이차 형식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수론]]과 [[선형대수학]]에서 '''이차 형식'''(二次形式, {{llang|en|quadratic form}})은 다변수 2차 [[동차다항식]]이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>V</math> 위의 '''이차 형식''' <math>Q</math>는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 <math>Q\colon V\to K</math>이다.<ref name="Rotman">{{서적 인용 | 성=Rotman|이름= Joseph  | title=An introduction to the theory of groups | publisher=Springer | 날짜=1994 | isbn= 978-1-4612-8686-8|doi=10.1007/978-1-4612-4176-8|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=148|issn=0072-5285|zbl=0810.20001|판=4|언어=en}}</ref>{{rp|244}}<ref name="Wilson">{{서적 인용|제목=The finite simple groups|이름=Robert|성=Wilson|출판사=Springer|doi=10.1007/978-1-84800-988-2|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=251|issn=0072-5285|isbn=978-1-84800-987-5|날짜=2009|언어=en}}</ref>{{rp|54, (3.15)}}
* (동차성) 임의의 <math>a\in K</math> 및 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>Q(av)=a^2Q(v)</math>
* (쌍선형성) 함수 <math>B\colon V\times V\to K</math>, <math>(u,v)\mapsto Q(u+v)-Q(u)-Q(v)</math>를 정의하면, <math>B</math>는 <math>V</math> 위의 [[쌍선형 형식]]을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
** 임의의 <math>u,v,w\in V</math>에 대하여, <math>Q(u+v+w)-Q(u+w)-Q(v+w)-Q(u+v)+Q(u)+Q(v)+Q(w)=0</math>
** 임의의 <math>a,b\in K</math> 및 <math>u,v\in V</math>에 대하여, <math>Q(au+bv)-a^2Q(u)-b^2Q(v)-ab(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))=0</math>
이 경우, <math>B</math>를 <math>Q</math>의 '''연관 쌍선형 형식'''({{llang|en|associated bilinear form}})이라고 한다.<ref name="Wilson"/>{{rp|54}} 연관 쌍선형 형식은 항상 [[대칭 쌍선형 형식]]이며, 만약 <math>\operatorname{char}K=2</math>라면 이는 추가로 [[교대 쌍선형 형식]]이다.<ref name="Wilson"/>{{rp|54}}

흔히 다루어지는 경우는 <math>K</math>는 [[체 (수학)|체]]이거나 [[대수적 정수환]]이며, <math>V</math>는 [[자유 가군]]인 경우다.

같은 [[가환환]] <math>K</math> 위에 두 [[가군]] <math>V</math>, <math>V'</math>이 존재하고, 그 위에 각각 이차 형식 <math>Q</math>, <math>Q'</math>이 존재한다고 하자. <math>Q</math>와 <math>Q'</math> 사이의 '''동치'''({{llang|en|equivalence}}) <math>i</math>는 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>i\colon V\to V'</math>이다.
* <math>i\colon V\to V'</math>는 가군의 [[동형]]이다.
* <math>Q'\circ i=Q</math>이다.
두 이차 형식 사이에 동치가 존재한다면, 두 이차 형식이 서로 '''동치'''({{llang|en|equivalent}})라고 한다.

=== 비퇴화 이차 형식 ===
가환환 <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>V</math> 위의 이차 형식 <math>Q</math>의 연관 쌍선형 형식이 <math>B</math>라고 하자. <math>Q</math>의 '''등방성 벡터'''(等方性vector, {{llang|en|isotropic vector}})는 <math>Q(v)=0</math>인 원소 <math>v\in V</math>이다.<ref name="Wilson"/>{{rp|58, §3.4.7}} <math>Q</math>의 '''근기'''({{llang|en|radical}}) <math>\operatorname{rad}Q</math>는 <math>B</math>의 근기
:<math>\operatorname{rad}B=\{v\in V\colon\forall u\in V\colon B(u,v)=0\}=\{v\in V\colon\forall u\in V\colon Q(u+v)=Q(u)+Q(v)\}</math>
에 속하는 등방성 벡터의 집합이다.<ref name="Wilson"/>{{rp|58, §3.4.7}}
:<math>\operatorname{rad}Q=\{v\in\operatorname{rad}B\colon Q(v)=0\}=\{v\in V\colon\forall u\in V\colon Q(u+v)=Q(u)\}</math>
이는 <math>V</math>의 부분 가군이자 <math>\operatorname{rad}B</math>의 부분 가군이다. 이는 임의의 <math>u,v\in\operatorname{rad}B</math>에 대하여
:<math>Q(u+v)=Q(u)+Q(v)+B(u,v)=Q(u)+Q(v)</math>
이기 때문이다.

가환환 <math>K</math> 위의 가군 <math>V</math> 위의 이차 형식 <math>Q</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''비퇴화 이차 형식'''이라고 한다.<ref name="HM">{{서적 인용|제목=Quadratic mappings and Clifford algebras|url=https://archive.org/details/quadraticmapping0000helm|이름=Jacques|성=Helmstetter|이름2=Artibano|성2=Micali|doi=10.1007/978-3-7643-8606-1|isbn=978-3-7643-8605-4|날짜=2008|출판사=Birkhäuser|언어=en}}</ref>{{rp|59–60, §2.3}}
* 연관 대칭 쌍선형 형식 <math>B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)</math>이 [[비퇴화 쌍선형 형식]]이다. 즉, <math>B</math>로부터 정의되는 사상 <math>V\to\hom_K(V,K)</math>, <math>u\mapsto B(u,-)</math>이 가군의 [[동형 사상]]이다.

