이등변 삼각형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Triangle.Isosceles.svg|섬네일|150px|이등변삼각형]]
[[기하학]]에서 '''이등변 삼각형'''(二等邊三角形, {{llang|en|isosceles triangle}})은 두 변의 길이가 같은 [[삼각형]]이다. 이 경우 길이가 같은 두 변이 마주보는 두 내각의 크기는 같다. 또한, 길이가 같은 두 변의 교점을 지나는 [[각의 이등분선|내각의 이등분선]]은 남은 한 변의 [[수직 이등분선]]과 일치한다. 길이가 같은 두 변이 마주보는 꼭짓점에서 두 변에 내린 [[수직|수선]]과 [[중선]], 내각의 이등분선의 길이는 
세 변의 길이가 모두 같은 삼각형을 [[정삼각형]]이라고 한다. 과거 [[에우클레이데스]]의 정의에서는 이등변 삼각형을 정확히 두 변의 길이가 같은 삼각형으로 정의하여 정삼각형을 포함시키지 않았으나, 현대 기하학은 정삼각형을 이등변 삼각형의 특수한 경우로서 포함한다.

== 정의 ==
[[삼각형]]의 두 변의 길이가 같다면, 이 삼각형을 '''이등변 삼각형'''이라고 한다. 이등변 삼각형의 길이가 같은 두 변을 '''등변'''(等邊, {{llang|en|leg}})이라고 하고, 남은 한 변을 '''밑변'''(-邊, {{llang|en|base}})이라고 한다. 두 등변 사이의 [[내각과 외각|내각]]을 '''꼭지각'''(-角, {{llang|en|vertex angle}})이라고 부르며, 밑변과 등변 사이의 두 내각을 '''밑각'''(-角, {{llang|en|base angle}})이라고 부른다. 꼭지각이 [[예각]]·[[직각]]·[[둔각]]인 이등변 삼각형을 각각 '''[[예각 이등변 삼각형]]''', '''[[직각 이등변 삼각형]]''', '''[[둔각 이등변 삼각형]]'''이라고 한다. 세 변의 길이가 같은 삼각형을 '''[[정삼각형]]'''이라고 한다. 이는 예각 이등변 삼각형의 특수한 경우이다. 정삼각형에서는 임의의 변을 밑변으로 삼을 수 있다.

== 성질 ==
밑변이 <math>BC</math>인 이등변 삼각형 <math>ABC</math>의 다음과 같은 직선들은 서로 일치한다.
* 꼭짓각 <math>\angle A</math>의 [[각의 이등분선|이등분선]]
* 밑변 <math>BC</math>의 [[수직 이등분선]]
* 꼭짓점 <math>A</math>를 지나는 [[중선]]
* 꼭짓점 <math>A</math>에서 밑변 <math>BC</math>에 내린 [[수직|수선]]
[[정삼각형]]이 아닐 경우 이 직선은 [[오일러 직선]]이다.
{{증명}}
[[파일:IsoscelesTriangleProofTextbook.svg|섬네일|대체글=삼각형 ABC와 각 A의 이등분선 AX|이등변 삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변의 수직 이등분선이다. 반대로 한 내각의 이등분선이 이 내각이 대하는 변의 수직 이등분선과 일치하는 삼각형은 이등변 삼각형이다.]]
각 <math>\angle A</math>의 이등분선 <math>AX</math>가 <math>BC</math>와 <math>X</math>에서 만난다고 하자. 그렇다면
:<math>AB=AC</math>
:<math>\angle BAX=\angle CAX=\frac 12\angle BAC</math>
:<math>AX=AX</math>
이므로, 삼각형 <math>ABX</math>와 <math>ACX</math>는 SAS 합동에 따라 합동이다. 특히, <math>BX=CX</math>이며, 또한
:<math>\angle AXB=\angle AXC=\frac 12\angle BXC=\frac\pi 2</math>
이다. 즉, <math>AX</math>는 변 <math>BC</math>의 수직 이등분선이며, 따라서 <math>AX</math>는 삼각형 <math>ABC</math>의 중선이자 변 <math>BC</math>의 수선이다. 
{{증명 끝}}

