음계산법 문서 원본 보기

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[[조합론]]에서 '''음계산법'''(陰計算法, {{llang|en|umbral calculus}})은 특정 [[수열]] · 다항식열에서의 아랫첨자를 마치 거듭제곱처럼 여겨 계산하는 계산법이다.

== 정의 ==
표수가 0인 체 <math>K</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 [[다항식환]] <math>K[x]</math>는 <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]]을 이룬다. 이 속의 '''다항식열'''({{llang|en|polynomial sequence}})은 다음과 같은 조건들을 만족시키는 [[수열|열]]이다.
:<math>p\colon\mathbb N\to K[x]</math>
:<math>p\colon i\mapsto p_i\in K[x]</math>
:<math>\deg p_i=i\qquad\forall i\in\mathbb N</math>

=== 음합성 ===
다항식
:<math>p(x)=\sum_{i\in\mathbb N}p_ix^i</math>
와 다항식열
:<math>q_i(x)=\sum_{j\in\mathbb N}q_{i,j}x^j</math>
의 '''음합성'''({{llang|en|umbral composition}})은 다음과 같은 다항식열이다.
:<math>(p\circ q)(x)=\sum_{j\in\mathbb N}p_iq_j(x)</math>
마찬가지로, 두 다항식열 <math>p_i,q_i</math>의 '''음합성'''은 다음과 같다.
:<math>(p\circ q)_i=p_i\circ q</math>
이에 따라, 다항식열들은 [[모노이드]]를 이룬다. 음합성의 항등원은 다음과 같다.
:<math>\delta_n(x)=x^n</math>

=== 셰퍼 다항식열 ===
다항식열 <math>p_i</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 <math>K</math>-[[선형 작용소]]를 정의할 수 있다.
:<math>Q\colon K[x]\to K[x]</math>
:<math>Q\colon p_i\mapsto ip_{i-1}</math>
이를 다항식열 <math>p_i</math>의 '''델타 연산자'''({{llang|en|delta operator}})라고 한다.

또한, 임의의 <math>a\in K</math>에 대하여, 다음과 같은 <math>K</math>-[[선형 작용소]]를 정의할 수 있다.
:<math>T_a\colon K[x]\to K[x]</math>
:<math>T_ap_i(x)=p_i(x+a)</math>
만약 <math>Q</math>가 모든 <math>T_a</math>와 가환한다면, <math>p_i</math>를 '''셰퍼 다항식열'''({{llang|en|Sheffer sequence}})이라고 한다.
:<math>QT_ap=T_aQp\qquad\forall a\in K,p\in K[x]</math>

두 셰퍼 다항식열의 음합성 역시 셰퍼 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 셰퍼 다항식열들은 [[군 (수학)|군]]을 이룬다.

셰퍼 다항식열 <math>p_i</math>의 지수 [[생성 함수]]는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{p_n(x)}{n!} t^n = A(t) \exp(x B(t))</math>
:<math>A,B\in K[[t]]</math>
따라서, 셰퍼 다항식열은 [[일반화 아펠 다항식열]]의 특수한 경우이다.

=== 아펠 다항식열 ===
셰퍼 다항식열 <math>p_i</math>에 대하여, 델타 연산자가 다항식의 미분과 같다면, <math>p_i</math>를 '''아펠 다항식열'''({{llang|en|Appell sequence}})이라고 한다.

두 아펠 다항식열의 음합성 역시 아펠 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 아펠 다항식열들은 [[아벨 군]]을 이룬다. 이는 셰퍼 다항식열의 군의 [[정규 부분군]]이다.

모든 아펠 다항식열 <math>p_i(x)</math>은 어떤 수열 <math>a_i</math>에 대하여
:<math>p_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nka_{n-k}x^k</math>
의 꼴임을 보일 수 있다. 역으로, 아펠 다항식열이 주어졌다면
:<math>a_n=p_n(0)</math>
이 된다.