<math>K</math>가 체이고, <math>V</math>가 그 위의 유한 차원 [[벡터 공간]]이라고 하자. 그렇다면
:<math>\operatorname{rad}Q\subseteq\operatorname{rad}B</math>
의 [[여차원]]을 생각할 수 있다. 만약 <math>K</math>의 표수가 2가 아니라면, 항상 <math>\operatorname{rad}Q=\operatorname{rad}B</math>이다. 만약 <math>K</math>가 표수 2의 [[완전체]]라면, 여차원은 0 또는 1이다. 만약 <math>\operatorname{char}K=2</math>이며, [[완전체]]가 아니라면, 여차원은 2 이상일 수 있다.
{{증명}}
만약 <math>\operatorname{char}K\ne2</math>이며, <math>v\in\operatorname{rad}B</math>라면, <math>Q(v)=B(v,v)/2=0</math>이므로 <math>v\in\operatorname{rad}Q</math>이다.

이제, <math>K</math>가 표수 2의 [[완전체]]라고 가정하자. 그렇다면, <math>K</math> 위에 스칼라배
:<math>a\cdot b=a^2b\qquad(\forall a,b\in K)</math>
를 주면 <math>K</math>-[[벡터 공간]]을 이룬다. 또한, <math>x\mapsto x^2</math>는 <math>K</math> 위의 [[전사 함수]]이므로, 이 벡터 공간의 차원은 1이다. 임의의 <math>a,b\in K</math> 및 <math>u,v\in\operatorname{rad}B</math>에 대하여,
:<math>Q(au+bv)=a^2Q(u)+b^2Q(v)+abB(u,v)=a^2Q(u)+b^2Q(v)</math>
이다. 즉,
:<math>Q|_{\operatorname{rad}B}\colon\operatorname{rad}B\to K</math>
는 (<math>K</math>를 위에서 정의한 벡터 공간으로 여겼을 때) <math>K</math>-[[선형 변환]]을 이루며, 그 [[핵 (수학)|핵]]은
:<math>\ker(Q|_{\operatorname{rad}B})=\operatorname{rad}Q</math>
이다. 특히,
:<math>\dim_K(\operatorname{rad}B/\operatorname{rad}Q)\le1</math>
이다.

여차원이 2 이상인 이차 형식은 다음과 같이 구성할 수 있다. 임의의 표수 2의 비완전체 <math>K</math> 속에서, 제곱이 아닌 (특히, 0이 아닌) 수 <math>a</math>를 고르자. (예를 들어, <math>K=\mathbb F_2(t)</math>, <math>a=t</math>로 잡을 수 있다.) 그렇다면, <math>K^2</math> 위의 이차 형식
:<math>x^2+ay^2</math>
의 근기는 <math>\{0\}</math>이지만, 그 연관 쌍선형 형식 <math>B=0</math>의 근기는 <math>K^2</math>이다.
{{증명 끝}}

만약 <math>Q</math>의 근기가 <math>\{0\}</math>이라면, <math>Q</math>를 '''비특이 이차 형식'''(非特異二次形式, {{llang|en|nonsingular quadratic form}})이라고 한다.<ref name="Wilson"/>{{rp|58, §3.4.7}} 만약 <math>Q</math>의 연관 쌍선형 형식 <math>B</math>가 [[비퇴화 쌍선형 형식]]이라면 (즉, <math>B</math>의 근기가 <math>\{0\}</math>이라면), <math>Q</math>를 '''비퇴화 이차 형식'''(非退化二次形式, {{llang|en|nondegenerate quadratic form}})이라고 한다.<ref name="Wilson"/>{{rp|58, §3.4.7}} 만약 <math>\operatorname{char}K\ne2</math>라면 비특이 이차 형식의 개념과 비퇴화 이차 형식의 개념이 일치하지만, <math>\operatorname{char}K=2</math>일 경우 퇴화 비특이 이차 형식이 존재한다. <math>K</math>가 [[완전체]]인 경우, 이는
:<math>\dim_K\operatorname{rad}B=1</math>
:<math>\dim_K\operatorname{rad}Q=0</math>
인 경우이다.

=== 정부호성 ===
[[순서체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 이차 형식 <math>Q</math>에 대하여, 다음과 같은 용어들을 정의한다.
* '''양의 정부호 이차 형식'''(陽의定符號二次形式, {{llang|en|positive-definite quadratic form}}): 모든 <math>v\in V\setminus\{0\}</math>에 대하여, <math>Q(v)>0</math>이다.
* '''음의 정부호 이차 형식'''(陰의定符號二次形式, {{llang|en|negative-definite quadratic form}}): 모든 <math>v\in V\setminus\{0\}</math>에 대하여, <math>Q(v)<0</math>이다.
* '''양의 준정부호 이차 형식'''(陽의準定符號二次形式, {{llang|en|positive-semidefinite quadratic form}}): 모든 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>Q(v)\ge0</math>이다.
* '''음의 준정부호  이차 형식'''(陰의準定符號二次形式, {{llang|en|negative-semidefinite quadratic form}}): 모든 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>Q(v)\le0</math>이다.
* '''부정부호 이차 형식'''(不定符號二次形式, {{llang|en|indefinite quadratic form}}): 양의 정부호 이차 형식이 아니며, 음의 정부호 이차 형식도 아니다.

=== 이차 공간 ===
가환환 <math>R</math> 위의 '''이차 공간'''(二次空間, {{llang|en|quadratic space}}) <math>(M,Q)</math>은 <math>R</math> 위의 [[가군]] <math>M</math>과 그 위의 이차 형식 <math>Q\colon M\to R</math>의 순서쌍이다.

<math>R</math> 위의 두 이차 공간 <math>(M,Q)</math>, <math>(M',Q')</math> 사이의 '''사상'''({{llang|en|morphism of quadratic spaces}})은 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>f\colon M\to M'</math>이다.
* <math>f\colon M\to M'</math>은 <math>R</math>-[[가군]]의 [[가군 준동형]]이다.
* <math>Q'\circ f=Q</math>이다.
[[단사 함수]]인 이차 공간 사상을 이차 공간의 '''매장'''({{llang|en|embedding}})이라고 한다. 이차 공간의 매장 <math>\iota\colon(M,Q)\to(M',Q')</math>이 주어졌을 때, 만약 <math>\operatorname{coker}\iota=M'/\iota(M)</math>이 [[자유 가군]]이라면, <math>\iota</math>를 '''원시 매장'''({{llang|en|primitive embedding}})이라고 한다.