삼각형 <math>ABC</math>의 밑변의 길이가 <math>BC=a</math>라고 하고 두 등변의 길이가 <math>b</math>라고 할 때, 이 직선의 삼각형 내부에 포함된 부분의 길이는
:<math>\sqrt{a^2-\frac{b^2}4}</math>
이다.<ref name="Isaacs" />{{rp|71, §2D}}

=== 밑각 ===
삼각형 <math>ABC</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Isaacs">{{서적 인용
|성=Isaacs
|이름=I. Martin
|제목=Geometry for College Students
|언어=en
|총서=The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics
|출판사=Brooks/Cole
|날짜=2001
|isbn=0-534-35179-4
}}</ref>{{rp|7, §1B; 10, Exercise 1B.1}}
* <math>AB=AC</math>
* <math>\angle B=\angle C</math>
즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. 이 명제를 [[당나귀의 다리]]라고 부르기도 한다. 반대로 크기가 같은 두 각의 대변의 길이는 같다.
{{증명}}
[[파일:IsoscelesTriangleProofTextbook.svg|섬네일|대체글=삼각형 ABC와 각 A의 이등분선 AX|증명 도해]]
우선 <math>AB=AC</math>가 성립한다고 가정하자. 각 <math>\angle A</math>의 이등분선 <math>AX</math>가 변 <math>BC</math>와 <math>X</math>에서 만난다고 하자. 그렇다면
:<math>AB=AC</math>
:<math>\angle BAX=\angle CAX=\frac 12\angle BAC</math>
:<math>AX=AX</math>
이므로, 삼각형 <math>ABX</math>와 <math>ACX</math>는 [[SAS 합동]]에 따라 [[합동 (기하학)|합동]]이다. 특히, <math>\angle B=\angle C</math>가 성립한다.

이제 <math>\angle B=\angle C</math>가 성립한다고 가정하자. 각 <math>\angle A</math>의 이등분선 <math>AX</math>가 변 <math>BC</math>와 <math>X</math>에서 만난다고 하자. 그렇다면
:<math>\angle B=\angle C</math>
:<math>\angle BAX=\angle CAX=\frac 12\angle BAC</math>
:<math>AX=AX</math>
이므로, 삼각형 <math>ABX</math>와 <math>ACX</math>는 [[AAS 합동]]에 따라 [[합동 (기하학)|합동]]이다. 특히, <math>AB=AC</math>가 성립한다.
{{-}}
{{증명 끝}}
{{증명|각주=<ref name="Isaacs" />{{rp|10, §1B}}}}
우선 <math>AB=AC</math>가 성립한다고 가정하자. 그렇다면
:<math>AB=AC</math>
:<math>\angle A=\angle A</math>
:<math>AC=AB</math>
이므로, 삼각형 <math>ABC</math>와 <math>ACB</math>는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, <math>\angle B=\angle C</math>가 성립한다.

이제 <math>\angle B=\angle C</math>가 성립한다고 가정하자. 그렇다면
:<math>\angle B=\angle C</math>
:<math>BC=CB</math>
:<math>\angle C=\angle B</math>
이므로, 삼각형 <math>ABC</math>와 <math>ACB</math>는 [[ASA 합동]]에 따라 서로 합동이다. 특히, <math>AB=AC</math>가 성립한다.
{{증명 끝}}

=== 높이 ===
삼각형 <math>ABC</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.<ref name="Isaacs" />{{rp|10, Exercise 1B.6, 1B.7; 20, §1E}}
* <math>AB=AC</math>
* <math>B</math>를 지나는 <math>AC</math>의 수선 <math>BY</math>가 <math>AC</math>와 <math>Y</math>에서 만난다고 하고, 점 <math>C</math>를 지나는 <math>AB</math>의 수선 <math>CZ</math>가 <math>AB</math>와 <math>Z</math>에서 만난다고 할 때, <math>BY=CZ</math>이다.
즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점에서 대변에 내린 [[수직|수선]]의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이가 같다면 이 두 대변의 길이는 같다.
{{증명}}
우선 <math>AB=AC</math>가 성립한다고 가정하자. 그렇다면
:<math>\angle AYB=\angle AZC=\frac\pi 2</math>
:<math>\angle A=\angle A</math>
:<math>AB=AC</math>
이므로, 삼각형 <math>ABY</math>와 <math>ACZ</math>는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, <math>BY=CZ</math>가 성립한다.

