일반선형군 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''일반선형군'''(一般線型群, {{llang|en|general linear group}})은 주어진 [[벡터 공간]]의 가역 [[선형 변환]]들이 이루는 [[군 (수학)|군]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대한 [[벡터 공간]] <math>V</math>의 '''일반선형군''' <math>\operatorname{GL}(V)</math>은 가역 [[선형 변환]] <math>M\colon V\to V</math>들의, [[함수의 합성]]에 대한 [[군 (수학)|군]]이다. 이는 <math>K</math>-[[대수군]]을 이룬다.

만약 <math>V</math>가 유한 차원 <math>V=K^n</math>일 경우, <math>\operatorname{GL}(V)</math>를 <math>\operatorname{GL}(n;K)</math>라고 쓴다. 이는 <math>n\times n</math> <math>K</math>-[[가역행렬]]들의 군으로 여길 수 있다. 만약 <math>K</math>가 실수체 또는 복소수체인 경우, 이는 실수 또는 복소 [[리 군]]이다.

== 성질 ==
=== 실수 일반선형군 ===
실수 일반선형군 <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math>은 <math>n^2</math>차원 실수 [[리 군]]이다. 그 [[리 대수]] <math>\mathfrak{gl}(n;\mathbb R)</math>는 <math>n\times n</math> 실수 행렬들의 [[리 대수]]이다.

[[다양체]]로서, 실수 일반선형군 <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math>은 [[콤팩트 공간]] 또는 [[연결 공간]]이 아니며, 두 개의 [[연결 성분]]을 갖는다. 이는 각각 [[행렬식]]이 양수인 성분과 음수인 성분이다. 단위원을 포함하는, 행렬식이 양수인 부분공간 <math>\operatorname{GL}^+(n;\mathbb R)</math>은 [[정규 부분군]]을 이루며, 이에 대한 [[몫군]]은 물론 <math>\mathbb Z/2</math>이다.

=== 복소 일반선형군 ===
복소 일반선형군 <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb C)</math>은 복소 <math>n^2</math>차원 (실수 <math>2n^2</math>차원) [[리 군]]이다. 그 [[리 대수]] <math>\mathfrak{gl}(n;\mathbb C)</math>는 <math>n\times n</math> 복소 행렬들의 [[리 대수]]이다.

[[다양체]]로서, 복소 일반선형군 <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb C)</math>은 [[연결 공간]]이며, [[콤팩트 공간|콤팩트]]하지 않다. 그 [[기본군]]은
:<math>\pi_1(\operatorname{GL}(n,\mathbb C)\cong\mathbb Z</math>
이다.

=== 유한체 일반선형군 ===
유한체 <math>\mathbb F_q</math>의 경우, 간혹 <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb F_q)</math> 대신 <math>\operatorname{GL}(n;q)</math>로 쓰기도 한다. <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb F_q)</math>의 크기는 다음과 같다.
: <math>\left|\operatorname{GL}(n;\mathbb F_q)\right|=(q^n - 1)(q^n - q)(q^n - q^2)\ \ldots\ (q^n - q^{n-1})</math>

== 같이 보기 ==
* [[유한단순군의 목록]]
* [[2차원 실수 특수선형군]]

== 외부 링크 ==
*{{springer|title=General linear group}}
* {{매스월드|title=General linear group|id=GeneralLinearGroup}}
* {{수학노트|title=일반 선형군의 표현론}}

[[분류:군론]]
[[분류:리 군]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:대수군]]