일반항 판정법 문서 원본 보기

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'''일반항 판정법'''(一般項判定法, {{lang|en|term test}}) 또는 '''''n''항 판정법'''({{lang|en|nth term test}})은 다음과 같은 서로 [[대우 (논리학)|대우]]인 두 명제 중 하나로 서술되는 [[무한급수]]의 [[수렴판정법]]이다.

* <math>\textstyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math>이 [[수렴급수|수렴]]하면, <math>\textstyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0</math>이다.

* <math>\textstyle \lim_{n\to\infty} a_n</math>이 0이 아니거나 존재하지 않으면, <math>\textstyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math>은 [[발산급수|발산]]한다.

== 증명 ==
급수가 ({{mvar|S}}로) 수렴한다고 가정하자. 급수의 처음 {{mvar|n}}항의 합을 {{mvar|S<sub>n</sub>}}이라 할 때,

:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(S_n - S_{n-1}) = S - S = 0\ \blacksquare</math>

또, 일반항 판정법은 [[코시 수렴 판정법]]의 특별한 경우이며, 많은 곳에서 코시 판정법에 의해 증명된다. {{수학|∀ε > 0}}에 대해, {{수학|∃''N''}}이어서 {{수학|∀''m'' ≥ ''n'' ≥ ''N''}}에 대해

:<math>|a_n + a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_m| \le \varepsilon</math>

여기서 특별히 {{수학|1=''m'' = ''n''}}인 경우 {{수학|{{!}}''a<sub>n</sub>''{{!}} ≤ ε}}이다. 따라서 <math>\textstyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0\ \blacksquare</math>

== 예 ==
일반항 판정법에 의하면, 0이 아닌 값으로 수렴하는 일반항에 의한 급수는 발산한다. <math>\textstyle \sum_{n=0}^{\infty} 1</math>은 상수열 {{수학|(1)}}이 {{수학|1( ≠ 0)}}로 수렴함에 따라 발산한다. 일반항이 극한을 갖지 않아도, 급수는 발산한다. <math>\textstyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n</math>은 {{수학|((-1)<sup>''n''</sup>)}}의 극한이 존재하지 않음에 따라 발산한다.

== 역 ==
<math>\textstyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0</math>은 급수 <math>\textstyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math>의 수렴을 보장하지 않는다. 즉 일반항 판정법의 역은 성립치 않는다. 다음 급수들은 항이 0으로 수렴하나, 각기 다른 수렴성이 있다.

* <math>\textstyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}</math>은 수렴한다.
* <math>\textstyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}</math>([[조화급수]])은 무한대로 발산한다.
* <math>\textstyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\sin \sqrt{n + 1} - \sin \sqrt{n}\right)</math>은 [[부분합]]이 [[유계집합|유계]]인 채로 발산한다.

== 유사한 결론 ==
[[이상적분]], [[무한곱]], [[균등수렴]]에 대해 급수의 일반항 판정법과 비슷한 결론이 있다.

* [[단조함수]] {{수학|''f''}}의 이상적분 <math>\textstyle \int_a^{\infty} f(x) \,dx</math>가 수렴한다면, {{수학|''f''(''x'')}}는 0으로 수렴한다({{수학|''x'' → ∞}}). {{mvar|f}}가 단조함수가 아닌 경우는 일반적으로 틀린 결론이다.
* 0이 아닌 수로 수렴하는 무한곱 <math>\textstyle \prod_{n=1}^{\infty} a_n</math>의 항 {{mvar|a<sub>n</sub>}}은 1로 수렴한다.
* 균등수렴하는 함수열 <math>\textstyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)</math>의 항 {{수학|''f<sub>n</sub>''(''x'')}}는 영함수로 균등수렴한다({{수학|''n'' → ∞}}). 

[[분류:수렴판정법]]
[[분류:극한]]