일반화 운동량 문서 원본 보기

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[[라그랑주 역학]]에서 '''일반화 운동량'''(一般化運動量, {{llang|en|generalized momentum}})은 [[계 (물리학)|역학계]]가 움직이는 정도를 나타내는 [[물리량]]으로, [[라그랑지언]]의 [[일반화 속도]]에 대한 [[편미분]]이다. [[오일러-라그랑주 방정식]]에 따라, [[일반화 힘]]의 작용에 의해 바뀐다. [[뉴턴 역학]]에서의 [[운동량]]과 [[각운동량]]은 일반화 운동량의 특수한 경우다.

== 정의 ==
[[일반화 좌표]] <math>q^i</math>에 대응하는 '''일반화 운동량''' <math>p_i</math>는 [[라그랑지언]] <math>L(q,\dot q,t)</math>의 [[일반화 속도]] <math>\dot{q}^i</math>에 대한 [[편미분]]이다. 즉,
:<math>p_i \equiv {\partial L \over \partial \dot{q}^i }</math>.
각 좌표 <math>q^i</math>에 대하여 이에 대응하는 일반화 운동량 <math>p_i</math>가 존재한다.

== 일반화 운동량 보존의 법칙 ==
일반화 운동량 또한 운동량처럼 어느 조건이 갖추어지면 [[운동 상수]]가 된다. 만약, 특정 [[일반화 좌표]] <math>q^i</math>가 [[순환 좌표]], 즉,
:<math>{\partial L \over \partial q^i} = 0 </math>
라면 그에 해당하는 일반화 운동량 <math>p_i</math>가 보존되게 된다. 이는 [[오일러-라그랑주 방정식]]을 통해 쉽게 확인할 수 있다. 먼저 오일러-라그랑주 방정식을 일반화 운동량을 통하여 써 보면
:<math> {d \over dt} p_i - { \partial L \over \partial q^i } = 0 </math>
이다. 그런데 <math>q^i</math>가 [[순환 좌표]]이므로, 
:<math> {d \over dt} p_i  = 0 </math>
이 되어 일반화 운동량 <math>p_i</math>가 [[운동 상수]]가 됨을 알 수 있다.

== 운동량과 각운동량과의 관계 ==
특정 [[일반화 좌표]]에선 일반화 운동량이 [[뉴턴 역학]]의 [[운동량]]과 [[각운동량]]이 됨을 쉽게 확인할 수 있다. 예를 들자면, 입자 하나가 있는 [[계 (물리학)|계]]에 대해 [[데카르트 좌표]]를 일반화 좌표로 쓰면 라그랑지언은 다음과 같아진다.
:<math>L = {1 \over 2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) - U(x,\; y, \; z)</math>
가 된다. 일반화 운동량을 구해보면
:<math>p_x = m\dot{x}, \quad p_y = m\dot{y}, \quad p_z = m \dot{z}</math>
가 되어 선운동량을 얻을 수 있다. 

이번엔 2차원 평면 상에서 원운동을 하는 입자로 이루어진 계를 생각하자. 이 계를 나타내는 라그랑지언은 다음과 같다.
:<math>L = {1 \over 2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - U(r,\; \theta)</math>
일반화 좌표 <math>\theta</math>에 대한 일반화 운동량을 구해보면
:<math>p_\theta = mr^2 \dot{\theta}</math>
가 되어, [[뉴턴 역학]]의 [[각운동량]]임을 확인할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[일반화 좌표]]
* [[일반화 힘]]
* [[오일러-라그랑주 방정식]]

[[분류:고전역학]]
[[분류:라그랑주 역학]]