== 성질 ==
=== 비트 소거 정리 ===
임의의 표수의 체 <math>K</math> 위의 이차 공간 <math>(V_1,Q_1)</math>, <math>(V_2,Q_2)</math>, <math>(V_3,Q_3)</math>이 주어졌다고 하자.
'''비트 소거 정리'''({{llang|en|Witt cancellation theorem}})에 따르면, 만약 <math>(V_1,Q_1)\oplus(V_3,Q_3)\cong(V_2,Q_2)\oplus(V_3,Q_3)</math>이라면, <math>(V_1,Q_1)\cong(V_2,Q_2)</math>이다.

=== 쌍선형 형식과의 관계 ===
[[가환환]] <math>K</math>에서 2가 [[가역원]]일 경우 (예를 들어, <math>K</math>가 [[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]]일 경우), <math>K</math>-[[가군]] <math>V</math> 위의 이차 형식은 <math>V</math> 위의 [[대칭 쌍선형 형식]]과 표준적으로 [[일대일 대응]]한다. 구체적으로, 이차 형식 <math>Q</math>의 연관 쌍선형 형식
:<math>B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)</math>
이 주어졌다면, 이로부터 원래 이차 형식을 다음과 같이 되찾을 수 있다.
:<math>Q(v)=\frac12B(v,v)</math>
그러나 만약 <math>K</math>에서 2가 [[가역원]]이 아니라면 이는 일반적으로 성립하지 않는다.

보다 일반적으로, 임의의 가환환 <math>K</math> 위의 가군 <math>V</math> 및 <math>\epsilon\in\{\pm1\}\subseteq K</math>에 대하여, 2차 [[순환군]] <math>\mathbb Z/2=\langle t|t^2=1\rangle</math>이 [[쌍선형 형식]]의 공간 <math>\hom_K(V\otimes_KV;K)</math> 위에 다음과 같이 작용한다.
:<math>(t\cdot B)(u,v)=\epsilon B(v,u)</math>
이에 대하여, <math>\hom_K(V\otimes_KV;K)</math>는 [[군환]] <math>\mathbb Z[\mathbb Z/2]</math> 위의 [[가군]]을 이룬다. 이 계수에 대하여 [[군 호몰로지]] 및 [[군 코호몰로지]]를 정의할 수 있다. 0차 [[군 코호몰로지]]는 [[군의 작용]]의 불변량으로 구성되며, 만약 <math>\epsilon=+1</math>이라면 이는 [[대칭 쌍선형 형식]]의 공간과 같다.
:<math>\operatorname H^0\left(\mathbb Z/2;\hom_K(V\otimes_KV;K)\right)=\left(\hom_K(V\otimes_KV;K)\right)^{\mathbb Z/2}=\left\{B\in\hom_K(V\otimes_KV;K)\colon B(u,v)=\epsilon B(v,u)\qquad\forall u,v\in V\right\}</math>
0차 [[군 호몰로지]]는 [[군의 작용]]의 쌍대불변량으로 구성된다.
:<math>\operatorname H_0\left(\mathbb Z/2;\hom_K(V\otimes_KV;K)\right)=\left(\hom_K(V\otimes_KV;K)\right)_{\mathbb Z/2}=\frac{\hom_K(V\otimes_KV;K)}{
\{B-t\cdot B\colon B\in\hom_K(V\otimes_KV;K)\}}</math>
만약 <math>\epsilon=-1</math>일 경우, 이는 <math>M</math> 위의 이차 형식의 공간 <math>\operatorname{QForms}(M;K)</math>과 다음과 같이 동형이다.
:<math>[B(-,-)]\mapsto \left(Q_B\colon (u\in V)\mapsto B(u,u)\right)</math>
다시 말해, 다음과 같은 <math>K</math>-[[가군]]의 [[완전열]]이 존재한다.
:<math>0\to \operatorname H^0\left(\mathbb Z/2;\hom_K(V\otimes_KV;K)\right)\to \hom_K(V\otimes_KV;K)\xrightarrow{1-t}\hom_K(V\otimes_KV;K)\to \operatorname H_0\left(\mathbb Z/2;\hom_K(V\otimes_KV;K)\right)\to 0</math>

=== 클리퍼드 대수와의 관계 ===
{{본문|클리퍼드 대수}}
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>V</math> 위의 이차 형식 <math>Q</math>가 주어졌을 때, 이 데이터로부터 '''[[클리퍼드 대수]]''' <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>를 정의할 수 있다. 이는 <math>K</math>-[[단위 결합 대수]]이다.

클리퍼드 대수는 표준적인 [[단사 함수|단사]] <math>K</math>-[[선형 변환]]
:<math>\iota_0\colon K\hookrightarrow\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>
:<math>\iota_1\colon V\hookrightarrow\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>
를 갖는다.

이차 형식의 클리퍼드 대수는 이차 형식의 불변량을 이룬다. 비퇴화 이차 형식의 클리퍼드 대수는 항상 [[등급 아즈마야 대수]]를 이루며, 따라서 [[브라우어-월 군]] <math>\operatorname{BW}(K)</math>의 원소를 정의한다. 이 역시 비퇴화 이차 형식의 불변량으로 생각할 수 있다.

