입방체 범주 문서 원본 보기

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[[호모토피 이론]]에서 '''입방체 범주'''(立方體範疇, {{llang|en|cube category}})는 각 차원의 [[초입방체]]를 대상으로 하는 [[작은 범주]]이다.  [[단체 범주]]와 유사하지만, [[단체 (수학)|단체]] 대신 [[초입방체]]를 사용한다. 입방체 범주의 [[반대 범주]]를 정의역으로 하는 [[함자 (수학)|함자]]를 '''입방체 대상'''(立方體對象, {{llang|en|cubical object}})이라고 한다. 이는 다양한 차원의 [[초입방체]]들을 짜깁기하여 얻는 일종의 “공간”으로 여겨질 수 있으며, 특히, [[집합]]의 범주 속의 입방체 대상을 '''입방체 집합'''(立方體集合,  {{llang|en|cubical set}})이라고 한다.

== 정의 ==
'''입방체 범주''' <math>\square</math>는 다음과 같이 여러 방법으로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다.
* 입방체 범주는 구체적으로 [[초입방체]]들을 대상으로 하며, 그 사이의 특정 [[연속 함수]]를 사상으로 하는 범주로서 정의될 수 있다.
* 입방체 범주는 추상적으로 특별한 사상들로 생성되는 [[모노이드 범주]]로서 정의될 수 있다.

[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math> 위의 '''입방체 대상'''은 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\square^{\operatorname{op}} \to \mathcal C</math>
를 뜻한다. <math>\mathcal C</math> 속의 입방체 대상의 범주를 <math>\operatorname c(\mathcal C)</math>로 표기하자.

'''입방체 집합'''은 [[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math> 위의 입방체 대상이다. 즉, 입방체 범주 <math>\square</math> 위의 (집합 값의) [[준층]]이다.
:<math>\operatorname{PSh}(\square)=\hom_{\operatorname{Cat}}(\square^{\operatorname{op}},\operatorname{Set})</math>
입방체 집합의 범주 <math>\operatorname c(\operatorname{Set})</math>은 물론 [[그로텐디크 토포스]]를 이룬다.

=== 구체적 정의 ===
'''입방체 범주''' <math>\square</math>의 대상들은 [[자연수]](음이 아닌 정수) <math>n</math>이다. 이는 <math>n</math>차원 [[초입방체]] <math>\mathbb I^n</math>에 해당한다.

이 사이의 사상들은 다음과 같은 기초적 사상들의 합성이다.
* 각 <math>\sigma\in\{0,1\}</math> 및 <math>i\in\{0,1,\dotsc,n\}</math>에 대하여, <math>\delta_i^\sigma\colon\mathbb I^n\to\mathbb I^{n+1}</math>. 이는 [[초입방체]]의 <math>i</math>번째 축에 수직인 두 면 가운데 하나를 취하는 것이며, 어떤 면을 취하는 것인지는 <math>\sigma</math>에 의하여 결정된다. 즉, 이는 대략 다음과 같은 함수로 생각할 수 있다.
*:<math>(t_0,t_1,\dotsc,t_{n-1})\mapsto (t_0,t_1,\dotsc,t_{i-1},\sigma,t_i,t_{n-1})</math>
* 각 <math>i\in\{0,1,\dotsc,n\}</math>에 대하여, <math>\epsilon_i\colon\mathbb I^n\to\mathbb I^{n-1}</math>. 이는 <math>n</math>차원 초입방체를 두께가 0인 <math>n+1</math>차원 초입방체로 여기는 것이다. 즉, 이는 대략 다음과 같은 함수로 생각할 수 있다.
*:<math>(t_0,t_1,\dotsc,t_{n-1})\mapsto(t_0,t_1,\dotsc,t_{i-1},t_{i+1},\dotsc,t_{n-1})</math>
이는 다음을 만족시킨다.
:<math>\epsilon_i\circ\delta_i^\sigma=\operatorname{id}_{\mathbb I^n}\qquad(i\in\{0,1,\dotsc,n\},\;\sigma\in\{0,1\})</math>
모든 사상들은 이와 같은 유한 개의 기초적 사상들의 합성이다. (특히, 0개의 기초적 사상의 합성은 [[항등 사상]]이다.)

=== 추상적 정의 ===
우선, 다음과 같은 범주 <math>\square_{\le1}</math>를 생각하자.
* <math>\square_{\le1}</math>의 대상은 <math>1</math>과 <math>\mathbb I</math> 두 개이다.
* <math>\hom_{\square_{\le1}}(1,\mathbb I)=\{\iota_0,\iota_1\}</math>이며, <math>\hom_{\square_{\le1}}(\mathbb I,1)=\{\pi\}</math>이며, <math>\hom_{\square_{\le1}}(\mathbb I,\mathbb I)=\{\iota_0\circ\pi,\pi\circ\iota_1,\operatorname{id}_{\mathbb I}\}</math>이다.
* 사상의 합성은 다음과 같다.
*:<math>\pi\circ\iota_0=\pi\circ\iota_1=\operatorname{id}_1</math>
이 범주에서 [[끝 대상]]은 <math>1</math>이며, [[시작 대상]]은 존재하지 않는다.

