-1}</math>으로 주어지는 연산이다. (대신 <math>a^{-1}ga</math>을 사용할 수도 있다.) <math>a</math>에 의한 켤레는 군 자기 동형 사상임을 쉽게 확인할 수 있다. [[Goursat의 보조 정리|Goursat의 보조정리]]에 따르면, 내부 자기 동형 사상은 <math>\operatorname{Aut}(G)</math>의 [[정규 부분군]]을 형성한다. 이는 <math>\operatorname{Inn}(G)</math>으로 표기한다.

내부 자기 동형 사상이 아닌 자기 동형 사상은 [[외부자기동형군|외부 자기 동형 사상]]이다. [[몫군]] <math>\operatorname{Aut}(G)/\operatorname{Inn}(G)</math>은 일반적으로 <math>\operatorname{Out}(G)</math>으로 표기한다. 비자명한 원소는 외부 자기 동형을 포함하는 [[잉여류]]이다.

단위원을 갖는 [[환 (수학)|환]] 또는 [[대수 (환론)|대수]]에서 가역원 ''<math>a</math>''에 대해 같은 정의를 적용할 수 있다. [[리 대수]]의 경우 정의가 약간 다르다.

== 같이 보기 ==
* [[반 자기 동형 사상]]
* [[스도쿠의 수학|Automorphism]] (스도쿠 퍼즐에서)
* [[특성 부분군]]
* [[엔도모피즘 링|자기준동형환]]
* [[프로베니우스 사상]]
* [[사상 (수학)|사상]]
* 순서 자기 동형 ([[순서론]]에서).
* [[동형 사상|관계 보존 자기 동형 사상]]
* [[분수 푸리에 변환]]

== 참고 문헌 ==
<references />

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Automorphism}} 
* {{eom|title=Algebraic system, automorphism of an}}
* {{매스월드|id=Automorphism|title=Automorphism}}
* {{매스월드|id=AutomorphismGroup|title=Automorphism group}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/automorphism|제목=Automorphism|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Automorphism_group_of_a_group|제목=Automorphism group of a group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}

[[분류:대칭]]
[[분류:추상대수학]]