자기쌍대군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''자기쌍대군'''(自己雙對群, {{llang|en|self-dual group}})은 모든 [[부분군]]이 어떤 [[몫군]]과 [[동형]]이며, 마찬가지로 모든 몫군이 어떤 부분군과 동형인 [[군 (수학)|군]]이다.

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>가 다음 조건을 만족시키면 '''s-자기쌍대군'''({{llang|en|s-self-dual group}})이라고 한다.
* (부분군이 몫군과 동형) 임의의 <math>H\le G</math>에 대하여, <math>H\cong G/N</math>인 <math>N\vartriangleleft G</math>가 존재한다.
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>가 다음 조건을 만족시키면 '''q-자기쌍대군'''({{llang|en|q-self-dual group}})이라고 한다.
* (몫군이 부분군과 동형) 임의의 <math>N\vartriangleleft G</math>에 대하여, <math>H\cong G/N</math>인 <math>H\le G</math>가 존재한다.
s-자기쌍대군인 q-자기쌍대군을 '''자기쌍대군'''이라고 한다. 즉, 자기쌍대군은 부분군의 동형류의 집합과 몫군의 동형류의 집합이 일치하는 군이다.

== 성질 ==
모든 s-자기쌍대군은 [[멱영군]]이다. s-자기쌍대군의 [[부분군]]은 s-자기쌍대군이다. 자기쌍대 [[아벨 군]]의 [[꼬임 부분군]]은 자명하지 않다.

== 예 ==
모든 [[유한군|유한]] [[아벨 군]]은 자기쌍대군이다.

== 분류 ==
자기쌍대군은 매우 제한적인 형태를 취한다. 특수한 종류의 자기쌍대군의 구조 정리로는 다음이 있다.

=== 유한 자기쌍대군 ===
모든 유한 자기쌍대군 <math>G</math>는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.<ref name="Ying">{{저널 인용
|성1=Ying
|이름1=John H.
|제목=Finite groups with all subgroups isomorphic to quotient groups
|언어=en
|저널=Archiv der Mathematik
|권=24
|쪽=561–570
|날짜=1973
|issn=0003-889X
|doi=10.1007/BF01228254
|mr=0338167
|zbl=0277.20027
}}</ref>{{rp|Theorem 2}}<ref name="An">{{저널 인용
|성1=An
|이름1=Lijian
|성2=Ding
|이름2=Jianfang
|성3=Zhang
|이름3=Qinhai
|제목=Finite self dual groups
|언어=en
|저널=Journal of Algebra
|권=341
|호=1
|쪽=35–44
|날짜=2011
|issn=0021-8693
|doi=10.1016/j.jalgebra.2011.06.014
|mr=2824510
|zbl=1241.20024
}}</ref>{{rp|Corollary 7.2}}
:<math>G=\prod_pS_p</math>
여기서
* <math>p</math>는 [[소수 (수론)|소수]]이다.
* <math>p=2</math>인 경우, <math>S_p</math>는 아벨 ''p''-군이다.
* <math>p>2</math>인 경우, <math>S_p</math>는 아벨 ''p''-군이거나, <math>S_p=((\mathbb Z/p)^{\times 2}\rtimes\mathbb Z/p)\times(\mathbb Z/p)^{\times n_p}</math>이다.

모든 유한 s-자기쌍대군 <math>G</math>는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.<ref name="Ying" />{{rp|Theorem 2}}<ref name="An" />{{rp|Theorem 7.1}}
:<math>G=\prod_pS_p</math>
여기서
* <math>p</math>는 [[소수 (수론)|소수]]이다.
* <math>p=2</math>인 경우, <math>S_p</math>는 아벨 ''p''-군이거나, [[군의 표시|표시]] <math>\langle a,b|a^{p^{m_p}}=b^{p^{m_p}}=1,\;ab=ba^{p^{m_p-1}+1}\rangle</math>를 갖는 군과 지수 <math>p^{m_p}</math> 미만의 아벨 ''p''-군의 [[직접곱]]이다.
* <math>p>2</math>인 경우, <math>S_p</math>는 아벨 ''p''-군이거나, [[군의 표시|표시]] <math>\langle a,b|a^{p^{m_p}}=b^{p^{m_p}}=1,\;ab=ba^{p^{m_p-1}+1}\rangle</math>를 갖는 군과 지수 <math>p^{m_p}</math> 미만의 아벨 ''p''-군의 [[직접곱]]이거나, <math>S_p=((\mathbb Z/p)^{\times 2}\rtimes\mathbb Z/p)\times(\mathbb Z/p)^{\times n_p}</math>이다.

=== 가산 아벨 자기쌍대군 ===
계수가 0인 [[가산 집합|가산]] [[아벨 군|아벨]] 자기쌍대군 <math>G</math>는 다음과 같이 나타낼 수 있다.<ref name="Fuchs">{{저널 인용
|성1=Fuchs
|이름1=L.
|성2=Kertész
|이름2=A.
|성3=Szele
|이름3=T.
|제목=On a special kind of duality in group theory. I
|언어=en
|저널=Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae
|권=4
|쪽=169–178
|날짜=1953
|issn=0001-5954
|doi=10.1007/BF02020362
|mr=0057883
|zbl=0052.02201
}}</ref>{{rp|Theorem 1, III}}
:<math>G=\bigoplus_pS_p</math>
여기서
* <math>p</math>는 [[소수 (수론)|소수]]이다.
* <math>S_p</math>는 다음 두 형태 가운데 하나다.
** <math>\textstyle S_p=\bigoplus_{i=0}^\infty\mathbb Z/p^{n_{p,i}}</math> (<math>0\le n_{p,i}\le n_p</math>)
** <math>S_p=\mathbb Z(p^\infty)^{\oplus\aleph_0}\oplus B_p</math>. 여기서 <math>\mathbb Z(p^\infty)</math>는 [[프뤼퍼 군]]이며, <math>B_p</math>는 <math>\mathbb Z(p^\infty)</math>를 [[부분군]]으로 갖지 않는, 지수가 무한한 아벨 ''p''-군이다.

0이 아닌 유한 계수의 [[가산 집합|가산]] [[아벨 군|아벨]] 자기쌍대군 <math>G</math>는 다음과 같이 나타낼 수 있다.<ref name="Fuchs" />{{rp|Theorem 1, IV}}
:<math>G=\mathbb Z^{\oplus n}\oplus\bigoplus_p{(\mathbb Z(p^\infty)^{\oplus\aleph_0}\oplus B_p)}</math>
여기서
* <math>p</math>는 [[소수 (수론)|소수]]이다.
* <math>B_p</math>는 <math>\mathbb Z(p^\infty)</math>를 [[부분군]]으로 갖지 않는, 지수가 무한한 아벨 ''p''-군이다.

계수가 무한한 [[가산 집합|가산]] [[아벨 군|아벨]] 자기쌍대군 <math>G</math>는 다음과 같이 나타낼 수 있다.<ref name="Fuchs" />{{rp|Theorem 1, IV}}
:<math>G=U\oplus(\mathbb Q/\mathbb Z\oplus\mathbb Q\oplus\mathbb Z)^{\oplus\aleph_0}</math>
여기서 <math>U</math>는 임의의 [[가산 집합|가산]] [[아벨 군]]이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:군론]]