일반화 복소다양체 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''일반화 복소다양체'''(一般化複素多樣體, {{llang|en|generalized complex manifold}})는 [[복소다양체]]와 [[심플렉틱 다양체]]의 공통적인 일반화이다. 물리학적으로, [[캘브-라몽 장]] <math>B</math>가 존재하는 IIB [[초끈 이론]] [[축소화]]를 나타낸다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의  '''일반화 개복소구조'''(一般化槪複素構造, {{llang|en|generalized almost complex structure}})는 실수 [[벡터 다발]] <math>TM\oplus T^*M</math> 위의 [[개복소구조]]이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 [[다발 사상]] <math>J\colon\mathrm TM\oplus\mathrm T^*M\to \mathrm TM\oplus\mathrm T^*M</math>이다.
* <math>J^2=-\operatorname{id}</math>
* <math>\langle J(X+\xi),J(Y+\eta)\rangle=\langle X,\eta\rangle+\langle Y,\xi\rangle</math>
여기서 <math>\langle,\rangle</math>는 부호수 <math>(n,n)</math>의 자연스러운 내적 사상이다. 일반화 개복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 '''일반화 개복소다양체'''(一般化槪複素多樣體, {{llang|en|generalized complex manifold}})라고 한다.

일반화 개복소다양체 위의 '''일반화 정칙접다발'''({{llang|en|generalized holomorphic tangent bundle}})은 다음과 같은 복소수 벡터 다발이다.
:<math>E=\{X+\xi\in\Gamma((\mathrm TM\oplus\mathrm T^*M)\otimes\mathbb C)\colon J(X+\xi)=\mathrm i(X+\xi)\}</math>
이에 따라
:<math>(\mathrm TM\oplus\mathrm T^*M)\otimes C\cong E\oplus\bar E</math>
가 된다.

<math>\mathrm TM\oplus\mathrm T^*M</math>의 두 [[매끄러운 단면]] <math>X+\xi</math>, <math>Y+\eta</math>에 대하여, 다음과 같이 '''쿠란트 괄호'''(Courant括弧, {{llang|en|Courant bracket}})를 정의하자.
:<math>[X+\xi,Y+\eta]=[X,Y] +\mathcal{L}_X\eta-\mathcal{L}_Y\xi -\frac12d(\langle X,\eta\rangle-\langle Y,\xi\rangle)</math>
여기서 <math>\mathcal L_X</math>는 [[리 미분]]이며, <math>d</math>는 [[외미분]]이다.

일반화 개복소구조 가운데, <math>E</math>의 [[매끄러운 단면]]들이 쿠란트 괄호에 대하여 닫혀 있는 것들을 '''일반화 복소구조'''(一般化複素構造, {{llang|en|generalized complex structure}})라고 하며, 일반화 복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 '''일반화 복소다양체'''(一般化複素多樣體, {{llang|en|generalized complex manifold}})라고 한다.

== 순수 스피너 ==
{{본문|순수 스피너}}
<math>n</math>차원 실수 [[벡터 공간]] <math>V</math>가 주어졌을 때, <math>V\oplus V^*</math> 위에는 자연스러운 <math>\operatorname{SO}(n,n)</math> 구조가 존재한다. 이 경우, 리 대수의 작용은
:<math>\mathfrak{so}(V\oplus V^*)\cong\mathfrak{gl}(V;\mathbb R)\oplus\bigwedge^2V^*\oplus\bigwedge^2V</math>
이다.

<math>V\oplus V^*</math>는 [[외대수]] <math>\textstyle\bigwedge^\bullet V^*</math> 위에 다음과 같은 작용을 갖는다.
:<math>(X+\eta)\cdot\phi=\iota(X)\phi+\xi\wedge\phi</math>
이 경우
:<math>(X+\eta)\cdot\left((X+\eta)\cdot\phi\right)=\langle X,\eta\rangle\phi</math>
이며, 이는 [[디랙 행렬]]과 같은 형태이다. 이를 사용하여, <math>V\oplus V^*</math>의 [[디랙 스피너]] 공간을 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.
:<math>\Delta(V\oplus V^*)\cong\sqrt{\bigwedge^n V}\otimes\bigwedge^\bullet V^*</math>
이는 짝수 차원 디랙 스피너 공간이며, 이는 [[바일 스피너]] 공간의 [[직합]]으로 나타낼 수 있다.
:<math>\Delta(V\oplus V^*)=\Delta^+(V\oplus V^*)\oplus\Delta^-(V\oplus V^*)</math>
:<math>\Delta^+(V\oplus V^*)\cong \sqrt{\bigwedge^n V}\otimes\bigwedge^{2\bullet}V^*</math>
:<math>\Delta^-(V\oplus V^*)\cong \sqrt{\bigwedge^n V}\otimes\bigwedge^{2\bullet+1}V^*</math>
스피너 <math>\phi\in\Delta^\pm(V\oplus V^*)</math> 가운데,
:<math>\dim\ker(\cdot\phi)=\dim\{X+\eta\in V\oplus V^*\colon (X+\eta)\cdot\phi=0\}=n</math>
인 것을 <math>V\oplus V^*</math>의 '''순수 스피너'''(純粹spinor, {{llang|en|pure spinor}})라고 한다.