=== 대각화와 비트 분해 정리 ===
체 <math>K</math> 위의 유한 차원 벡터 공간 <math>K^n=\operatorname{Span}_K\{x_1,\dots,x_n\}</math> 위의 이차 형식 <math>Q</math>가
:<math>\sum_{i=1}^na_ix_i^2\qquad(a_1,\dots,a_n\in K)</math>
의 꼴의 이차 형식과 동치라면, <math>Q</math>를 '''대각화 가능 이차 형식'''(對角化可能二次形式, {{llang|en|diagonalizable quadratic form}})이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 모든 이차 형식은 대각화 가능 이차 형식이다. 그러나 이는 표수 2의 경우 성립하지 않는다. 구체적으로, 대각화 [[알고리즘]]은 다음과 같은 [[그람-슈미트 과정]]의 일종이다. 표수가 2가 아닌 체 <math>K</math> 위의 유한 차원 벡터 공간 <math>V</math> 위의 이차 형식 <math>Q</math>가 주어졌을 때, <math>Q=0</math>일 경우 이미 대각화돼 있으므로 <math>Q\ne0</math>를 가정할 수 있다. 이 경우 <math>Q(v)\ne0</math>인 <math>v\in V</math>를 고를 수 있으며, 이 경우
:<math>V=\operatorname{Span}\{v\}\oplus(\operatorname{Span}\{v\})^\perp</math>
:<math>u=\underbrace{B(u,v)v/B(v,v)}_{\operatorname{Span}\{v\}}+\underbrace{\left(u-B(u,v)v/B(v,v)\right)}_{(\operatorname{Span}\{v\})^\perp}\qquad\forall u\in V</math>
이다. 따라서, 마찬가지로 <math>Q(v')\ne0</math>인 <math>v'\in (\operatorname{Span}\{v\})^\perp</math>를 골라 위 과정을 재귀적으로 반복할 수 있다.

'''비트 분해 정리'''(Witt分解定理, {{llang|en|Witt decomposition theorem}})에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 <math>K</math> 위의 이차 공간 <math>(V,Q)</math>는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.<ref name="Lam"/>{{rp|12, Theorem 4.1}}
:<math>(V,Q)=(V_0,0)\oplus(V_1,Q_1)\oplus(V_2,Q_2)</math>
여기서 각 성분은 다음과 같다.
* <math>(V_0,0)</math>은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
* <math>(V_1,Q_1)</math>은 '''비등방성 이차 공간'''({{llang|en|anisotropic quadratic space}})이다. 즉, <math>V_1</math> 속에서 <math>Q_1(v)=0</math>인 벡터 <math>v\in V_1</math>은 <math>v=0</math>뿐이다. 특히, <math>Q_1</math>은 비퇴화 이차 형식이다.
* <math>(V_2,Q_2)</math>는 '''분해 이차 공간'''({{llang|en|split quadratic space}})이다. 즉, <math>Q_2</math>는 비퇴화 이차 형식이며, <math>\dim_KV_2=2n</math>는 짝수이며, <math>V_2</math> 속에서 <math>Q_2|_W=0</math>인 <math>n</math>차원 부분 공간 <math>W\subseteq V_2</math>이 존재한다.
이 경우 <math>(V_1,Q_1)</math>을 <math>(V,Q)</math>의 '''핵심'''({{llang|en|core}})이라고 한다. 또한, <math>\dim_K(V_1\oplus V_2)</math>를 <math>Q</math>의 '''계수'''({{llang|en|rank}})라고 하며, <math>(\dim_KV_2)/2</math>를 <math>Q</math>의 '''비트 지표'''({{llang|en|Witt index}})라고 한다.<ref name="Wilson"/>{{rp|58}} 만약 <math>Q</math>가 비퇴화 이차 형식이라면, <math>Q|_W=0</math>이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 [[부분 순서 집합]]에서, [[극대 원소]]들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

== 분류 ==
이차 형식의 동치에 대한 분류는 [[수론]]과 [[선형대수학]]에서 매우 중요한 문제이다.

=== 복소수 이차 형식의 분류 ===
<math>K</math>가 [[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[이차 폐체]]({{llang|en|quadratically closed field}}, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, <math>K</math>가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 [[대수적 폐포]]인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 <math>K^n</math> 위의 이차 형식은 그 계수 <math>r</math>에 따라서 완전히 분류된다. 즉, 모든 이차 형식 <math>Q</math>은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.
:<math>z_1^2+z_2^2+\cdots+z_r^2\qquad(1\le r\le n)</math>
이 경우, 이차 형식은 계수 <math>r</math>에 의하여 완전히 분류된다.

=== 실수 이차 형식의 분류 ===
<math>(K,\le)</math>가 [[에우클레이데스 체]]({{llang|en|Euclidean field}}, 모든 양수가 제곱근을 갖는 [[순서체]])라고 하자. (예를 들어, <math>K</math>가 [[실수체]] <math>\mathbb R</math>이거나 보다 일반적으로 [[실폐체]]일 경우 이에 해당된다.)

유한 차원 실수 벡터 공간 <math>K^n</math> 위의 이차 형식은 그 계수 및 부호수 <math>(s,k)</math>에 따라서 완전히 분류된다 (<math>1\le s\le k\le n</math>). 즉, 모든 이차 형식 <math>Q</math>은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.
:<math>x_1^2+x_2^2+\cdots+x_s^2-x_{s+1}^2-\cdots-x_r^2\qquad(1\le s\le k\le n)</math>
구체적으로, ''n'' 변수의 <math>K</math> 계수 이차 형식 <math>Q(x_1,\dots,x_n)</math>은 <math>n\times n</math> [[대칭 행렬]] <math>M</math>으로 나타낼 수 있다.
:<math>Q(x_1,\dots,x_n)=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}M\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}</math>
<math>Q</math>의 '''부호수'''({{llang|en|signature}}) <math>(n_+,n_0,n_-)</math>는 <math>M</math>의 양의 [[고윳값]]의 수 <math>n_+\in\mathbb N</math>, 고윳값 0의 중복도 <math>n_0\in\mathbb N</math>, 음의 고윳값의 수 <math>n_-\in\mathbb N</math>의 순서쌍이다. 물론
:<math>n_++n_0+n_-=n</math>
이다. 여기서, <math>n_+</math> 등은 고윳값의 중복도를 고려하여 센다. 그렇다면 <math>(n_+,n_0,n_-)</math>는 실수 계수 이차 형식의 완전한 불변량이다. 즉, 두 실수 계수 이차 형식이 서로 동치일 [[필요충분조건]]은 두 이차 형식의 부호수가 같은 것이다. 이를 '''실베스터 관성 법칙'''(Sylvester慣性法則, {{llang|en|Sylvester’s law of inertia}})이라고 한다.

