융합 규칙 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[이론물리학]]과 [[추상대수학]]에서 '''융합 규칙'''(融合規則, {{llang|en|fusion rule|퓨전룰}})은 [[2차원 등각 장론]]에 대응되는 특별한 대수 구조이다.<ref name="Blumenhagen">{{서적 인용|제목=Introduction to conformal field theory with applications to string theory|이름=Ralph|성=Blumenhagen|공저자=Erik Plauschinn|isbn=978-3-642-00449-0|doi=10.1007/978-3-642-00450-6|연도=2009|출판사=Springer-Verlag|위치=[[베를린|Berlin]], [[하이델베르크|Heidelberg]]|bibcode=2009LNP...779.....B|언어=en|mr=2848105 }}</ref><ref name="Beauville">{{서적 인용|제목=Proceedings of the Hirzebruch 65 Conference on Algebraic Geometry: May 2–7, 1993 | editor1-first=Mina |editor1-last=Teicher|총서=Israel Mathematics Conference Proceedings |권=9|쪽= 75–96 |날짜=1996|장=Conformal blocks, fusion rules and the Verlinde formula | 이름=Arnaud | 성=Beauville | arxiv=alg-geom/9405001 | bibcode=1994alg.geom..5001B|날짜=1996|출판사=<bdi>אוניברסיטת בר-אילן‬</bdi>|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Fusion rules in conformal field theory|arxiv=hep-th/9306162|이름=Jürgen|성=Fuchs|날짜=1994|doi= 10.1002/prop.2190420102|저널=Fortschrifte der Physik|bibcode=1994ForPh..42....1F |권=42|쪽=1–48|언어=en}}</ref> 융합 규칙은 1차장 사이의 [[연산자 곱 전개]]에 어떤 1차장이 등장하는지를 기록하며, 그 계수는 모듈러 S변환과 '''페를린더 공식'''({{llang|en|Verlinde formula}})이라는 공식으로 계산될 수 있다. 융합 규칙에는 항상 자연스럽게 '''융합환'''(融合環, {{llang|en|fusion ring|퓨전링}}) 또는 '''페를린더 대수'''(Verlinde代數, {{llang|en|Verlinde algebra}})라는 [[가환환]]이 대응된다.

== 정의 ==
[[유한 집합]] <math>I</math> 및 [[대합 (수학)|대합]]
:<math>(-)^*\colon I \to I</math>
:<math>(-)^* \circ (-)^* = \operatorname{id}_I</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이로 생성되는 자유 [[가환 모노이드]]
:<math>\mathbb N^I = \left\{
\sum_in_ii \colon \forall i\in I\colon n_i \in\mathbb N
\right\}</math>
를 생각할 수 있다. 그 원소는 <math>I</math>의 원소들로 구성된 [[중복집합]]으로 생각할 수 있다.

<math>I</math> 위의 '''융합 규칙'''은 다음과 같은 조건을 만족시키는 [[함수]]
:<math>N \colon \mathbb N^I \to \mathbb Z</math>
이다.
* (규격화) <math>N(0) = 1</math>
* (대합에 대한 대칭) <math>N(x^*) = N(x)\qquad\forall x\in \mathbb N^I</math>
* (융합) <math>N(x+y) = \sum_{k\in I}N(x+k)N(y+k^*)\forall x,y\in\mathbb N^I</math>
* (부호) <math>\exists i\in I\colon N(i) > 0</math>
* (비퇴화성) <math>\forall i\in I\exists x\in \mathbb N^I \colon N(i+x) \ne 0</math>