아펠 다항식열의 예로는 다음이 있다.
* [[베르누이 다항식]] <math>B_n(x)</math>. 이에 대응하는 수열은 [[베르누이 수]]이다.
* (확률론의) [[에르미트 다항식]] <math>H_n(x)</math>. 이에 대응하는 수열은 <math>h_{2k}=(-1)^k2k(2k-2)(2k-4)\cdots2</math>, <math>h_{2k+1}=0</math>이다.
* [[오일러 다항식]]
* <math>p_n(x)=x^n</math>. 이에 대응하는 수열은 <math>a_n=\delta_{n,0}</math>이다 (<math>\delta</math>는 [[크로네커 델타]]).

=== 이항형 다항식열 ===
셰퍼 다항식열 <math>p_i</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 셰퍼 다항식열을 '''이항형 다항식열'''({{llang|en|sequence of binomial type}})이라고 한다.
* <math>p_0(x)=1</math>이며 <math>p_n(0)=0\qquad\forall n\ge1</math>이다.
* 다음 항등식이 성립한다.
*:<math>p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n\binom nkp_k(x)p_{n-k}(y)</math>
이항형 다항식열은 음합성에 대하여, 셰퍼 다항식열의 군의 [[부분군]]을 이룬다. 이는 [[정규 부분군]]이 아니며, [[아벨 군]]이 아니다. 셰퍼 다항식열의 군 <math>\operatorname{Sheffer}</math>은 아펠 다항식열의 군 <math>\operatorname{Appell}</math>과 이항형 다항식열의 군 <math>\operatorname{Binom}</math>의 [[반직접곱]]이다.
:<math>\operatorname{Sheffer}\cong\operatorname{Appell}\rtimes\operatorname{Binom}</math>

이항형 다항식열은 그 델타 연산자로부터 완전히 결정된다.

이항형 다항식열의 예로는 다음이 있다.
* <math>p_n(x)=x^n</math>. 이에 대응하는 델타 작용소는 [[미분]] <math>d/dx</math>이다.
* [[하강 포흐하머 기호]] <math>p_n(x)=x^{\underline n}</math>. 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 [[유한 차분]] <math>\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)</math>이다.
* [[상승 포흐하머 기호]] <math>p_n(x)=x^{\overline n}</math>
* [[아벨 다항식]] <math>p_n(x)=x(x-an)^{n-1}</math>
* [[투샤르 다항식]] <math>\textstyle p_n(x)=\sum_{k=0}^n\left\{{n\atop k}\right\}x^n</math>. 여기서 <math>\textstyle\left\{{n\atop k}\right\}</math>는 [[제2종 스털링 수]]이다.

=== 아펠 다항식의 음계산법 ===
아펠 다항식열
:<math>p_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nkp_{n-k}x^k</math>
이 주어졌다고 하자. 이 경우, 형식적 변수 <math>\mathsf p</math>에 대하여 다음과 같은 선형 범함수를 정의할 수 있다.
:<math>L\colon K[\mathsf p]\to K</math>
:<math>L\colon\mathsf p^n\mapsto p_n</math>
이 경우, <math>\mathsf p</math>를 '''음변수'''({{llang|en|umbral variable}})라고 한다. <math>L</math>을 가하면, <math>\mathsf p^n</math>의 윗첨자(거듭제곱)가 <math>p_n</math>의 아랫첨자로 바뀌는 것을 알 수 있다.

그렇다면, 다음과 같은 식들이 성립한다.
:<math>L\left((a+\mathsf p)^n\right)=p_n(a)\qquad\forall a\in K</math>
:<math>L\left(\frac d{da}(a+\mathsf p)^n\right)=\frac d{da}L\left((a+\mathsf p)^n\right)</math>
따라서, <math>p_n(x)</math>를 포함하는 표현을 <math>L(\cdots)</math>로 나타낸 뒤, 음변수 <math>\mathsf p</math>의 다항식으로 다룰 수 있다. 이를 '''음계산법'''이라고 한다.