이제 <math>BY=CZ</math>가 성립한다고 가정하자. 그렇다면
:<math>\angle A=\angle A</math>
:<math>\angle AYB=\angle AZC=\frac\pi 2</math>
:<math>BY=CZ</math>
이므로, 삼각형 <math>ABY</math>와 <math>ACZ</math>는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, <math>AB=AC</math>가 성립한다.
{{증명 끝}}

=== 중선 ===
삼각형 <math>ABC</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.<ref name="Isaacs" />{{rp|10, Exercise 1B.4; 52, §2B, Problem 2.8}}
* <math>AB=AC</math>
* 변 <math>AC</math>의 [[중점 (기하학)|중점]]이 <math>Y</math>라고 하고, 변 <math>AB</math>의 중점이 <math>Z</math>라고 할 때, <math>BY=CZ</math>이다.
즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점을 지나는 [[중선]]의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점을 지나는 중선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다.
{{증명}}
우선 <math>AB=AC</math>가 성립한다고 가정하자. 그렇다면
:<math>AB=AC</math>
:<math>\angle A=\angle A</math>
:<math>AY=AZ</math>
이므로, 삼각형 <math>ABY</math>와 <math>ACZ</math>는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, <math>BY=CZ</math>가 성립한다.

이제 <math>BY=CZ</math>가 성립한다고 가정하자. <math>BY</math>와 <math>CZ</math>의 교점이 <math>G</math>라고 하자. 그렇다면 <math>G</math>는 삼각형 <math>ABC</math>의 [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]]이므로, <math>BG=2GY</math>이고 <math>CG=2GZ</math>이다. 따라서
:<math>BG=CG</math>
:<math>\angle BGZ=\angle CGY</math>
:<math>GY=GZ</math>
이므로, 삼각형 <math>BGZ</math>와 <math>CGY</math>는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, <math>\angle GBZ=\angle GCY</math>이다. 따라서
:<math>\angle A=\angle A</math>
:<math>\angle ABY=\angle ACZ</math>
:<math>BY=CZ</math>
이므로, 삼각형 <math>ABY</math>와 <math>ACZ</math>는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, <math>AB=AC</math>가 성립한다.
{{증명 끝}}

=== 각의 이등분선 ===
[[슈타이너-레무스 정리]]에 따르면, 삼각형 <math>ABC</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.<ref name="Isaacs" />{{rp|10, Exercise 1B.5; 70, §2D, Problem 2.21}}
* <math>AB=AC</math>
* 각 <math>\angle B</math>의 [[각의 이등분선|이등분선]] <math>BY</math>가 <math>AC</math>와 <math>Y</math>에서 만난다고 하고, 각 <math>\angle C</math>의 이등분선 <math>CZ</math>가 <math>AB</math>와 <math>Z</math>에서 만난다고 할 때, <math>BY=CZ</math>이다.
즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 이등분선의 길이는 같다. 반대로 두 내각의 이등분선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다.
{{증명}}
각의 이등분선의 길이의 제곱은
:<math>BY^2=AB\cdot BC\left(1-\frac{AC^2}{(AB+BC)^2}\right)</math>
:<math>CZ^2=AC\cdot BC\left(1-\frac{AB^2}{(AC+BC)^2}\right)</math>
이다. 따라서 만약 <math>AB=AC</math>라면 <math>BY=CZ</math>이고, 만약 <math>AB>AC</math>라면 <math>BY>CZ</math>이고, 만약 <math>AB<AC</math>라면 <math>BY<CZ</math>이다.
{{증명 끝}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=IsoscelesTriangle|title=Isosceles triangle}}

{{전거 통제}}

[[분류:삼각형]]