자기 동형탑 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서, 어떤 [[군 (수학)|군]]의 '''자기 동형탑'''(自己同型塔, {{llang|en|automorphism tower}})은 [[자기 동형군]]을 반복적으로 취하여 만들어지는 [[군 (수학)|군]]의 열이다.

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 '''자기 동형탑''' <math>(\operatorname{Aut}^\alpha(G),\phi_{\alpha\beta})</math>은 다음과 같은 데이터들의 [[튜플]]이다.
* [[순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여, [[군 (수학)|군]] <math>\operatorname{Aut}^\alpha(G)</math>
* <math>\alpha\le\beta</math>인 [[순서수]] <math>\alpha,\beta</math>에 대하여, [[군 준동형]] <math>\phi_{\alpha\beta}\colon\operatorname{Aut}^\alpha(G)\to\operatorname{Aut}^\beta(G)</math>. 또한, <math>\alpha=\beta</math>인 경우, <math>\phi_{\alpha\alpha}</math>는 [[항등 함수]]이다.
이는 [[초한 재귀]]를 통해 다음과 같이 정의된다.
* <math>\operatorname{Aut}^0(G)=G</math>
* [[따름 순서수]] <math>\alpha+1</math>에 대하여,
** <math>\operatorname{Aut}^{\alpha+1}(G)=\operatorname{Aut}(\operatorname{Aut}^\alpha(G))</math>는 <math>\operatorname{Aut}^\alpha(G)</math>의 [[자기 동형군]]이다.
** <math>\phi_{\alpha,\alpha+1}\colon\operatorname{Aut}^\alpha(G)\to\operatorname{Aut}^{\alpha+1}(G)</math>는 임의의 <math>g\in\operatorname{Aut}^\alpha(G)</math>를 그에 대응하는 [[내부 자기 동형]] <math>\phi_{\alpha,\alpha+1}(g)\colon h\mapsto ghg^{-1}</math>으로 보내는 자연스러운 [[군 준동형]]이다.
* [[극한 순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여, <math>(\operatorname{Aut}^\alpha(G),(\phi_{\beta\alpha})_{\beta<\alpha})</math>는 [[유향 체계]] <math>((\operatorname{Aut}^\beta(G))_{\beta<\alpha},(\phi_{\beta\gamma})_{\beta\le\gamma<\alpha})</math>의 [[귀납적 극한]]이다.

[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 '''자기 동형탑 높이'''({{llang|en|automorphism tower height}}) <math>\tau_{\operatorname{Aut}}(G)</math>는 다음 조건을 만족시키는 최소의 [[순서수]]이다.
* <math>\phi_{\tau_{\operatorname{Aut}}(G),\tau_{\operatorname{Aut}}(G)+1}</math>는 군의 [[동형]]이다. 즉, <math>\operatorname{Aut}^{\tau_{\operatorname{Aut}}(G)}(G)</math>는 [[완비군]]이다.
이 경우, 임의의 순서수 <math>\beta\ge\alpha\ge\tau_{\operatorname{Aut}}(G)</math>에 대하여 <math>\phi_{\alpha\beta}</math>는 군의 [[동형]]이다. 즉, <math>\tau_{\operatorname{Aut}}(G)</math>는 자기 동형탑을 만드는 과정이 멈추는 시점이다.

== 성질 ==
=== 무중심군 ===
{{참고|무중심군}}
임의의 [[군 (수학)|군]] <math>G</math>에 대하여, 그 [[내부 자기 동형군]]은 [[자기 동형군]]의 [[정규 부분군]]을 이룬다. 만약 <math>G</math>의 [[군의 중심|중심]]이 [[자명군]]이라면, 그 [[내부 자기 동형군]]의 [[자기 동형군]]에서의 [[중심화 부분군]]은 [[자명군]]이다.
:<math>\operatorname C_{\operatorname{Aut}(G)}(\operatorname{Inn}(G))=1</math>
특히, 만약 <math>G</math>의 중심이 자명군이라면, <math>\operatorname{Aut}(G)</math>의 중심 역시 자명군이다. 자명한 중심을 갖는 조건은 자연스러운 [[군 준동형]] <math>\phi_{0,1}\colon G\to\operatorname{Aut}(G)</math>이 [[단사 함수]]인 조건과 [[동치]]이다. 따라서, 자명한 중심을 갖는 군 <math>G</math>의 자기 동형탑
:<math>G\vartriangleleft\operatorname{Aut}(G)\vartriangleleft\operatorname{Aut}(\operatorname{Aut}(G))\vartriangleleft\dotsb\vartriangleleft\operatorname{Aut}^\omega(G)\vartriangleleft\operatorname{Aut}^{\omega+1}(G)\vartriangleleft\dotsb</math>
은 점점 커지는 일련의 ([[정규 부분군|정규]]) [[부분군]]들의 열이다.

