이음 (위상수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Join.svg|thumb|right|두 선분의 이음은 다음과 같은, 속이 찬 사면체이다.]]

[[대수적 위상수학]]에서 '''이음'''({{llang|en|join|조인}})은 두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math>가 주어졌을 때, <math>X</math>와 <math>Y</math>의 [[분리합집합]]에, <math>X</math>의 한 점과 <math>Y</math>의 한 점을 잇는 모든 선분들을 추가하여 얻는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
두 위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math>의 '''이음'''은 다음과 같은 [[곱공간]]의 [[몫공간]]이다.
:<math>X \star Y = \frac{X \times Y \times [0,1]}{\sim}</math>
여기서 [[동치 관계]] <math>\sim</math>는 다음과 같다.
:<math>(x,y,t) \sim (x',y',t') \iff (t = t') \land
\left(
x=x' \lor t = 1
\right) \land
\left(
y=y' \lor t= 0
\right)</math>
즉,
:<math>(x,y,0) \sim (x',y,0)</math>
:<math>(x,y,1) \sim (x,y',1)</math>
이다. 다시 말해, 기둥 <math>X \times Y \times [0,1]</math>을 양끝에서 서로 반대 방향으로 찌그려뜨린 것이다.

[[한원소 공간]] <math>Y=\{\bullet\}</math>과의 이음
:<math>X \star \{\bullet\} \cong \frac{X \times [0,1] }{ X \times \{1\} } </math>
을 <math>X</math>의 '''뿔'''({{llang|en|cone}})이라고 한다.

두 [[점을 가진 공간]] <math>(X,\bullet_X)</math>, <math>(Y,\bullet_Y)</math>의 '''축소 이음'''({{llang|en|reduced join}})은 다음과 같다.
:<math>X * Y = \frac{X \star Y}{X \star\{\bullet_Y\} \cup \{\bullet_X\} \star Y}</math>
이는 사실 [[분쇄곱]] <math>X \wedge Y</math>의 [[축소 현수]]와 [[위상 동형]]이다. 이음과 축소 이음은 서로 [[호모토피 동치]]이다.

== 예 ==
[[초구]]의 이음은 다음과 같이 [[초구]]이다.
:<math>\mathbb S^m \star \mathbb S^n \cong \mathbb S^{m+n+1}</math>
크기 2의 [[이산 공간]] <math>\mathbb S^0</math>과의 이음은 [[현수 (위상수학)|현수]]와 [[위상 동형]]이다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Join}}
* {{eom|title=Cone}}
* {{매스월드|id=SpaceJoin|title=Space join}}
* {{nlab|id=join of topological spaces|title=Join of topological spaces}}
* {{nlab|id=cone|title=Cone}}

[[분류:대수적 위상수학]]