예를 들어, 다음과 같은 항등식을 음계산법으로 쉽게 보일 수 있다.
:<math>\begin{align}
p_n(x+y)&=L\left((x+y+\mathsf p)^n\right)\\
&=L\sum_{k=0}^n\binom nk(y+\mathsf p)^{n-k}x^k\\
&=\sum_{k=0}^n\binom nkL((y+\mathsf p)^{n-k})x^k\\
&=\sum_{k=0}^n\binom nkp_{n-k}(y)x^k\\
\end{align}</math>

=== 이항형 다항식의 음계산법 ===
델타 연산자 <math>Q</math>에 대응하는 이항형 다항식 <math>p_n(x)</math>이 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자.
:<math>L\colon K[\mathsf p]\to K[x]</math>
:<math>L\colon\mathsf p^n\mapsto p_n(x)</math>
그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>L\colon a\mapsto a\qquad\forall a\in K</math>
:<math>L\left(\frac d{d\mathsf p}f(\mathsf p)\right)=Q(Lf)</math>
:<math>L\left(\operatorname{eval}_{\mathsf p\mapsto0}f(\mathsf p)\right)=\operatorname{eval}_{x\mapsto0}L\left(f(\mathsf p)\right)</math>
따라서, 아펠 다항식의 경우와 같이 <math>p_n(x)</math>를 포함하는 표현을 <math>L(\cdots)</math>로 나타내어 편하게 다룰 수 있는 음계산법이 성립한다.

특히, 임의의 <math>f(x)\in K[x]</math>에 대하여, <math>\deg p_n(x)=n</math>이므로
:<math>f=L(g(\mathsf p))</math>
인 다항식
:<math>g(\mathsf p)\in K[x]</math>
:<math>g(\mathsf p)=\sum_{k=0}^\infty g_k\mathsf p^k</math>
가 존재한다. 이 경우,
:<math>g_k=L(g_k)=\frac1{k!}L\left(\operatorname{eval}_{\mathsf p\mapsto0}\frac{d^n}{d\mathsf p^n}g(\mathsf p)\right)
=\frac1{k!}\operatorname{eval}_{x\mapsto0}Q^nL(g(\mathsf p))=\frac1{k!}Q^nf(0)</math>
이다. 따라서,
:<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty L\left(g_n\mathsf p^n\right)=\sum_{n=0}^\infty g_np_n(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac1{k!}Q^nf(0)p_n(x)</math>
가 된다. 이를 '''음 테일러 급수'''({{llang|en|umbral Taylor series}})라고 한다.

특히, <math>p_n(x)</math>이 [[하강 포흐하머 기호]]
:<math>p_n(x)=x^{\underline n}=x(x-1)\cdots(x-n+1)</math>
일 경우,
:<math>p_n(x+1)-p_n(x)=np_{n-1}(x)</math>
이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 [[유한 차분]]
:<math>\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)</math>
이다. 따라서
:<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac1{k!}\Delta^nf(0)x^{\underline n}</math>
이다. 이는 [[뉴턴 급수]]라고 한다.

보다 일반적으로, 셰퍼 다항식열은 아펠 다항식열과 이항형 다항식열의 음합성이므로, 이에 대한 음계산법을 개발할 수 있다.

== 예 ==
=== 베르누이 공식 ===
[[베르누이 다항식]] <math>B_n(x)\in\mathbb Q[x]</math>은 아펠 다항식열을 이룬다. 따라서, 선형 작용소
:<math>L\colon\mathbb Q[\mathsf b]\to\mathbb Q[x]</math>
:<math>L\colon\mathsf  b^n\mapsto B_n</math>
를 정의하자. (여기서 <math>B_n</math>은 <math>B_1=-1/2</math>인 [[베르누이 수]]이다.) 그렇다면, 음계산법을 사용한다면 거듭제곱수의 합에 대한 [[베르누이 공식]]은 다음과 같이 깔끔하게 적을 수 있다.
:<math>
\begin{align}
\sum_{k=1}^n k^m &= \frac1{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(0)\right)\\
&=L\left(\frac{(n+1+\mathsf b)^{m+1}-\mathsf b^{m+1}}{m+1}\right)\\
&=L\int_{\mathsf b}^{\mathsf b+n+1} x^p\,dx
\end{align} </math>