=== 국소체 위의 이차 형식의 분류 ===
[[p진수체]] 위의 이차 형식은 그 계수와 [[하세-비트 불변량]]에 따라 완전히 분류된다. 마찬가지로 다른 [[국소체]] 위의 이차 형식도 완전히 분류되었다.

=== 대역체 위의 이차 형식의 분류 ===
{{본문|하세-민코프스키 정리}}
'''[[하세-민코프스키 정리]]'''에 따르면, [[대역체]] <math>K</math> 위의 두 이차 형식 <math>Q</math>, <math>Q'</math>이 동치일 [[필요충분조건]]은 다음과 같다.
* <math>K</math>의 완비화인 모든 [[국소체]] <math>k</math>에 대하여, <math>Q_k</math>와 <math>Q'_k</math>는 서로 동치이다. 여기서 <math>Q_k</math>는 <math>Q</math>를 <math>k\supset K</math> 계수로 간주한, <math>k</math> 위의 이차 형식이다.

=== 홀수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류 ===
[[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[유한체]] <math>\mathbb F_q</math> 위의 벡터 공간 <math>\mathbb F_q^n</math> 위의 이차 형식의 동치류는 총 <math>2n+1</math>개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.

이들은 구체적으로 다음과 같다. <math>a\in\mathbb F_q</math>가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.
:<math>\nexists b\in\mathbb F_q\colon b^2=a</math>
이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 [[대칭 쌍선형 형식]])은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.
:<math>Q_1^{(n)}=\operatorname{diag}(1,\dots,1,1)</math>
:<math>Q_2^{(n)}=\operatorname{diag}(1,\dots,1,a)</math>
즉, 다음과 같은 꼴이다.
:<math>Q_1^{(n)}(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2</math>
:<math>Q_2^{(n)}(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots+ax_n^2</math>
만약 <math>n</math>이 홀수라면, <math>Q_2^{(n)}</math>는 <math>\alpha Q_1^{(n)}</math>과 동치이다.<ref name="Wilson"/>{{rp|69}} 이 경우 비트 지표는 <math>Q_1^{(n)}</math>, <math>Q_2^{(n)}</math> 둘 다 <math>(n-1)/2</math>이다.

만약 <math>n</math>이 짝수라면, <math>Q_1^{(n)}</math>은 <math>\alpha Q_1^{(n)}</math>과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.<ref name="Wilson"/>{{rp|59}}
* <math>n\equiv2\pmod4</math>이며 <math>q\equiv3\pmod4</math>인 경우, <math>Q_1^{(n)}</math>의 비트 지표는 <math>n/2-1</math>이며 <math>Q_2^{(n)}</math>의 비트 지표는 <math>n/2</math>이다.
* <math>n\equiv0\pmod4</math>이거나 또는 <math>q\equiv1\pmod4</math>인 경우, <math>Q_1^{(n)}</math>의 비트 지표는 <math>n/2</math>이며 <math>Q_2^{(n)}</math>의 비트 지표는 <math>n/2-1</math>이다.
이 경우, 비트 지표가 <math>n/2</math>인 경우를 '''플러스형'''({{llang|en|plus-type}}), <math>n/2-1</math>인 경우를 '''마이너스형'''({{llang|en|minus-type}})이라고 한다.<ref name="Wilson"/>{{rp|59}}

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.
:<math>\operatorname{diag}(1,\dots,1,1,0,\dots,0)</math>
:<math>\operatorname{diag}(1,\dots,1,a,0,\dots,0)</math>

홀수 차수 유한체 <math>\mathbb F_q</math>의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 <math>q</math>에 따라 구체적으로 다음과 같다.<ref name="Lam">{{서적 인용 | title=Introduction to quadratic forms over fields | volume=67 | series=Graduate Studies in Mathematics | first=Tsit-Yuen | last=Lam | 저자링크=람짓윈 | publisher=American Mathematical Society | 날짜=2005 | isbn=0-8218-1095-2 | zbl=1068.11023 | mr = 2104929  | url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-67 | 언어=en}}</ref>{{rp|37}}
:<math>W(\mathbb F_q)\cong\begin{cases}\mathbb Z/(4)&q\equiv3\pmod4\\\mathbb F_2[\mathbb F_q^\times/(\mathbb F_q^\times)^2]&q\equiv1\pmod4\end{cases}</math>
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
:{| class=wikitable style="text-align: center"
|+<math>q\equiv3\pmod4</math>인 경우
! <math>\mathbb Z/(4)</math>
|| 0 || 1 || 2 || 3
|-
! <math>W(\mathbb F_q)</math>
|| <math>Q_1^{(0)}</math> || <math>Q_1^{(1)}</math> || <math>Q_1^{(2)}</math> || <math>Q_2^{(1)}</math>
|}
:{| class=wikitable style="text-align: center"
|+<math>q\equiv1\pmod4</math>인 경우
! <math>\mathbb F_2[x]/(x^2)</math>
|| 0 || 1 || ''x'' || 1+''x''
|-
! <math>W(\mathbb F_q)</math>
|| <math>Q_1^{(0)}</math> || <math>Q_1^{(1)}</math> || <math>Q_2^{(2)}</math> || <math>Q_2^{(1)}</math>
|}

=== 짝수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류 ===
[[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[유한체]] <math>\mathbb F_q</math> 위의 벡터 공간 <math>\mathbb F_q^n</math> 위의 이차 형식의 동치류는 총 <math>\lceil(3n+1)/2\rceil</math>개가 있으며, 이들 가운데 비특이 이차 형식인 것은 <math>n</math>이 양의 짝수일 경우 2개, 홀수이거나 0일 경우 1개이다.<ref name="Wilson"/>{{rp|58–59, §3.4.7}} <math>n</math>이 홀수라면 비특이 이차 형식은 퇴화 이차 형식이지만, <math>n</math>이 짝수라면 비특이 이차 형식은 모두 비퇴화 이차 형식이다.

