임계점 (집합론) 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서 '''임계점'''(臨界點, {{llang|en|critical point}})은 주어진 [[기본 매장]]이 보존하지 못하는 최소의 [[순서수]]이다.

== 정의 ==
집합론의 언어 <math>\mathcal L_{\in}</math>를 생각하자.
[[추이적 집합]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의, <math>\mathcal L_\in</math> 언어의 [[기본 매장]] <math>j\colon X\to Y</math>를 생각하자. 또한, <math>j</math>가 <math>N</math>에 속한 집합만을 사용한 <math>\mathcal L_\in</math> 공식으로 정의된다고 하자.

그렇다면, <math>j</math>는 순서수를 순서수로 대응시킨다. 즉,
:<math>j(X\cap\operatorname{Ord})\subseteq Y\cap\operatorname{Ord}</math>
이다. 또한, <math>j</math>는 순증가 함수이며, <math>\omega</math>는 그 [[고정점]]이다.
:<math>\forall\alpha,\beta\in X\colon\alpha<\beta\implies j(\alpha)<j(\beta)</math>
:<math>j(\omega)=\omega</math>
이 경우, <math>j</math>의 '''임계점'''은 <math>j</math>의 [[고정점]]인 최소의 [[순서수]]이다.
:<math>\operatorname{crit}(j)=\min\{\alpha\in X\cap\operatorname{Ord}\colon j(\alpha)=\alpha\}</math>

<math>X</math>가 [[폰 노이만 전체]] <math>V</math>라고 한다면, [[기본 매장]] <math>j\colon V\to Y</math>의 임계점은 항상 [[가측 기수]]이다. 즉, [[가측 기수]]에 정의하는 [[극대 필터]]를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>\{A\colon A\subseteq\operatorname{crit}(j)\in j(A)\}</math>

== 성질 ==
[[기본 매장]]의 임계점의 개념을 사용하여, 다음과 같은 큰 기수들을 정의할 수 있다. 아래 표에서
* <math>\alpha</math>는 임의의 순서수를 뜻한다.
* <math>n</math>은 임의의 유한 순서수를 뜻한다.
* <math>j^n=\overbrace{j\circ j\circ\cdots\circ j}^n</math>이다.
{| class="wikitable"
! [[큰 기수]] 개념 || [[기본 매장]] <math>j\colon V\to M</math>의 성질
|-
| [[가측 기수]] || (임의)
|-
| <math>n</math>-초강기수({{llang|en|superstrong cardinal}}) || <math>V_{j^n(\kappa)}\subseteq M</math>
|-
| <math>n</math>-거대 기수({{llang|en|<math>n</math>-huge cardinal}}) || <math>^{j^n(\operatorname{crit}(j))}M\subseteq M</math>
|}

0-거대 기수의 개념은 [[가측 기수]]의 개념과 [[동치]]이다.

이보다 약간 복잡한 예로, 다음과 같은 꼴의 [[큰 기수]]들을 정의할 수 있다.
:<math>\kappa</math>가 ~기수라는 것은, 임의의 <math>x\in X_\kappa</math>에 대하여, 성질 <math>P_x</math>를 만족시키는 추이적 모형 <math>M</math> 및 [[기본 매장]] <math>j\colon V\to M</math>이 존재함을 뜻한다.

{| class="wikitable"
! [[큰 기수]] 개념 || <math>X_\kappa</math> || [[기본 매장]] <math>j\colon V\to M</math>의 성질
|-
| [[초콤팩트 기수]] || [[순서수]] <math>\alpha\in\operatorname{Ord}</math> || <math>j(\kappa)>\alpha</math>, <math>^\alpha M\subseteq M</math>
|-
| 강기수({{llang|en|strong cardinal}}) ||[[순서수]] <math>\alpha\in\operatorname{Ord}</math> || <math>V_\alpha\subseteq M</math>
|-
| 우딘 기수({{llang|en|Woodin cardinal}}) || 함수 <math>f\colon\kappa\to\kappa</math> || <math>\operatorname{crit}j<\kappa</math>, <math>V_{j(f)(\kappa)}\subseteq M</math>, <math>\{f(\alpha)\colon \alpha<\kappa\}\subseteq\kappa</math>
|}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Huge|제목=Huge cardinal|웹사이트=Cantor’s Attic|이름=Joel David|성=Hamkins|이름2=Victoria|성2=Gitman|언어=en|확인날짜=2016-07-19|보존url=https://web.archive.org/web/20160623041919/http://cantorsattic.info/Huge|보존날짜=2016-06-23|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Strong|제목=Strong cardinal|웹사이트=Cantor’s Attic|이름=Joel David|성=Hamkins|이름2=Victoria|성2=Gitman|언어=en|확인날짜=2016-07-19|보존url=https://web.archive.org/web/20161001214841/http://cantorsattic.info/Strong|보존날짜=2016-10-01|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Superstrong|제목=Superstrong cardinal|웹사이트=Cantor’s Attic|이름=Joel David|성=Hamkins|이름2=Victoria|성2=Gitman|언어=en|확인날짜=2016-07-19|보존url=https://web.archive.org/web/20161001214910/http://cantorsattic.info/Superstrong|보존날짜=2016-10-01|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:큰 기수]]