일차 함수 문서 원본 보기

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[[파일:FuncionLineal02.svg|섬네일|일차 함수 그래프의 예시]]
[[수학]]에서 '''일차 함수'''(一次函數, {{llang|en|linear function}})는 최고 차항의 차수가 1인 [[다항 함수]]이다. 즉, [[함수의 그래프|그래프]]가 [[직선]]인 [[함수]]이다. '''정비례 함수'''(正比例函數 {{llang|en|directly proportional function}})는 일차 함수에 상수항이 0이라는 조건을 추가한 특수한 경우이다. 즉, 그래프가 [[원점]]을 지나는 직선인 함수이다. 단, 계수는 실수여야 한다.

== 정의 ==
'''일차 함수'''는 [[정의역]]과 [[공역]]이 [[실수]]의 [[집합]]인, 다음과 같은 꼴의 함수이다.
:<math>f(x)=ax+b</math>
여기서 <math>a</math>와 <math>b</math>는 임의의 실수이다. '''정비례 함수'''는 다음과 같은 꼴의 특수한 일차 함수이다.
:<math>f(x)=ax</math>
여기서 <math>a</math>는 임의의 실수이다. (정비례 함수는 x의 증가에 따라 y도 증가하는 그래프이다.)

== 성질 ==
일차 함수 <math>f(x)=ax+b</math>의 [[데카르트 좌표계]]에서의 그래프는 수직이 아닌 직선이다. 특히, 정비례 함수 <math>f(x)=ax</math>의 그래프는 원점을 지나는 수직이 아닌 직선이다.

=== 기울기 ===
일차 함수 <math>f(x)=ax+b</math>의 [[기울기]]는 <math>x</math> 왼쪽에 붙은 상수 <math>a</math>를 뜻하며, 이를 구하는 공식은 여러 가지가 있다. 먼저, 일차 함수의 그래프 위의 두 점 <math>(x_1,f(x_1))</math> 및 <math>(x_2,f(x_2))</math>를 취했을 때, 기울기는 독립 변수의 값과 종속 변수의 값의 변화량의 [[비 (수학)|비]]와 같다. 또한, 그래프와 만날 때까지 양의 <math>x</math>축을 반대 시계 방향으로 회전해야 하는 각도를 <math>\theta</math>라고 할 때, <math>a</math>는 이 각도의 [[탄젠트]]와 같다. 사실, <math>a</math>는 <math>f</math>의 [[미분]]이기도 하다.
:<math>a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\tan\theta=f'(x)</math>
일차 함수 <math>f(x)=ax+b</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다. 즉, 이들 조건 중 어떤 하나가 성립한다면, 나머지 조건들 역시 성립하며, 어떤 하나가 성립하지 않는다면, 나머지 역시 성립하지 않는다.
* <math>a\ne0</math>
* <math>f(x)</math>는 [[일차 다항식]]이다.
* <math>f(x)</math>의 그래프는 수평선이 아니다.
* <math>f(x)</math>는 [[강한 단조 함수]]이다.
* <math>f(x)</math>는 [[전단사 함수]]이다.

=== 영점 ===
일차 함수 <math>f(x)=ax+b</math>의 [[영점]]은 [[일차 방정식]] <math>f(x)=0</math>의 해와 같다. 즉, 그래프가 <math>x</math>축과 만나는 점의 좌표이다.
* <math>a\ne 0</math>일 경우, <math>f(x)</math>의 영점은 <math>-b/a</math>가 유일하다. 즉, <math>f(x)</math>의 그래프는 <math>x</math>축과 유일한 교점 <math>(-b/a,0)</math>을 갖는다.
* <math>a=0\ne b</math>일 경우, <math>f(x)</math>의 영점은 존재하지 않는다. 이 경우 <math>f(x)</math>의 그래프는 수평선이며, <math>x</math>축과 거리 <math>b</math>만큼 떨어져 있다.
* <math>a=0=b</math>일 경우, 모든 실수가 <math>f(x)</math>의 영점이다. 즉, <math>f(x)</math>의 그래프는 <math>x</math>축과 겹쳐진다.
일차 함수 <math>f(x)=ax+b</math>의 0에서의 함숫값은 <math>f(0)=b</math>이다. 이는 <math>f(x)</math>의 그래프가 <math>y</math>축과 만나는 점의 좌표와 같다.

=== 단조성 ===
일차 함수 <math>f(x)=ax+b</math>는 항상 [[단조 함수]]이다. <math>a>0</math>이면 [[강한 증가 함수]], <math>a<0</math>이면 [[강한 감소 함수]], <math>a=0</math>이면 [[상수 함수]]이다.

=== 아핀성과 선형성 ===
함수 <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 임의의 <math>x,y,t\in\mathbb R</math>에 대하여, <math>f(tx+(1-t)y)=tf(x)+(1-t)f(y)</math>
* 임의의 [[도함수]] <math>g\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>에 대하여, <math>f\circ g</math> 역시 도함수이다.
* <math>f</math>는 일차 함수이다.
함수 <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 임의의 <math>x,y,c\in\mathbb R</math>에 대하여, <math>f(cx+y)=cf(x)+f(y)</math>
* <math>f</math>는 정비례 함수이다.
이에 따라, 일차 함수는 실수 집합 위의 유일한 유형의 [[아핀 변환]]이며, 정비례 함수는 실수 집합 위의 유일한 유형의 [[선형 변환]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[등차수열]]
* [[비례]]
* [[이차 함수]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Linear function}}

{{전거 통제}}

[[분류:다항식]]
[[분류:초등대수학]]
[[분류:함수 방정식]]