이중 장론 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[이론물리학]]에서 '''이중 장론'''(二重場論, {{llang|en|double field theory}}, DFT)은 [[끈 이론]]에서 유래하는 고전적 [[중력]] 이론의 일종이다.<ref name="AMN">{{저널 인용|제목=Double field theory: a pedagogical review | 이름=Gerardo | 성=Aldazabal | 이름2=Diego | 성2=Marqués | 이름3=Carmen | 성3=Núñez | arxiv=1305.1907 | 날짜=2013 | doi=10.1088/0264-9381/30/16/163001 | 저널=Classical and Quantum Gravity | 권=30 | 쪽=163001 | 언어=en}}</ref> 이 이론은 [[중력장]]과 [[미분 형식 전기역학|2차 미분 형식 게이지장]]을 포함하며, [[T-이중성]]을 만족시킨다. [[T-이중성]]을 만족시키기 위하여, <math>d</math>차원 시공간을 묘사하기 위하여 <math>2d</math>차원의 [[매끄러운 다양체]]를 사용한다.

== 전개 ==
=== 시공간 ===
일반적으로, 다음과 같은 데이터를 생각하자.
* <math>D</math>차원 [[실수 벡터 공간]] <math>V</math> 및 그 위의 [[비퇴화 이차 형식]] <math>\eta\colon V\to\mathbb R</math>
* 두 [[리 군]] <math>H\le G \le \operatorname{GL}(V;\mathbb R)</math>. 또한, 다음 가환 그림이 성립한다고 하자.
*:<math>\begin{matrix}
H &\to & G \\
\downarrow && \downarrow \\
\operatorname O(V,\eta) & \to & \operatorname{GL}(V;\mathbb R)
\end{matrix}</math>
* <math>D</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 및 그 [[접다발]]의 구조군 <math>G</math>. 즉, 어떤 <math>G</math>-[[주다발]] ([[틀다발]]) <math>F_G</math> 및 [[벡터 다발]]의 [[동형 사상]] <math>F_G\times_G\mathbb R^N\to \mathrm TM</math>이 주어져 있다.
* 접다발의, <math>H</math>로의 구조 축소. 즉, <math>H</math>-[[주다발]] <math>F_H</math> 및 [[벡터 다발]]의 [[동형 사상]] <math>E\colon F_H\times_HV \to \mathrm TM</math>.

<math>M</math>의 [[접다발]] 지표를 <math>M,N,\dotsc</math>, <math>V</math>의 지표를 <math>A,B,\dotsc</math>로 표기하면, <math>E</math>의 데이터는 각 점에서 국소적으로 다음과 같다.
:<math>\mathrm T_xM \to V</math>
:<math>X^M \mapsto E_M^AX^M</math>
이제, <math>E</math>는 다음과 같은 [[준 리만 다양체]] 구조 <math>G_{MN}</math>를 정의한다. (그 부호수는 <math>\eta</math>의 부호수와 같다.)
:<math>G_{MN} = \eta_{AB}E^A_ME^B_N</math>
이제, <math>E</math>에 다음과 같은 <math>H</math>-[[게이지 대칭]]을 부여하자.
:<math>E^A{}_M\mapsto T^A{}_BE^B_M\qquad(T\in\mathcal C^\infty(M,H))</math>
그렇다면, <math>E</math>는 각 점에서 물리적으로 [[동차 공간]]
:<math>\frac GH</math>
의 원소를 나타내게 된다. 또한, [[계량 텐서]] <math>G_{MN}</math>는 (<math>H\le\operatorname O(V,Q)</math>이므로) 게이지 불변이다.

이제, 위 구성에서 다음과 같은 특수한 경우를 생각할 수 있다.

