일반화 리만 다양체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|준 리만 다양체|2차 미분 형식과 정부호 리만 계량을 갖춘 다양체|부정부호 계량을 갖춘 다양체}}
[[미분기하학]]에서 '''일반화 리만 다양체'''(一般化Riemann多樣體, {{llang|en|generalized Riemannian manifold}})는 [[리만 계량]]과 [[2차 미분 형식]]을 갖춘 [[매끄러운 다양체]]이다.

== 정의 ==
'''일반화 리만 다양체'''의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 서로 [[동치]]이다.

=== 미분 형식을 통한 정의 ===
'''일반화 리만 다양체''' <math>(M,g,B)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* '''[[리만 다양체]]''' <math>(M,g)</math>
* [[2차 미분 형식]] <math>B\in\Omega^2(M)</math>

=== 일반화 접다발을 통한 정의 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 '''일반화 접다발'''은 다음과 같은 <math>2\dim M</math>차원 [[매끄러운 벡터 다발]]이다.
:<math>E = \mathrm TM \oplus \mathrm T^*M</math>
즉, [[접다발]]과 [[공변접다발]]의 [[직합]]이다. 그 위에는 자연스러운 [[쌍선형 형식]]
:<math>\langle X+\alpha,Y+\beta\rangle = \frac{\alpha(Y) + \beta(X)}2</math> 
이 존재하며, 그 부호수는 <math>(\dim M,\dim M)</math>이다. 이에 따라 자연스러운 [[벡터 다발]] [[동형 사상]]
:<math>E \cong E^*</math>
이 존재한다.

<math>M</math> 위의 '''일반화 리만 계량'''
:<math>G \colon E \to E</math>
은 다음 조건들을 만족시키는 벡터 다발 사상이다.<ref>{{저널 인용|제목=Generalized complex geometry and T-duality|이름=Gil R.|성=Cavalcanti|이름2=Marco|성2=Gualtieri|arxiv=1106.1747|언어=en}}</ref>{{rp|§1.1}}
* (자기 수반) <math>G^\top = G</math>이다. 즉, <math>\langle x,Gy\rangle = \langle Gx,y\rangle</math>이다.
* (직교성) <math>G</math>는 벡터 다발의 동형 사상이며, <math>G = G^{-1}</math>이다.
* (정부호성) <math>\langle G-,-\rangle</math>는 [[양의 정부호]]이다.

=== 두 정의 사이의 관계 ===
이 두 정의는 서로 [[동치]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=From generalized Kähler to generalized Sasakian structures|이름=Izu|성=Vaisman}}</ref>{{rp|Proposition 2.1}}

일반화 접다발 <math>E = \mathrm TM \oplus \mathrm T^*M</math> 위의 일반화 리만 계량 <math>G</math>가 주어졌다면, <math>G^2 = 1</math>이므로 그 고윳값은 ±1이다. 즉, <math>E</math>는 고유 공간
:<math>E = E^+ \oplus E^-</math>
로 분해되며, 이들은 서로 직교이다.
:<math>\langle E^+,E^-\rangle = 0</math>
이 부분 공간 <math>E^+</math>는 어떤 벡터 다발 사상 <math>\mathrm TM\to\mathrm T^*M</math>의 그래프로 해석할 수 있다. 이 벡터 다발 사상은 대칭 성분과 반대칭 성분으로 분해하여
:<math>g + B</math>
로 쓸 수 있으며, 이는 각각 [[리만 계량]]과 [[2차 미분 형식]]에 해당한다. 마찬가지로, <math>E^-</math>는 <math>B-g</math>의 그래프가 된다.
:<math>E^\pm_x = \{X + B(X,-) \pm g(X,-) \colon X \in \mathrm T_xM \}</math>

== 예 ==
모든 [[켈러 다양체]]는 ([[심플렉틱 형식]]과 [[리만 계량]]을 사용하여) 자연스럽게 일반화 리만 다양체를 이룬다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=generalized complex geometry|title=Generalized complex geometry}}
* {{nlab|id=generalized tangent bundle|title=Generalized tangent bundle}}

[[분류:미분기하학]]