이토 확률 과정 문서 원본 보기

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[[확률론]]에서 '''이토 확률 과정'''([伊藤]確率過程, {{llang|en|Itō stochastic process}})은 [[위너 과정]]의 [[이토 적분]]으로 정의되는 [[확률 과정]]이다.

== 정의 ==
[[확률 공간]] <math>\Omega</math> 위의 [[위너 확률 과정]]
:<math>(W_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}</math>
이 주어졌다고 하자. 위와 [[여과 확률 공간]]
:<math>(\Omega,\sigma(\mathcal F_t\cup\mathcal G),\Pr)</math>
이 <math>W</math>의 [[자연 여과 확률 공간]]의 오른쪽 연속 완비화라고 하자.

<math>W</math>에 대한 '''이토 확률 과정'''은 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있는 [[확률 과정]]
:<math>(X_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}</math>
이다.
:<math>X_t = X_0 + \int_0^t Y_s \,\mathrm ds + \int_0^t Z_s\,\mathrm dW_s</math>
여기서
* <math>(Z_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}</math>는 [[이토 적분]] 가능 확률 과정이다.
* <math>(Y_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}</math>는 <math>(\Omega,\sigma(\mathcal F_t\cup\mathcal G),\Pr)</math>에 대한 [[순응 확률 과정]]이다.
* <math>X_0\in\operatorname L^2(\Omega,\mathbb R)</math>는 <math>W</math>와 [[독립 (확률론)|독립]]인 [[확률 변수]]이다.
* <math>\textstyle\int\mathrm dW</math>는 [[이토 적분]]이다.

흔히, 이토 확률 과정의 분해는 상수항 <math>X_0</math>을 생략하고
:<math>\mathrm dX_t = Y_t\,\mathrm dt + Z_t\,\mathrm dW_t</math>
와 같이 표기된다.

=== 다양체 위의 이토 확률 과정 ===
보다 일반적으로, [[매끄러운 다양체]] 위의 이토 과정을 생각할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자.
* [[확률 공간]] <math>\Omega</math>
* [[위너 확률 과정]] <Math>W_t\colon\Omega \to \mathbb R^m</math>
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>. 이를 [[보렐 가측 공간]]으로 간주하자.
그렇다면, <math>M</math> 값의 '''이토 확률 과정'''은 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있는 [[확률 과정]]
:<math>(X(t)\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}</math>
이다. (미분 기하학에서 첨자를 널리 사용하므로, 편의상 시간을 첨자 대신 괄호로 표기하였다.)
:<math>X^\mu(t) = X^\mu(0) + \int_0^t Y^i(s)e^\mu_i \,\mathrm ds + \int_0^t Z^j_i(t)e^\mu_j\,\mathrm dW^i_s</math>
여기서
* <math>(Z_t\colon\Omega\to\mathbb R^{m\times n})_{t\in[0,\infty)}</math>는 [[이토 적분]] 가능 확률 과정이다.
* <math>(Y_t\colon\Omega\to\mathbb R^n)_{t\in[0,\infty)}</math>는 <math>(\Omega,\sigma(\mathcal F_t\cup\mathcal G),\Pr)</math>에 대한 [[순응 확률 과정]]이다.
* <math>X(0)\colon\Omega\to M</math>은 <math>W</math>와 [[독립 (확률론)|독립]]인, <math>M</math> 값의 [[확률 변수]]이다.
* <math>e^\mu_1,\dotsc,e^\mu_n</math>은 <Math>M</math> 위의 <math>n</math>개의 [[벡터장]]이다. 즉, <math>e \in \Gamma(\mathrm TM \times \mathbb R^n)</math>이다.
* [[매끄러운 다양체]]의 [[접다발]]의 지표는 <math>\mu,\nu,\dotsc</math>로, [[유클리드 공간]]의 지표는 <math>i,j,\dotsc</math>로 표기하였다.

== 성질 ==
=== 이토 보조 정리 ===
이토 적분에서, 변수의 변환은 일반적으로 추가 항을 갖는다. 즉, 통상적인 [[연쇄법칙]]이 성립하지 않으며, [[위너 확률 과정]]의 스스로와의 상관 현상에 의한 추가 항이 등장한다. 이를 '''이토 보조 정리'''([伊藤]補助定理, {{llang|en|Itō’s lemma}}) 또는 '''이토-되블린 정리'''({{llang|en|Itō–Döblin theorem}})라고 한다.