{| class=wikitable
! 이론 !! <math>G</math> !! <math>H</math> !! <math>\dim_{\mathbb R}(G/H)</math> !! 물리적 해석
|-
! [[일반 상대성 이론]]
| <math>\operatorname{GL}(D;\mathbb R)</math> || <math>\operatorname O(1,D-1)</math> || <math>D(D+1)/2</math> || 로런츠 계량 텐서 <math>G_{MN}</math>
|-
! 이중 장론 (<math>D=2d</math>)
| <math>\operatorname O(d,d)</math> || <math>\operatorname O(1,d-1)\times\operatorname O(1,d-1)</math> || <math>d^2</math> || <math>d</math>차원 계량 텐서 및 <math>d</math>차원 [[2차 미분 형식]]
|}
즉, <math>G/H=\operatorname{GL}(D)/\operatorname O(1,D-1)</math>인 경우는 <math>D</math>차원 [[일반 상대성 이론]]의 [[필바인]]에 해당한다. 반면, <math>G/H=\operatorname O(d,d)/\operatorname O(1,d-1)^2</math>인 경우, 이는 <math>d^2</math>개의 성분을 가지며, 이는 <math>d\times d</math> 대칭 행렬([[중력장]])과 <math>d\times d</math> [[반대칭 행렬]]([[캘브-라몽 장]])로 분해될 수 있다.

=== 계량의 분해 ===
구체적으로, 필바인 <math>E_M^A</math>에 의하여 정의되는 계량 텐서
:<math>G_{MN} = \eta_{AB}E_M^AE_N^B</math>
를 생각하자. 물리적으로, 이는 [[중력장]]과 [[캘브-라몽 장]]을 나타낸다.

편의상, <math>\eta_{AB}</math>를 다음과 같이 만드는 게이지를 선택하자.
:<math>\eta = \begin{pmatrix}
0 & 1_{d\times d} \\
1_{d\times d} & 0
\end{pmatrix}</math>
즉, 이는 분해
:<math>V = V_+ \oplus V_-</math>
:<math>\dim V_+ = \dim V_- = d</math>
:<math>\eta_\pm\colon V_\pm \to V_\mp^*</math>
를 정의한다. (물론, 이러한 게이지는 일반적으로 유일하지 않다.)

<math>V</math>는 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>의 국소 모형이므로, 이는 마찬가지로 각 점에서 [[접공간]] <math>\mathrm T_xM</math>의 마찬가지 분해
:<math>\mathrm TM = \mathrm T^+M\oplus \mathrm T^-M</math>
를 정의한다.

이러한 게이지에서, <math>\operatorname O(d,d)</math>의 원소
:<math>H^N{}_P \in \operatorname O(d,d)</math>
:<math>\eta_{MN}H^N{}_P = \begin{pmatrix}
g^{-1} & -g^{-1}b \\
bg^{-1} & g - b g^{-1} b
\end{pmatrix} \in \operatorname O(d,d) </math>
를 정의할 수 있다. 여기서, <math>g</math>는 [[중력장]]을 나타내며, <math>b</math>는 [[2차 미분 형식]]인 [[캘브-라몽 장]]이다.

이 시공간에서는 일반적으로 공변 미분이 존재하지 않는다. 더 엄밀히 말하자면, <Math>\eta</math> 및 <math>H</math>와 호환되는 [[코쥘 접속]]의 개념을 도입할 수 있지만,<ref name="AMN"/>{{rp|§4.2}} [[크리스토펠 기호]]의 모든 성분이 물리학적 의미를 갖는 [[일반 상대성 이론]]과 달리 이 접속은 물리학적으로 결정되지 않는 성분들을 포함하며,<ref name="AMN"/>{{rp|§4.2, Table 1}} 이에 따라 임의의 선택이 필요하다. 이에 대한 [[리만 곡률]]도 마찬가지다.

=== 필바인 ===
[[일반 상대성 이론]]과 마찬가지로, 다음과 같이 [[필바인]]을 도입할 수 있다.<ref name="AMN"/>{{rp|(3.52), (3.53)}} 필바인은 다음과 같은 [[동차 공간]]의 원소이다.
:<math>E \in \frac{\operatorname O(d,d)}{\operatorname O(1,D-1)\times\operatorname O(1,d-1)}</math>
여기서 <math>\operatorname O(1,d-1)\times\operatorname O(1,d-1)</math>은 <math>\operatorname O(d,d)</math>의 블록 대각 행렬 부분군이다.