== 성질 ==
=== 항등원과 3점 계수 ===
임의의 융합 규칙 <math>N\colon \mathbb N^I \to \mathbb Z</math>가 주어졌을 때, 어떤 원소 <math>\eta\in I</math>에 대하여
:<math>
N(i) = 
\begin{cases}
1 & i = \eta \\
0 & i \ne \eta
\end{cases}</math>
:<math>\eta^*=\eta</math>
이게 된다. 이를 융합 규칙의 '''항등원'''({{llang|en|identity element}})이라고 하며, 보통 단순히 <math>1</math>로 표기한다. (이는 [[2차원 등각 장론]]에서 [[항등 함수|항등 연산자]]에 해당한다.)
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
공리로부터,
:<math>1 = N(0) = N(0+0) = \sum_{i\in I}N(i)N(i^*) = \sum_{i\in I}N(i)^2</math>
이다. <math>N(i)^2 \in \mathbb N</math>이므로, 이는 어떤 <math>\eta\in I</math>인 경우 <math>N(\eta) \in \{\pm1\}</math>이며 다른 나머지 <math>j\in I \setminus\{\eta\}</math>에 대하여 <math>N(j) = 0</math>임을 의미한다. 그런데 공리에 의하여 <math>N(i)>0</math>인 <math>i\in I</math>가 존재하여야 하므로, 이는 <math>i=\eta</math>일 수 밖에 없으며, <math>N(\eta) = 1</math>이다. <math>N(\eta^*) = 1</math>이므로 <math>\eta = \eta^*</math>이다.
</div></div>
이는 다음과 같이 항등원을 이룬다.
:<math>N(1+x) = N(x)\qquad\forall x\in\mathbb N^I</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
공리로부터,
:<math>N(x) = N(0+x) = \sum_{i\in I}N(i^*)(i+x) = N(1+x)</math>
이다.
</div></div>
또한, 항상 다음이 성립한다.
:<math>N(i+j) = \begin{cases}
1 & i = j^* \\
0 & i \ne j^*
\end{cases}</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
공리로부터,
:<math>N(i+i^*) = \sum_{j\in I} N(i+j)N(j^*+i^*) = \sum_{j\in I} N(i+j)^2 \ge N(i+i^*)^2</math>
이다. <math>k\ge k^2</math>를 만족시키는 정수 <math>k</math>는 0 및 1 밖에 없다. 이 경우 <math>k=k^2</math>이므로
:<math>0 = N(i+i^*) - N(i+i^*)^2 = \sum_{j\in I\setminus\{i\}} N(i+j)^2</math>
이며, 따라서
:<math>N(i+j) = 0\qquad(i\ne j)</math>
이다.

만약 <math>N(i+i^*) = 0</math>이라면, 임의의 <math>x\in\mathbb N^I</math>에 대하여
:<math>N(i+x) = \sum_{j\in I}N(i+j^*)N(j+x) = 0</math>
인데, 이는 공리에 의하여 불가능하다. 따라서 항상 <math>N(i+i^*) = 1</math>이다.
</div></div>

사실, 융합 규칙은 다음과 같은 데이터로만 완전히 결정된다.
* 항등원 <math>1\in I</math>
* 3점 계수 <math>N \restriction \{i+j+k\colon i,j,k\in I \setminus\{1\}\}</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
2점 이하의 계수는 <math>1\in I</math>로 완전히 결정된다. 또한,
:<math>N(i_1+i_2+\dotsb+i+i_k) = 
\sum_{j\in I}N(i_1+i_2+j^*)N(j+i_3+\dotsb+i_k)
\qquad(k\ge3,\;i_1,i_2,\dotsc,i_k\in I)
</math>
이므로, <math>k</math>점의 계수는 3점 계수와 <math>k-1</math>점 계수로 결정된다. 물론, 3점 계수 <math>N(i+j+k)</math>에서 만약 <math>i,j,k</math> 가운데 하나가 <math>1</math>에 속한다면 그 값은 자명하다.
</div></div>
보통 3점 계수는
:<math>N(i+j+k^*) = N_{ij}^k</math>
로 표기한다. 대칭에 의하여
:<math>N_{ij}^k = N_{ji}^k = N_{k^*i}^j = N_{i^*j^*}^{k^*}</math>
:<math>N_{1i}^j = N_{ij^*}^1 = \delta_i^j</math>
가 된다. (<math>\delta</math>는 [[크로네커 델타]]이다.) 즉, 융합 규칙은 다음 조건을 만족시킨다.
:<math>N(i+j+k+l^*) = \sum_{m\in I}N_{ij}^mN_{km}^l = \sum_{m\in I}N_{ik}^mN_{jm}^l\qquad(\forall i,j,k,l\in I)</math>s
만약 <math>N_{ij}^k</math>를 행렬 <math>N_i</math>로 표기한다면, 이는 다음과 같다.
:<math>N_jN_k = N_kN_j</math>
즉, 이 조건은 융합 행렬들이 서로 [[교환 법칙]]을 따르는 것으로 해석할 수 있다.<ref name="Blumenhagen"/>{{rp|(2.131)}} 따라서, [[복소수]] 계수에서 이들을 동시에 대각화하는 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 찾을 수 있다. 페를린더 공식에 따라서, 이 기저는 모듈러 변환의 S행렬에 의하여 주어진다.