다음이 주어졌다고 하자.
* [[확률 공간]] <math>\Omega</math>
* <math>\Omega</math> 위의 [[위너 확률 과정]] <math>(W_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}</math>
* <math>W</math>에 대한 이토 확률 과정 <math>X_t = X_0 + \textstyle\int_0^t Y_s\,\mathrm ds + \int_0^t Z_s\,\mathrm dW_s</math>
* 함수 <math>f\colon \mathbb R^+\times\mathbb R \to \mathbb R</math>, <math>(t,x)\mapsto f(t,x)</math>. 또한, 이 함수가 첫째 변수에 대하여 <math>\mathcal C^1</math> (연속 [[미분|미분 가능]]) 함수이며, 둘째 변수에 대하여 <math>\mathcal C^2</math> (2차 연속 미분 가능) 함수라고 하자.
그렇다면, '''이토 보조 정리'''에 따르면,
:<math>X'_t = f(t,X_t)</math>
는 역시 이토 확률 과정을 이루며, 또한 그 분해는 다음과 같다.
:<math>f(t,X_t) = f(0,X_0) + 
\int_0^t
\left(
\frac{\partial f}{\partial t}(s,X_s)
+
\frac{\partial f}{\partial x}(s,X_s)Y_s
+
\frac12 \int_0^t Z^2_s \frac{\partial^2f}{\partial^2x}(s,X(s))
\right)
\,\mathrm ds
+
\int_0^t \frac{\partial f}{\partial x}(s,X_s)Z_s\,\mathrm dW_s
</math>

미분 표기법으로는 이토 보조 정리는 다음과 같이 표기된다.
:<math>\mathrm df(X_t) = \frac{\partial f}{\partial t}(t,X_t)\,\mathrm dt + \frac{\partial f}{\partial x}(t,X_t)\,\mathrm dX_t + \frac12 Z_t^2 \frac{\partial^2f}{\partial x^2}(t,X_t)\,\mathrm dt</math>
여기서 마지막 항은 비(非)확률 미적분학의 [[연쇄법칙]]에 등장하지 않는 것이다.

특히, 만약 <math>X_t = W_t</math>이며, <math>f(t,x)</math>가 <math>t</math>에 직접 의존하지 않는다면, 이토 보조 정리는 다음과 같이 된다.
:<math>\mathrm df(W_t) = f'(W_t)\,\mathrm dW_t + \frac12 f''(W_t)\,\mathrm dt</math>

=== 무한소 생성원 ===
유클리드 공간 위의 이토 과정
<math>\mathrm dX^i(t) = Y^i(t)\,\mathrm dt + Z^i_j(t)\,\mathrm dW^j_t</math>
의, 시간 <math>t\in[0,\infty)</math>에서의 '''무한소 생성원'''은 다음과 같은 2차 [[미분 연산자]]의 족 <math>(D(t))_{t\in[0,\infty)}</math>이다.
:<math>D(t)f(x) = \lim_{h\to0}\frac{\mathbb E(f(X_{t+h})|X_t = x) - f(x)}h</math>
이는 다음과 같은 꼴임을 보일 수 있다.
:<math>(D(t)f)^i(x) = Y^j(t) \partial_j f^i + \frac12 Z^l_jZ^l_k(t)\partial_j \partial_kf^i(t)</math>
이 경우,
:<math>D(t)p(x,t) = \partial_tp(x,t)</math>
와 같은 [[편미분 방정식]]을 '''[[포커르-플랑크 방정식]]'''이라고 한다. 이토 과정의 [[확률 분포]] 함수
:<math>\Pr(X_t\in S) = \int_S p(x,t)\,\mathrm dx</math>
는 이 [[편미분 방정식]]을 따른다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Itô process}}
* {{eom|title=Itô formula}}
* {{매스월드|=ItosLemma|title=Ito's lemma}}

[[분류:확률 과정]]
[[분류:확률 과정]]
[[분류:확률미분방정식]]