이제, <math>\square_{\le1}</math>로 생성되며, <math>1</math>을 항등원으로 갖는 엄격한({{llang|en|strict}}) [[모노이드 범주]] <math>(\square,\times,1)</math>를 '''입방체 범주''' <math>\square</math>라고 한다. 즉, 그 대상들은 <math>\mathbb I^n=\mathbb I\times\mathbb I\times\dotsb\times\mathbb I</math>이며, 그 사상들은 모노이드 범주의 정의 및 <math>\square_{\le1}</math>으로 유도된다.

== 성질 ==
=== 기하학적 실현 ===
[[단체 집합]]과 마찬가지로, '''기하학적 실현 [[함자 (수학)|함자]]'''({{llang|en|geometric realization functor}})
:<math>|-|\colon\operatorname{cSet}\to\operatorname{Top}</math>
및 '''특이 입방체 복합체 함자'''({{llang|en|singular cubical complex functor}})
:<math>\operatorname{Sing}\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{cSet}</math>
가 존재하며, 이들은 [[수반 함자]]를 이룬다.
:<math>|-|\dashv\operatorname{Sing}</math>

=== 호몰로지 ===
[[단체 집합]]의 [[단체 호몰로지]]와 마찬가지로, 입방체 집합 위에는 '''입방체 호몰로지'''({{llang|en|cubical homology}})를 정의할 수 있다. 이는 삼각 분할의 [[단체 호몰로지]] 및 기하학적 실현의 [[특이 호몰로지]]와 일치한다.

구체적으로, [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 입방체 대상 <math>X_\bullet \colon \square^{\operatorname{op}} \to \mathcal A</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 [[사슬 복합체]]를 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname C_n(X) = X_n</math>
:<math>\partial_n \colon\operatorname C_n(X) \to \operatorname C_{n-1}(X)</math>
:<math>\partial_n = \sum_{i=0}^n
\left(\overbrace{\operatorname{id}_1 \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_1}^i \otimes \iota_0 \otimes \overbrace{\operatorname{id}_1 \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_1 \otimes}^{n-i-1}\right)^{\operatorname{op}}
-
\left(\overbrace{\operatorname{id}_1 \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_1}^i \otimes \iota_1 \otimes \overbrace{\operatorname{id}_1 \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_1 \otimes}^{n-i-1}\right)^{\operatorname{op}}
</math>
(이 [[사슬 복합체]]는 [[단체 대상]]의 [[무어 사슬 복합체]]와 유사하다.)

그렇다면, 이 사슬 복합체의 [[호몰로지]]를 <math>X_\bullet</math>의 '''입방체 호몰로지'''라고 한다. 입방체 집합 <Math>X_\bullet</math>의 입방체 호몰로지는 각 성분별 [[자유 아벨 군]]으로 정의되는 입방체 아벨 군
:<math>\mathbb Z[X_\bullet] \in\operatorname c(\operatorname{Mod}_{\mathbb Z})</math>
의 입방체 호몰로지이다.

=== 삼각 분할 ===
마찬가지로, <math>n</math>차원 입방체를 <math>n</math>차원 [[단체 (수학)|단체]]들로 분할하는 '''삼각 분할 함자'''({{llang|en|triangulation functor}})
:<math>\operatorname{Tri}\colon\square\to\operatorname{sSet}</math>
:<math>\operatorname{Tri}\colon\mathbb I^n\to (\triangle^1)^{\times n}</math>
가 존재한다. (여기서 <math>\operatorname{sSet}</math>은 [[단체 집합]]의 범주이다.)

이로부터, 임의의 입방체 집합을 단체 집합에 대응시키는 삼각 분할 함자
:<math>\operatorname{cSet}\to\operatorname{sSet}</math>
가 존재한다.

=== 모형 범주 구조 ===
입방체 집합의 범주 위에는 표준적인 [[모형 범주]] 구조가 존재하며, 이에 따라 그 [[호모토피 범주]]는 위상 공간의 (퀼런) 호모토피 범주 <math>\operatorname{hTop}</math> 및 [[단체 집합]]의 [[호모토피 범주]]와 [[범주의 동치|동치]]이다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용 | url=http://hopf.math.purdue.edu/Jardine/cubical2.pdf | 제목=Cubical homotopy theory: a beginning | 이름=John Frederick | 성=Jardine | 날짜=2002 | 언어=en | access-date=2017-06-29 | archive-date=2015-03-26 | archive-url=https://web.archive.org/web/20150326192925/http://hopf.math.purdue.edu/Jardine/cubical2.pdf | url-status=dead }}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=category of cubes|title=Category of cubes}}
* {{nlab|id=category of cubes - exposition|title=Category of cubes — exposition}}
* {{nlab|id=cubical set|title=Cubical set}}
* {{nlab|id=model structure on cubical sets|title=Model structure on cubical sets}}
* {{웹 인용|url=http://math.cmu.edu/~cnewstea/notes/cubicalsets.pdf|제목=Cubical sets|이름=Clive|성=Newstead|언어=en|확인날짜=2017-06-29|보존url=https://web.archive.org/web/20170329063302/http://math.cmu.edu/~cnewstea/notes/cubicalsets.pdf|보존날짜=2017-03-29|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/81982/what-is-the-intuition-of-connections-for-cubical-sets|제목=What is the intuition of connections for cubical sets?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/3656/cubical-vs-simplicial-singular-homology|제목=Cubical vs. simplicial singular homology
|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:범주론]]