이 모든 정의들은 벡터 공간 대신, 매끄러운 다양체 위의 벡터 다발에 대하여 정의할 수 있다.

== 일반화 칼라비-야우 다양체 ==
매끄러운 다양체 <math>M</math>의 일반화 접다발 <math>\mathrm TM\oplus\mathrm T^*M</math>이 자명한 순수 스피너 복소수 [[선다발]]을 갖는다면, <math>(M,E)</math>를 '''일반화 칼라비-야우 다양체'''라고 한다. 즉,
:<math>\phi\in\Omega^\pm M\otimes\mathbb C</math>
가 <math>\mathrm TM\oplus\mathrm T^*M</math>의 순수 스피너이며, <math>d\phi=0</math>이며, 또한 모든 곳에서 <math>\langle\phi,\bar\phi\rangle\ne0</math>이라면 <math>M</math>은 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

일반화 칼라비-야우 다양체 <math>(M,\phi)</math>가 주어졌을 때, <math>\ker(\cdot\phi)\subset(\mathrm TM\oplus\mathrm T^*M)\otimes\mathbb C</math>은 <math>M</math>위의 일반화 복소구조를 정의한다. 즉, 모든 일반화 칼라비-야우 다양체는 일반화 복소다양체를 이룬다.

== 예 ==
=== 복소다양체 ===
모든 [[복소다양체]]는 자명하게 일반화 복소다양체를 이루며, 모든 [[칼라비-야우 다양체]]는 자명하게 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 복소수 <math>k</math>차원 복소다양체 <math>M</math>의 경우, <math>E</math>는 정칙 벡터장 및 <math>(1,0)</math>-[[복소수 미분 형식]]들의 다발의 직합이다.
:<math>E=\mathrm T^+M\oplus\Omega^{1,0}M</math>
이 경우, 순수 스피너는 <math>(k,0)</math>-[[복소수 미분 형식]]이며, 칼라비-야우 다양체의 경우 정칙 부피 형식 <math>\Omega\in\Gamma(\Omega^{k,0}M)</math>이 존재하므로 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

=== 심플렉틱 다양체 ===
모든 [[심플렉틱 다양체]] 역시 일반화 복소다양체를 이루며, 또한 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. <math>2k</math>차원 [[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math>가 주어졌을 때, 순수 스피너는 다음과 같은 꼴의 [[복소수 미분 형식]]이다.
:<math>\exp(\mathrm i\omega)f\qquad(f\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb C))</math>
순수 스피너의 다발은 항상 자명하므로, 이는 항상 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룸을 알 수 있다. 이 경우, 일반화 정칙 접다발은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성된다.
:<math>X-\mathrm i\omega(X,-)\qquad(X\in\Gamma(\mathrm TM))</math>

== 역사 ==
[[나이절 히친]]이 2002년에 [[거울 대칭]]을 다루기 위하여 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Nigel J.|성=Hitchin|저자링크=나이절 히친|arxiv=math/0209099|제목= Generalized Calabi–Yau manifolds|저널=The Quarterly Journal of Mathematics|권=54|날짜=2003|쪽=281-308|doi=10.1093/qmath/hag025|bibcode=2002math......9099H|언어=en}}</ref> 이후 히친의 박사 과정 학생인 마르코 괄티에리({{llang|it|Marco Gualtieri}})가 박사 학위 논문에서 이를 체계적으로 연구하였다.<ref>{{서적 인용|성=Gualtieri|이름= Marco|arxiv=math/0401221|제목= Generalized complex geometry|날짜=2003|bibcode=2004math......1221G|기타=박사 학위 논문 (지도 교수 [[나이절 히친|N. J. Hitchin]])|출판사=[[옥스퍼드 대학교]]|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
*{{저널 인용|성=Gualtieri|이름= Marco|arxiv=math/0703298|제목= Generalized complex geometry|날짜=2007|bibcode=2007math......3298G|언어=en}}
*{{저널 인용|성=Graña|이름= Mariana |arxiv=hep-th/0509003 |제목=Flux compactifications in string theory: a comprehensive review|저널= Physics Reports |권=423|날짜=2006|쪽=91-158|doi=10.1016/j.physrep.2005.10.008|bibcode=2006PhR...423...91G|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=generalized complex geometry|title=Generalized complex geometry}}
* {{nlab|id=generalized Calabi-Yau manifold|title=Generalized Calabi-Yau manifold}}
* {{nlab|id=generalized tangent bundle|title=Generalized tangent bundle}}
* {{nlab|id=generalized vielbein|title=Generalized vielbein}}
* {{nlab|id=generalized G2-manifold|title=Generalized G2-manifold}}
* {{nlab|id=exceptional generalized geometry|title=Exceptional generalized geometry}}

[[분류:복소다양체]]