=== 역관계 ===
두 수열 <math>a_n</math>, <math>b_n</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
:<math>\forall n\colon a_n=\sum_{k=0}^n\binom nkb_n\iff \forall n\colon b_n=\sum_{k=0}^n(-)^k\binom nka_n</math>
이는 다음과 같이 음계산법으로 쉽게 유도할 수 있다.<ref name="KRY">{{서적 인용
 |last          = Kung
 |first         = Joseph P. S.
 |이름2       = Gian-Carlo
 |성2          = Rota
 |저자링크2 = 잔카를로 로타
 |이름3       = Catherine H.
 |성3          = Yan
 |title         = Combinatorics: The Rota Way
 |url           = http://www.math.tamu.edu/~cyan/book.html
 |publisher     = Cambridge University Press
 |series        = Cambridge Mathematical Library
 |날짜        = 2009
 |isbn          = 978-0-521-88389-4
 |doi           = 10.1017/CBO9780511803895
 |언어        = en
 |확인날짜  = 2015-10-28
 |보존url     = https://web.archive.org/web/20160303222342/http://www.math.tamu.edu/~cyan/book.html
 |보존날짜  = 2016-03-03
 |url-status  = dead
}}</ref>{{rp|185–186}}
우선
:<math>L\colon K[\mathsf a]\to K</math>
:<math>L\colon \mathsf a^n\mapsto a_n</math>
라고 하자. 그렇다면, 만약
:<math>b_n=\sum_{k=0}^n\binom nkb_n=L\left((1+\mathsf a)^n\right)</math>
라면,
:<math>\mathsf b=1+\mathsf a</math>
로 정의할 수 있다. 그렇다면
:<math>a_n=L(\mathsf a^n)=L\left((\mathsf b-1)^n\right)=\sum_{k=0}^n(-)^k\binom nkb_k</math>
임을 알 수 있다. (반대 방향의 함의도 마찬가지로 성립한다.)

== 역사 ==
음계산법은 1861년에 존 블리사드({{llang|en|John Blissard}})가 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Blissard | first=John | title=Theory of generic equations | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN600494829_0004 | 날짜=1861 | journal=The quarterly journal of pure and applied mathematics | volume=4 | pages=279–305|언어=en}}</ref> 그러나 블리사드는 선형 범함수를 사용하지 않았으며, 단순히 특정 경우 아랫첨자를 윗첨자처럼 간주할 수 있다는 선에서 음계산법을 이해하였다.

이후 음계산법은 [[에두아르 뤼카]]와 [[제임스 조지프 실베스터]] 등에 의하여 널리 사용되었으나, 오랫동안 음계산법이 왜 성립하는지는 의문에 싸여 있었다. 1938년에 에릭 템플 벨({{llang|en|Eric Temple Bell}})은 음계산법을 엄밀하게 유도하려고 시도하였으나, 그리 성공적이지 못하였다.<ref>{{저널 인용  | last1=Bell | first1=E. T. | title=The history of Blissard’s symbolic method, with a sketch of its inventor’s life | jstor=2304144 | year=1938 | journal=The American Mathematical Monthly | issn=0002-9890 | volume=45 | issue=7 | pages=414–421|언어=en}}</ref>

1970년대에 [[잔카를로 로타]]는 선형 범함수를 사용하여 음계산법을 엄밀하게 유도하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Roman | first1=Steven M. | last2=Rota | first2=Gian-Carlo | author2-link=잔카를로 로타 | title=The umbral calculus | doi=10.1016/0001-8708(78)90087-7 | mr=0485417 | year=1978 | journal=Advances in Mathematics | issn=0001-8708 | volume=27 | issue=2 | pages=95–188 | 언어=en}} [http://www.romanpress.com/matharticles/umbral1.pdf 1부], [http://www.romanpress.com/matharticles/umbral2.pdf 2부], [http://www.romanpress.com/matharticles/umbral3.pdf 3부], [http://www.romanpress.com/matharticles/umbral4.pdf 4부]</ref>