구체적으로, <math>n</math>이 홀수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 블록 대각 행렬과 동치이다.
:<math>\operatorname{diag}\left(1,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right)</math>
즉, 다음과 같은 꼴이다.
:<math>Q(x)=x_1^2+x_2x_3+x_4x_5+\cdots+x_{n-1}x_n</math>
이 경우 <math>Q</math>의 연관 [[대칭 쌍선형 형식]]은
:<math>B=\operatorname{diag}\left(0,\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\right)</math>
이다. 즉, <math>\operatorname{rad}B=\operatorname{Span}_{\mathbb F_q}\{x_1\}</math>이다.

<math>a\in\mathbb F_q</math>가 <math>x^2+x+a=0</math>의 해가 존재하지 않는 임의의 수라고 하자. (이러한 수는 항상 적어도 하나 이상 존재한다.) <math>n</math>이 양의 짝수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 두 블록 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 동치이다.<ref name="Wilson"/>{{rp|58–59, §3.4.7}}
:<math>\operatorname{diag}\left(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right)</math>
:<math>\operatorname{diag}\left(\begin{pmatrix}a&1\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right)</math>
즉, 각각 다음과 같은 꼴이다.
:<math>Q_+(x)=x_1x_2+x_3x_4+\cdots+x_{n-1}x_n</math>
:<math>Q_-(x)=ax_1^2+x_2^2+x_1x_2+x_3x_4+\cdots+\cdots+x_{n-1}x_n</math>
이 경우 <math>Q_+</math>를 '''플러스형'''({{llang|en|plus-type}}), <math>Q_-</math>를 '''마이너스형'''({{llang|en|minus-type}})이라고 한다.<ref name="Wilson"/>{{rp|59}} <math>Q_+</math>의 비트 지표는 <math>n/2</math>이며, <math>Q_-</math>의 비트 지표는 <math>n/2-1</math>이다.

비트 분해 정리에 따라, 모든 이차 형식은 비특이 이차 형식과 0의 직합으로 나타내어진다.

=== 정수환 위의 이차 형식의 분류 ===
[[정수환]] <math>\mathbb Z</math>이나 다른 [[대수적 정수환]]  위의 유한 차원 [[자유 가군]] (=[[유한 생성 아벨 군|유한 생성]] [[자유 아벨 군]]) 위의 이차 형식의 경우 [[하세-민코프스키 정리]]가 성립하지 않으며, 이들의 분류는 일반적으로 어렵다.

정수 계수 부정부호 형식의 경우, 마르틴 아이클러({{llang|de|Martin Eichler}})는 [[스피너 종수]]({{llang|en|spinor genus}})를 사용하여 완전히 분류하였다.<ref name="ConwaySloane"/>{{rp|§15.1}} 정수 계수 정부호 형식의 경우는 [[유클리드 공간]] 속의 [[격자 (군론)|격자]]에 대응하며, 이는 낮은 차원(대략 24차원 이하)에서는 [[에른스트 비트]]와 마르틴 크네저({{llang|de|Martin Kneser}}), 한스폴커 니마이어({{llang|de|Hans-Volker Niemeier}})가 개발한 접착법({{llang|en|gluing method}})을 사용하여 분류할 수 있다.<ref name="ConwaySloane"/>{{rp|§15.1}} 이보다 더 큰 차원에서의 정부호 형식의 분류는 불가능하다고 추측된다.<ref name="ConwaySloane"/>{{rp|§15.1}}

정수 계수 이차 형식의 경우, 동치보다 더 거친 '''종수'''(種數, {{llang|en|genus}})라는 동치 관계가 존재한다. <math>\mathbb Z^n</math> 위의 두 이차 형식 <math>Q</math>, <math>Q'</math>이 다음 두 조건을 만족시키면, 같은 '''종수'''에 속한다고 한다.
* <math>Q</math>와 <math>Q'</math>는 실수 계수 위에서 서로 동치이다.
* 모든 [[소수 (수론)|소수]] <math>p=2,3,5,\dots</math>에 대하여, [[p진 정수환]] <math>\mathbb Z_p</math>를 정의한다면, <math>Q</math>와 <math>Q'</math>는 <math>\mathbb Z_p</math> 계수 위에서 서로 동치이다.
즉, 이는 [[하세-민코프스키 정리]]와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.

주어진 종수에 속한 모든 이차 형식들의 (적절한 무게를 부여한) 수는 '''[[스미스-민코프스키-지겔 질량 공식]]'''에 의하여 주어진다.

== 응용 ==
이차 형식의 이론은 다른 여러 수학 분야와 밀접한 관계를 가진다.

=== 대수기하학 ===
임의의 0이 아닌 n변수 이차 형식은 [[사영 공간]]에 n-2차원 [[이차 초곡면]]을 정의한다. 이런 관점에서, 3변수 2차형식은 [[원뿔 곡선]]에 대응된다.

=== 모듈러 형식 ===
임의의 이차 형식에 대하여 [[세타 함수]]를 정의할 수 있으며, 이는 [[모듈러 형식]]을 이룬다. 이를 일반화하여 [[힐베르트 모듈러 형식]] · [[지겔 모듈러 형식]] · [[야코비 형식]] 등의 이론이 이차 형식 이론과 깊은 관계를 가진다.

=== 격자 이론 ===
정수 계수의 이차 형식은 유클리드 공간 속의 [[격자 (군론)|격자]]의 이론과 밀접한 관계를 가진다. 이를 통해 이차 형식 이론은 민코프스키의 수 기하학({{llang|en|geometry of numbers}})이나 [[코드 이론]]({{llang|en|coding theory}}), [[암호학]] 등에 응용된다.

== 역사 ==
=== 고대 수학에서의 이차 형식 ===
특수한 정수 계수 이차 형식의 연구는 고대 수학에서 이미 등장한다. 한 예는 정수 계수 2변수 이차 형식 <math>x^2+y^2</math>의 [[상 (수학)|상]]을 계산하는 문제로, 이는 [[피타고라스 수]]에 관련된다. 이 문제는 1640년에 [[피에르 드 페르마]]가 [[페르마 두 제곱수 정리]]로서 해결하였다.

