이차변동성 문서 원본 보기

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'''이차변동성'''(quadratic variation)은 [[확률 과정|확률과정]]의 변동성을 나타내는 단위 중의 하나로, [[확률 과정|확률과정]] 및 [[브라운 운동]]의 분석에 쓰인다.

== 정의 ==
[[확률공간]] <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>에 대해 정의된 실수의 값을 갖는 [[확률 과정|확률과정]] <math>X_{t}</math>가 존재하며 첨수 <math>t</math>가 0 또는 양의 값을 갖는 첨수집합 <math>T</math>의 원소라고 가정할 경우, 다음과 같이 <math>X_{t}</math>의 이차변동성 과정 <math>[X_{t}]</math>를 정의할 수 있다.

:<math>[X]_t=\lim_{\Vert P\Vert\rightarrow 0}\sum_{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})^2</math>

여기서 <math>P</math>는 구간 <math>[0,t]</math>에 대한 [[분할]](partition)이다. 만약 <math>P</math>의 [[노름]]이 감소함에 따라 <math>X_{t}</math>가 확률적으로 수렴할 경우 이 [[극한값]]을 구할 수 있다. 

=== 이차교차변동성 ===
이차변동성의 개념을 좀 더 확장할 경우 다음과 같이 두 확률과정 <math>X_{t}, Y_{t}</math>의 '''이차교차변동성'''(quadratic cross-variance) 역시 구할 수 있다.

:<math> [X,Y]_t = \lim_{\Vert P\Vert \to 0}\sum_{k=1}^{n}\left(X_{t_k}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}}\right)</math>

이차교차변동성은 다음과 같이 이차변동성을 이용해 나타낼 수도 있다.

:<math>[X,Y]_t=\frac{1}{4}([X+Y]_t-[X-Y]_t).</math>
== 같이 보기 ==
* [[전변동]]
* [[유계 변동 함수]]

{{전거 통제}}
{{토막글|확률론}}

[[분류:확률미적분학]]
[[분류:확률론]]
[[분류:확률 과정]]