즉, 이는 대표원
:<math>E^A_M \in \operatorname O(d,d)</math>
에 의하여 결정되며, 이는 [[게이지 변환]]
:<math>E^A_M \mapsto L^A{}_BE^A_M\qquad(L^A{}_B \in\operatorname O(1,D-1)\times\operatorname O(1,D-1))</math>
을 겪는다. 여기서 <math>A,B,\dotsc</math>는 필바인 지표를 뜻한다. 이 대표원에 대응되는 [[리만 계량 텐서]]는
:<math>H_{MN} = E^A{}_MH_{AB}E^B{}_N</math>
이다.

필바인이 주어졌다면, 다음과 같은 '''일반화 바이첸뵈크 접속'''({{llang|en|generalized Weitzenböck connection}})을 정의할 수 있다.<ref name="AMN"/>{{rp|(3.59)}}
:<math>\Omega_{ABC} = -\Omega_{ACB} = E_A{}^M\partial_M(E_B{}^NE_C{}^P\eta_{PN})</math>

=== 작용 ===
이중 장론에서는 다음과 같은 작용을 사용한다.<ref name="AMN"/>{{rp|(3.60)}}
:<math>S = \int\mathrm d^{2D}x\,\exp(-2\phi)(S_1+S_2)</math>
여기서 
:<math>S_1 = 9\Omega_{[ABC]}\Omega_{[DEF]}\left(
\frac14H^{AD}\eta^{BE}\eta^{CF}
-\frac1{12}H^{AD}H^{BE}H^{CF}
-\frac16\eta^{AD}\eta^{BE}\eta^{CF}
\right) + \exp(2\phi)(\eta^{AB}-H^{AB})</math>
:<math>S_2 = F_AF_B(\eta^{AB}-H^{AB})</math>
:<math>F_A = \eta^{BC}\Omega_{BCA} + 2E_A{}^M\partial_M\phi</math>
여기서 <math>\phi</math>는 [[딜라톤]] 스칼라장이다. 이는 <math>M</math> 위의, <math>\operatorname O(d,d)</math> 구조를 보존하는 [[미분 동형 사상]]들을 대칭으로 갖는다.

=== 장방정식 ===
위 작용의 [[오일러-라그랑주 방정식]]은 다음과 같다.<ref name="AMN"/>{{rp|(3.81)}}
:<math>S_1 = 0 </math>
:<math>2(H^{C[A}-\eta^{D[C})\partial^{B]}F_C + (F_C-\partial-C)F^{C[AB]} + F^{CD[A}F_{CDE}\eta^{B]E} = 0</math>
이들은 각각 <math>\phi</math> 및 <math>E_A{}^M</math>에 대한 [[오일러-라그랑주 방정식]]이다.

=== 단면 조건 ===
<math>M</math> 위의 장들은 <math>2d</math> 차원의 [[매끄러운 다양체]] 위에 정의된다. 실제 시공간은 <math>d</math>차원이므로, 올바른 수의 자유도를 갖추기 위하여 조건을 부여해야 한다. 이는 '''단면 조건'''({{llang|en|section condition}})이라고 하며, 스칼라장 <math>\Phi</math>에 대하여 다음과 같은 꼴이다.<ref name="AMN"/>{{rp|(3.29), (3.30)}}
:<math>\eta^{MN}\partial_M\partial_N\Phi = 0</math>

== 역사 ==
워런 시걸({{llang|en|Warren Siegel}})이 1993년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Warren|성=Siegel|제목=Superspace duality in low-energy superstrings|저널=Physical Review D|권=48|날짜=1993|
쪽=2826|arxiv=hep-th/9305073|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Warren|성=Siegel|제목=Two vierbein formalism for string inspired axionic gravity|저널=Physical Review D|권=47|날짜=1993|쪽=5453|arxiv=hep-th/9302036|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=double field theory|title=Double field theory}}
* {{nlab|id=T-fold}}

[[분류:끈 이론]]