기원후 7세기에 인도의 수학자 [[브라마굽타]]는 [[펠 방정식]]의 해를 제시하였다. 이 역시 특수한 2변수 이차 형식 <math>x^2-ny^2</math>을 연구하는 문제이다.

=== 19세기 이차 형식 이론 ===
1801년에 [[카를 프리드리히 가우스]]는 《산술 연구》({{llang|en|Disquisitiones Arithmeticae}})에서 정수 계수 2변수 이차 형식을 체계적으로 연구하였다.
1852년에 [[제임스 조지프 실베스터]]는 실수 계수 이차 형식을 실베스터 관성 법칙을 통해 완전히 분류하였다.<ref name=syl852>{{저널 인용|성=Sylvester|이름=James Joseph |저자링크=제임스 조지프 실베스터 | title=A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares | journal=Philosophical Magazine (series 4)| volume=4 | issue=23 | pages=138–142 | 날짜=1852 |  url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/sylv/inertia.pdf | doi= 10.1080/14786445208647087 | 언어=en}}</ref> 이 정리의 어원은 실베스터가 오늘날 부호수로 불리는 개념을 "관성"({{llang|en|[[:wiktionary:ko:inertia|inertia]]}})이라고 불렀기 때문이다.

1867년에 [[헨리 존 스티븐 스미스]]는 [[스미스-민코프스키-지겔 질량 공식]]을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다.<ref>{{저널 인용|title=On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates|first= H. J. Stephen|last= Smith |저자링크=헨리 존 스티븐 스미스|journal= Proceedings of the Royal Society of London|volume= 16|year=1867 |pages= 197–208 |jstor=112491|doi=10.1098/rspl.1867.0036 |jfm=01.0054.03|언어=en}}</ref> 1885년에 [[헤르만 민코프스키]]는 박사 학위 논문<ref>{{저널 인용|이름=Hermann|성=Minkowski|저자링크=헤르만 민코프스키|제목=Untersuchungen über quadratische Formen. I. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält|저널=Acta Mathematica|권=7|날짜=1885|쪽=201–258|doi=10.1007/BF02402203|issn=0001-5962|jfm=17.0159.01|언어=de}}</ref>에서 이차 형식의 종수({{llang|en|genus}})의 개념을 도입하였고, [[스미스-민코프스키-지겔 질량 공식]]을 재발견하였다.

=== 20세기~21세기 이차 형식 이론 ===
[[헬무트 하세]](1898~1979)는 [[쿠르트 헨젤]]의 [[p진수]]를 유리수 계수 이차 형식의 분류에 도입하여, [[하세-민코프스키 정리]]를 완성하였다. [[카를 루트비히 지겔]](1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 [[스미스-민코프스키-지겔 질량 공식]]을 완성하였고,<ref name="Siegel1">{{저널 인용|title= Über die analytische Theorie der quadratischen Formen |first=Carl Ludwig |last=Siegel |authorlink=카를 루트비히 지겔|journal=Annals of Mathematics. Second Series|volume=36|issue= 3|날짜= 1935-07|pages= 527–606 |jstor=1968644|doi= 10.2307/1968644|jfm=61.0140.01|zbl=0012.19703|언어=de}}</ref> 이를 비롯한 세 편의 논문<ref name="Siegel1"/><ref name="Siegel2">{{저널 인용|title= Über die analytische Theorie der quadratischen Formen II |first=Carl Ludwig |last=Siegel |authorlink=카를 루트비히 지겔|journal=Annals of Mathematics. Second Series|volume=37|issue= 1|날짜= 1936-01|pages= 230–263 |jstor=1968694|doi= 10.2307/1968694 |언어=de}}</ref><ref name="Siegel3">{{저널 인용|title= Über die analytische Theorie der quadratischen Formen III |first=Carl Ludwig |last=Siegel |authorlink=카를 루트비히 지겔|journal=Annals of Mathematics. Second Series|volume=38|issue= 1|날짜= 1937-01|pages= 212–291 |jstor=1968520|doi= 10.2307/1968520  |언어=de}}</ref>에서 이차 형식의 해석적 이론을 제창하였다.
[[에른스트 비트]](1911~1991)는 1937년 [[하빌리타치온]] 논문<ref>{{저널 인용|이름=Ernst|성=Witt|저자링크=에른스트 비트|날짜=1937|제목=Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=1937|호=176|쪽= 31-44|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002173824|issn=0075-4102|doi= 10.1515/crll.1937.176.31|jfm=62.0106.02|zbl=0015.05701|언어=de}}</ref>에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 [[비트 환]]의 개념을 도입하였고, 이로서 이차 형식의 대수적 이론을 제창하였다.<ref>{{서적 인용 | 장=Martin Kneser’s work on quadratic forms and algebraic groups | 이름=R. | 성=Scharlau | 제목=Quadratic Forms—Algebra, Arithmetic, and Geometry: Algebraic and Arithmetic Theory of Qudratic Forms, December 13–19, 2007, Frutillar, Chile | 총서=Contemporary Mathematics | 권=493 | editor1-first = Ricardo |editor1-last=Baeza|editor2-first= Wai Kiu|editor2-last= Chan|editor3-first= Detlev W. |editor3-last=Hoffmann|editor4-first= Rainer|editor4-last= Schulze-Pillot | 출판사=American Mathematical Society | 장url= http://www.matha.mathematik.uni-dortmund.de/~scharlau/Research/preprints/scharlau_on_kneser.pdf | 쪽=339–357 | mr = 2537110 | isbn =978-0-8218-4648-3 | doi = 10.1090/conm/493 | url = http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=conm-493 | 날짜=2009 | 언어=en}}</ref>

마르틴 아이클러({{llang|de|Martin Eichler}}, 1912~1992)는 [[스피너 종수]]({{llang|en|spinor genus}})를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였으며,<ref name="ConwaySloane"/>{{rp|§15.1}} 마르틴 크네저({{llang|de|Martin Kneser}}, 1928~2004), 한스폴커 니마이어({{llang|de|Hans-Volker Niemeier}}, 1940~)는 접착법({{llang|en|gluing method}})을 사용하여  낮은 차원의 정부호 정수 계수 이차 형식의 분류를 완성하였다.<ref name="ConwaySloane">{{서적 인용 | zbl=0915.52003 | last=Conway | first=John Horton | 이름2=N. J. A. |성2=Sloane | 날짜=1999 | 제목=Sphere packings, lattices and groups | 판=3 | series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | volume=290 | publisher=Springer | isbn=0-387-98585-9 |언어=en |doi=10.1007/978-1-4757-6568-7|issn= 0072-7830}}</ref>{{rp|§15.1}} 현대의 이차 형식 이론은 [[이차 수체]]와 [[모듈러 형식]]의 이론과 밀접한 관계를 가지며, 현대 [[수론]]의 주요 분야로 성장하게 되었다.

