일차 독립 집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서 '''일차 독립 집합'''(一次獨立集合, {{llang|en|linearly independent set}}) 또는 '''선형 독립 집합'''(線型獨立集合)은 모든 벡터가 남은 벡터들의 [[일차 결합]]으로 나타낼 수 없는 벡터들의 집합이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math>의 [[부분 집합]] <math>I\subseteq V</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>I</math>를 <math>V</math>의 '''일차 독립 집합'''이라고 한다.<ref name="HoffmanKunze">{{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id={{iaid|LinearAlgebraHoffmanAndKunze}}}}</ref>
* 임의의 서로 다른 <math>i_1,\dots,i_n\in I</math> 및 <math>c_1,\dots,c_n\in K</math>에 대하여, 만약 <math>c_1i_1+\cdots+c_ni_n=0_V</math>라면, <math>0_K=c_1=\cdots=c_n</math>이다. (여기서 <math>0_V\in V</math>와 <math>0_K\in K</math>는 각각 <math>V</math>와 <math>K</math>의 덧셈 [[항등원]]이다.)
* 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여, <math>i\not\in\operatorname{Span}_K(I\setminus\{i\})</math>이다. (여기서 <math>\operatorname{Span}_K(-)</math>는 주어진 부분 집합으로 생성된 [[부분 벡터 공간]]이다.)
두 조건의 동치는 체의 모든 0이 아닌 원소가 [[가역원]]이라는 성질에 의존하며, 일반적인 [[환 (수학)|환]] 위의 [[가군]]에서는 첫 번째 조건이 두 번째 조건을 함의한다. 일차 독립 집합이 아닌 벡터 공간의 부분 집합을 '''일차 종속 집합'''(一次從屬集合, {{llang|en|linearly dependent set}}) 또는 '''선형 종속 집합'''(線型從屬集合)이라고 한다. 부분 [[중복 집합]]에 대하여 마찬가지로 '''일차 독립 중복집합'''(一次獨立重復集合, {{llang|en|linearly independent multiset}})과 '''일차 종속 중복집합'''(一次從屬重復集合, {{llang|en|linearly dependent multiset}})을 정의할 수 있다.

== 성질 ==
일차 독립 집합의 모든 부분 집합은 일차 독립 집합이다. 일차 종속 집합을 포함하는 부분 집합은 일차 종속 집합이다.

== 예 ==
[[공집합]]은 벡터 공간의 일차 독립 집합이다. 체 <math>K</math> 위의 벡터 공간 <math>V</math>의 [[한원소 집합|한원소]] 부분 집합 <math>\{v\}\subseteq V</math>가 일차 독립 집합일 필요충분조건은 <math>v\ne 0_V</math>이다.

== 같이 보기 ==
* [[기저 (선형대수학)]]
* [[아핀 독립 집합]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Linear independence}}
* {{매스월드|id=LinearlyIndependent|title=Linearly independent}}

{{선형대수학}}

[[분류:선형대수학]]