아펠 다항식열은 프랑스의 수학자 [[폴 에밀 아펠]]({{llang|fr|Paul Émile Appell}}, 1855~1930)이 도입하였다. 셰퍼 다항식열은 미국의 수학자 이자도어 미첼 셰퍼({{llang|en|Isador Mitchell Sheffer}}, 1901~1992)가 도입하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용 | last=Roman | first=Steven | title=The umbral calculus  | publisher=Academic Press |  | series=Pure and Applied Mathematics | isbn=978-0-12-594380-2 | mr=741185 | year=1984 | volume=111 | 언어=en}}
* {{저널 인용 | 이름=Steven | 성=Roman | 제목=The theory of the umbral calculus I | 권=87 | 호=1| 날짜=1982-05 | 저널=Journal of Mathematical Analysis and Applications |  | doi =  10.1016/0022-247X(82)90154-8 | issn= 0022-247X | 쪽= 58–115 | 언어=en}}
* {{저널 인용 | 이름=Steven | 성=Roman | 제목=The theory of the umbral calculus II | 권=89 | 호=1| 날짜=1982-09 | 저널=Journal of Mathematical Analysis and Applications | doi=10.1016/0022-247X(82)90103-2 | issn= 0022-247X | 쪽= 290-314 | 언어=en}}
* {{저널 인용 | 이름=Steven | 성=Roman | 제목=The theory of the umbral calculus III | 권=95 | 호=2| 날짜=1983-09 | 저널=Journal of Mathematical Analysis and Applications | 쪽= 528–563 | doi = 10.1016/0022-247X(83)90125-7 | issn= 0022-247X | 언어=en}}
* {{저널 인용|제목=A selected survey of umbral calculus|이름=A.|성=Di Bucchianico|이름2=D.|성2=Loeb|저널=The Electronic Journal of Combinatorics|url=http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/viewFile/DS3/pdf|날짜=2000-04-10|권=Dynamical Surveys|쪽=DS3|언어=en}}
* {{저널 인용 | 제목=Rota’s umbral calculus and recursions | 이름=Heinrich|성=Niederhausen | doi= 10.1007/s00012-003-1820-6 | 저널=Algebra Universalis | 날짜=2003-10 | 권=49 | 호=4 | 쪽=435–457 | url = http://math.fau.edu/Niederhausen/HTML/Papers/RUC.pdf | issn = 0002-5240 | 언어=en}}
* {{저널 인용 | 이름=Ira G. | 성=Gessel | 제목=Applications of the classical umbral calculus | arxiv=math/0108121| 저널=Algebra Universalis |권=49|호=4|날짜=2003-10|쪽=397–434|doi=10.1007/s00012-003-1813-5| issn = 0002-5240 |bibcode=2001math......8121G| 언어=en}}
* {{저널 인용 | 제목=An algebraic exposition of umbral calculus with application to general linear interpolation problem — a survey | 이름=Francesco Aldo | 성=Costabile | 이름2=Elisabetta | 성2=Longo | 저널=Publications de l’Institut mathématique (nouvelle série) | doi = 10.2298/PIM1410067C | 날짜=2014 | 권=96 | 호=110 | 쪽=67–83 | url = http://www.emis.de/journals/PIMB/110/7.html | issn = 0350-1302|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Umbral calculus}}
* {{eom|title=Appell polynomials}}
* {{매스월드|id=UmbralCalculus|title=Umbral calculus}}
* {{매스월드|id=ShefferSequence|title=Sheffer sequence}}
* {{매스월드|id=AppellSequence|title=Appell sequence}}
* {{매스월드|id=Binomial-TypeSequence|title=Binomial-type sequence}}
* {{매스월드|id=BinomialIdentity|title=Binomial identity}}
* {{nlab|id=umbral calculus|title=Umbral calculus}}
* {{웹 인용|url=http://www.win.tue.nl/~adibucch/eidma.ps|제목=An introduction to umbral calculus|이름=A.|성=Di Bucchianico|날짜=1998-02|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:조합론]]
[[분류:다항식]]
[[분류:유한차분법]]