자기 동형탑이 유한·가산 시간 내에 멈출 일부 [[충분조건]]은 다음과 같다.
* 만약 <math>G</math>가 자명한 중심을 갖는 [[유한군]]이라면, <math>\tau_{\operatorname{Aut}}(G)<\omega</math>이다.
* 만약 <math>G</math>가 자명한 중심을 갖는 [[체르니코프 군]](Černikov群, {{llang|en|Chernikov group}})이라면, <math>\tau_{\operatorname{Aut}}(G)<\omega</math>이다.
* 만약 <math>G</math>가 자명한 중심을 갖는 [[다순환군]](多循環群, {{llang|en|polycyclic group}})이라면, <math>\tau_{\operatorname{Aut}}(G)<\omega_1</math>이다.
* 만약 <math>G</math>가 자명한 중심을 갖는 [[유한 생성 군]]이라면, <math>\tau(G)<\omega_1</math>이다.<ref name="Thomas">{{저널 인용
|이름1=Simon
|성1=Thomas
|제목=The automorphism tower problem. II
|언어=en
|저널=Israel Journal of Mathematics
|권=103
|쪽=93–109
|날짜=1998
|issn=0021-2172
|doi=10.1007/BF02762269
|mr=1613552
|zbl=0919.20026
}}</ref>{{rp|95, Theorem 1.6}}

임의의 [[무한 기수]] <math>\kappa</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 크기 <math>\kappa</math>의 [[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 자기 동형탑 높이는 <math>(2^\kappa)^+</math> 미만이며 (여기서, <math>(2^\kappa)^+</math>는 <math>2^\kappa</math>의 [[따름 기수]]이다), 이는 [[선택 공리]]를 필요로 하지 않는다.<ref name="Kaplan">{{저널 인용
|이름1=Itay
|성1=Kaplan
|이름2=Saharon
|성2=Shelah
|제목=The automorphism tower of a centerless group without choice
|언어=en
|저널=Archive for Mathematical Logic
|권=48
|호=8
|쪽=799–815
|날짜=2009
|issn=0933-5846
|doi=10.1007/s00153-009-0154-2
|mr=2563819
|zbl=1192.03026
|arxiv=math/0606216
}}</ref> 또한, 임의의 [[순서수]] <math>\alpha<\kappa^+</math>에 대하여, 자기 동형탑 높이가 <math>\alpha</math>인, 크기 <math>\kappa</math>의 자명한 중심을 갖는 군 <math>G</math>가 존재한다. 즉, <math>\kappa</math>에 대하여, <math>\tau_{\operatorname{Aut}}(\kappa)</math>가 다음 조건을 만족시키는 최소의 순서수라고 하자.
* 임의의 크기 <math>\kappa</math>의 자명한 중심을 갖는 군 <math>G</math>에 대하여, <math>\tau_{\operatorname{Aut}}(G)<\tau_{\operatorname{Aut}}(\kappa)</math>
그렇다면, 위 결론들에 따라 <math>\kappa^+\le\tau_{\operatorname{Aut}}(\kappa)\le(2^\kappa)^+</math>이다. 하지만 크기 <math>\kappa</math>의 자명한 중심을 갖는 군은 <math>2^\kappa</math>개이므로, 다음과 같은 더 강한 결론이 성립한다.
:<math>\kappa^+\le\tau_{\operatorname{Aut}}(\kappa)<(2^\kappa)^+</math>
즉, <math>(2^\kappa)^+</math>는 크기 <math>\kappa</math>의 무중심군의 자기 동형군 높이 <math>\tau_{\operatorname{Aut}}(G)</math>에 대한 ‘최적의 근사’가 아니다. 반면, 만약 <math>\kappa</math>가 [[비가산 기수]]라면, <math>(2^\kappa)^+</math>는 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서 명제 <math>\tau_{\operatorname{Aut}}(\kappa)<(2^\kappa)^+</math>를 증명 가능한 최소의 순서수이며, 이는 [[강제법]]을 사용하여 보일 수 있다.<ref name="Just">{{저널 인용
|이름1=Winfried
|성1=Just
|이름2=Saharon
|성2=Shelah
|이름3=Simon
|성3=Thomas
|제목=The automorphism tower problem revisited
|언어=en
|저널=Advances in Mathematics
|권=148
|호=2
|쪽=243–265
|날짜=1999
|issn=0001-8708
|doi=10.1006/aima.1999.1852
|mr=1736959
|zbl=0951.20026
|arxiv=math/0003120
}}</ref>{{rp|245, Theorem 1.4}} (이러한 일이 가능한 것은 <math>\tau_{\operatorname{Aut}}(\kappa)</math>의 값이 모형마다 다를 수 있기 때문이다.)

=== 일반적인 군 ===
임의의 [[군 (수학)|군]] <math>G</math>에 대하여, <math>\operatorname{Aut}^\alpha(G)</math>의 [[군의 중심|중심]]이 [[자명군]]인 [[순서수]] <math>\alpha</math>가 존재한다. 특히, 모든 군의 자기 동형탑은 결국 멈춘다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:군론]]