== 같이 보기 ==
* [[삼차 형식]]
* [[판별식]]
* [[하세-민코프스키 정리]]
* [[이차 초곡면]]
* [[제곱 유군]]
* [[비트 환]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Conway | first=John Horton | authorlink= 존 호턴 콘웨이 | 이름2=Francis Y. C. | 성2=Fung | title=The sensual (quadratic) form | publisher=The Mathematical Association of America | series=Carus Mathematical Monographs | isbn=978-0-88385-030-5 | 날짜=1997 | url = http://www.maa.org/press/ebooks/the-sensual-quadratic-form | zbl = 0885.11002 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | first=J.W.S. | last=Cassels | 저자링크=존 윌리엄 스콧 캐셀스| title=Rational quadratic forms | series=London Mathematical Society Monographs | volume=13 | publisher=Academic Press | 날짜=1978 | isbn=0-12-163260-1 | zbl=0395.10029 | 언어=en}}
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* {{서적 인용 | first=John | last=Milnor | authorlink=존 밀너 | first2=Dale | last2=Husemoller | title=Symmetric bilinear forms | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete | volume=73 | publisher=Springer-Verlag | year=1973 | mr = 0506372 | zbl=0292.10016 | doi =  10.1007/978-3-642-88330-9 | isbn= 978-3-642-88332-3 |언어=en}}
* {{서적 인용 | last=O’Meara | first=O.T. | title=Introduction to quadratic forms | publisher=Springer-Verlag | isbn= 978-3-540-66564-9 | 날짜=2000 | series=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | volume=117  | zbl=0259.10018 | doi = 10.1007/978-3-642-62031-7 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Pfister | first=Albrecht | title=Quadratic forms with applications to algebraic geometry and topology | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | volume=106 | publisher=Cambridge University Press | 날짜=2001-02  | doi= 10.1017/CBO9780511526077 | isbn= 978-052146755-1 |zbl =0847.11014 |언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Shimura | first=Goro | 저자링크=시무라 고로 | title=Arithmetic of quadratic forms | series=Springer Monographs in Mathematics | issn=1439-7382 | volume=106 | publisher=Springer-Verlag | 날짜=1993 | isbn= 978-1-4419-1731-7  | doi=10.1007/978-1-4419-1732-4 | zbl = 1202.11026 | mr=2665139 | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr07.pdf|이름=Carl Ludwig|성=Siegel|저자링크=카를 루트비히 지겔|출판사=Tata Institute of Fundamental Research|위치=[[뭄바이]]|제목=Lectures on quadratic forms|날짜=1955|zbl=0248.10019|mr=0271028|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Quadratic and hermitian forms over rings|이름=Max-Albert|성=Knus|doi=10.1007/978-3-642-75401-2|isbn=978-3-642-75403-6|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|권=294|issn=0072-7830|날짜=1991|출판사=Springer-Verlag|zbl=0756.11008|mr=1096299|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=The algebraic and geometric theory of quadratic forms|날짜=2008|이름=Richard|성=Elman|이름2=Nikita|성2=Karpenko|이름3=Alexander|성3=Merkurjev|isbn=978-0-8218-4329-1|총서=Colloquium Publications|권=56|출판사=American Mathematical Society|url=http://bookstore.ams.org/coll-56|zbl=1165.11042|mr=2427530|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* {{웹 인용|url=http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~takuya/papers/quadratic.pdf|제목=二次形式、局所大域原理、テータ級数|저자=今野 拓也|출판사=[[규슈 대학]]|날짜=2006-07-10|언어=ja}}
* {{웹 인용|저자=김명환|url=http://www.math.snu.ac.kr/~mhkim/writing/w15.hwp|제목= 이차형식이론 연구의 동향과 전망|저널=Trends in Mathematics|출판사=[[KAIST]]|날짜=2001-01|언어=ko}}
* {{eom|title=Quadratic form}}
* {{eom|title=Binary quadratic form}}
* {{nlab|id=quadratic form|title=Quadratic form}}
* {{nlab|id=quadratic refinement|title=Quadratic refinement}}
* {{nlab|id=characteristic element of a bilinear form|title=Characteristic element of a bilinear form}}
* {{매스월드|id=QuadraticForm|title=Quadratic form}}
* {{매스월드|id=QuadraticFormRank|title=Quadratic form rank}}
* {{매스월드|id=QuadraticFormSignature|title=Quadratic form signature}}
* {{매스월드|id=SylvestersSignature|title=Sylvester's signature}}
* {{매스월드|id=p-Signature|title=p-signature}}
* {{매스월드|id=PositiveDefiniteQuadraticForm|title=Positive definite quadratic form}}
* {{매스월드|id=PositiveSemidefiniteQuadraticForm|title=Positive semidefinite quadratic form}}
* {{매스월드|id=IndefiniteQuadraticForm|title=Indefinite quadratic form}}
* {{수학노트|title= 대칭 겹선형 형식과 이차형식}}
* {{수학노트|title=유리계수 이차형식}}
* {{수학노트|title=정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)}}
* {{수학노트|title=정수계수 삼변수 이차형식(ternary integral quadratic forms)}}

{{전거 통제}}

[[분류:이차 형식| ]]
[[분류:선형대수학]]