인수 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수학]]에서 '''인수 정리'''(因數 定理, {{llang|en|Factor theorem}})는 [[다항식]]이 어떤 1차 다항식을 [[약수]]로 가질 [[필요충분조건]]을 제시한다. [[다항식 나머지 정리]]의 특별한 경우이다.<ref>{{인용|이름=Michael|성=Sullivan|제목=Algebra and Trigonometry|쪽=381|출판사=Prentice Hall|연도=1996년|isbn=0-13-370149-2}}</ref> 인수 정리는 다항식 <math>f(x)</math>가 <math>f(r)=0</math> (즉 <math>r</math>는 근)인 경우에만 인수 <math>x - r</math>를 갖는다고 명시한다.<ref>{{인용|이름1=V K|성1=Sehgal|이름2=Sonal|성2=Gupta|제목=Longman ICSE Mathematics Class 10|쪽=119|출판사=Dorling Kindersley (India)|isbn=978-81-317-2816-1}}</ref>

== 정의 ==
{{참고|나눗셈 정리#인수 정리}}
'''인수 정리'''에 따르면, [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 및 다항식 <math>f\in R[x]</math> 및 [[중심 (대수학)|중심]]의 원소 <math>r\in\operatorname Z(R)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>x-r\mid f(x)</math>. 즉, <math>f(x)=(x-r)g(x)</math>인 다항식 <math>g\in R[x]</math>가 존재한다.
* <math>f(r)=0</math>. 즉, <math>r</math>는 <math>f(x)</math>의 근이다.

{{증명}}
첫 번째 조건은 <math>f(x)</math>를 <math>x-r</math>로 나눈 나머지가 0인 것과 동치이다. [[다항식 나머지 정리]]에 따라, <math>f(x)</math>를 <math>x-r</math>로 나눈 나머지는 <math>f(r)\in R</math>이다. 따라서 위 두 조건은 서로 동치이다.
{{증명 끝}}

== 응용 ==
=== 다항식의 인수분해 ===
인수 정리가 일반적으로 적용되는 2가지 문제는 다항식을 [[인수분해]]하고 다항식의 근을 찾는 문제이다. 또한 인수 정리는 알려지지 않은 모든 근을 그대로 유지하면서 다항식으로부터 알려진 근을 제거하는 데 사용되므로 근을 보다 찾기 쉬울 정도로 낮은 차수의 다항식을 생성한다. 그 방법은 추상적으로 다음과 같다.<ref>{{인용|이름=R. K.|성=Bansal|제목=Comprehensive Mathematics IX|쪽=142|출판사=Laxmi Publications|isbn=81-7008-629-9}}.</ref>

# 다항식 <math>f</math>의 근인 <math>a</math>를 찾는다. (일반적으로 이는 매우 어렵다.)
# 인수 정리를 사용하여 <math>(x-a)</math>가 <math>f(x)</math>의 인수라고 결론을 내린다.
# 다항식 <math>g(x) = \frac{f(x)}{(x-a)}</math>를 구한다. [[다항식 장제법]] 또는 [[조립제법]]을 사용할 수 있다.
# <math>f(x)=0</math>의 근은 <math>a</math>와 <math>g(x)=0</math>의 근이라는 결론을 내린다. <math>g</math>의 다항식 차수가 <math>f</math>의 다항식 차수보다 하나 작기 때문에 <math>g</math>를 연구하여 나머지 근을 찾는 것이 간단한 편이다.

==== 예제 ====
<math>x^3 + 7x^2 + 8x + 2</math>의 근을 구하라. 이는 시행착오(또는 [[유리근 정리]])를 사용하여 식이 0이 되도록 하는 1번째 ''x''의 값을 찾는다. [[유리근 정리]]에 따라 유리수 근의 후보는 <math>1,-1,2,-2</math> 뿐이다. <math>(x - 1)</math>이 인수인 지의 여부를 확인하려면 <math>x = 1</math>을 위의 다항식으로 대체한다.

:<math>\begin{align}
x^3 + 7x^2 + 8x + 2 &= (1)^3 + 7(1)^2 + 8(1) + 2\\
&= 1 + 7 + 8 + 2\\
&= 18
\end{align}</math>

이러한 등식에서는 0이 아닌 18과 같은 값이 나오는데 <math>(x - 1)</math>은 <math>x^3 + 7x^2 + 8x + 2</math>의 인수가 아니기 때문이다. 따라서 우리는 다음에 <math>(x + 1)</math>을 시도한다. 이에 따라 <math>x = -1</math>을 다항식으로 변환한다.
:<math>(-1)^3 + 7(-1)^2 + 8(-1) + 2</math>

이러한 등식은 <math>0</math>과 같은 값이 나온다. 그러므로 <math>x-(-1)</math>은 즉 <math>x+1</math>이 인수가 되고 <math>-1</math>은 <math>x^3 + 7x^2 + 8x + 2</math>의 [[근 (수학)|근]]이 된다.

다음 2개의 근은 대수적으로 <math>x^3 + 7x^2 + 8x + 2</math>를 <math>(x+1)</math>로 나누어 2번째 근을 구할 수 있다.
:<math>{x^3 + 7x^2 + 8x + 2 \over x + 1} = x^2 + 6x + 2</math>

따라서 <math>(x+1)</math>과 <math>x^2 + 6x + 2</math>는 <math>x^3 + 7x^2 + 8x + 2</math>의 인수가 된다. 이 가운데 2차 인수는 [[이차 방정식]]을 활용하여 추가로 인수분해될 수 있는데 이러한 공식은 <math>-3\pm \sqrt{7}</math>의 근을 제공한다. 따라서 원래 다항식에서 3개의 [[기약 다항식|기약]] 인수는 <math>x+1</math>, <math>x-(-3+\sqrt{7})</math>, <math>x-(-3-\sqrt{7})</math>이다.

=== 대수적으로 닫힌 체 ===
[[대수적으로 닫힌 체]]는 모든 0이 아닌 다항식이 적어도 하나 이상의 근을 갖는 [[체 (수학)|체]]이다. 인수 정리에 따라, 이는 모든 다항식을 1차 다항식의 곱으로 인수분해할 수 있는 것과 [[동치]]이다.

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:다항식에 대한 정리]]
[[분류:다항식에 대한 정리]]