=== 고차 종수 융합 규칙 ===
융합 규칙 <math>N\colon \mathbb N^I\to\mathbb Z</math> 및 [[자연수]] <math>g</math>에 대하여, 다음과 같은 함수들을 재귀적으로 정의할 수 있다.
:<math>N_g(x) = \sum_{i\in I}N_{g-1}(x+i+i^*)\qquad\forall x\in \mathbb N^I</math>
:<math>N_0 = N</math>
이들은 [[2차원 등각 장론]]에서, 종수 <math>g</math>의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 곡면]] 위에 정의된 [[상관 함수 (양자장론)|상관 함수]]에 대응된다.
그렇다면, 이는 다음과 같은 성질을 따른다.<ref name="Beauville"/>{{rp|Remark 5.10}}
:<math>N_{g+h}(x+y) = \sum_{i\in I}N_g(x+i^*)N_h(i+y)\qquad\forall x,y\in \mathbb N^I,\;g,h\in\mathbb N</math>

=== 융합환 ===
융합 규칙 <math>N\colon\mathbb N^I \to \mathbb Z</math>이 주어졌을 때, <math>I</math>로 생성되는 [[자유 아벨 군]] <math>R = \mathbb Z^I</math> 위에 다음과 같은 <math>\mathbb Z</math>-쌍선형 곱셈 연산을 줄 수 있다.
:<math>i_1 \cdot i_2 \cdot \dotsb \cdot i_k = \sum_{j\in I}N(i_1+\dotsb+i_k+j^*)j \qquad(k\in\mathbb N,\;i_1,\dotsc,i_k\in I)</math>
이는 항등원 <math>1\in I</math>을 갖는 [[가환환]]을 이루며, '''융합환'''이라고 한다.

특히, 융합환 <math>R</math>의 [[가환환]]으로서의 항등원은 0개의 원소의 곱이므로,
:<math>\sum_{j\in I}N(j^*)j = 1</math>
이다. 즉, 융합환의 항등원은 융합 규칙의 항등원과 같다. 물론 1개의 원소의 곱은
:<math>i = \sum_{j\in I}N(i+j^*)j </math>
이므로 이 정의는 일관적이다. 이 정의가 [[결합 법칙]]을 따르는 [[이항 연산]]을 정의하는 것은 융합 규칙의 융합 공리에서 비롯된다.

융합환 <math>R</math> 위에는 항상 다음 조건을 만족시키는 덧셈 [[군 준동형]]
:<math>t\colon (R,+) \to (\mathbb Z,+)</math>
이 존재한다.<ref name="Beauville"/>{{rp|Proposition 5.3}}
:<math>t(i_1i_2\dotsm i_k) = N(i_1+i_2+\dotsb+i_n)\qquad\forall i_1,\dotsc,i_k\in I</math>
따라서 <math>t</math>는 <math>R</math>-[[가군]]의 [[동형 사상]]
:<math>R \to R^\vee = \hom_{\mathbb Z}(R,\mathbb Z)</math>
:<math>r \mapsto (s\mapsto t(rs))</math>
을 정의한다. 따라서, 모든 융합환은 [[고런스틴 환]]이다. 이 가군 동형에서, [[대각합]]
:<math>\operatorname{tr} \in R^\vee</math>
:<math>\operatorname{tr} \colon i \mapsto \sum_{j\in I}N_{ij}^j \qquad(i,j,k\in I)</math>
에 대응되는 <math>R</math>의 원소는 [[카시미르 원소]]
:<math>\sum_{i\in I}ii^*</math>
이다.

=== 등각 장론의 융합환 ===
[[2차원 등각 장론]] 가운데 [[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]]이 주어졌다고 하자. 이 경우, <math>I</math>를 1차장의 집합으로 놓고, <math>(-)^*</math>를 [[항등 함수]]로 놓고,
:<math>N_{ij}^k = \begin{cases}
0 & C_{ijk} = 0 \\
1 & C_{ijk} \ne 0 
\end{cases}</math>
로 놓자. (여기서 <math>C_{ijk}</math>는 등각 장론의 3점 [[상관 함수 (양자장론)|상관 함수]]의 계수이다.) 그렇다면, 이는 융합 규칙을 정의한다.

보다 일반적으로, [[비라소로 대수]] 대신 [[초대칭 비라소로 대수]]나 [[아핀 리 대수]]([[베스-추미노-위튼 모형]])에 대한, 유한 개의 1차장을 갖는 [[2차원 등각 장론]]에 대해서도 유사하게 융합환을 정의할 수 있다. 이 경우 대합 <math>(-)^*</math>이 자명하지 않을 수 있다.

==== 페를린더 공식 ====
유한 개의 1차장을 갖는 [[2차원 등각 장론]]에서, 최고 무게 표현들의 지표가
:<math>Z(\tau) = \sum_{i\in I}\chi_i(\tau)</math>
라고 하자. 그렇다면, 원환면 위에서의 모듈러 불변성
:<math>Z(\tau) = Z(-1/\tau)</math>
에 의하여
:<math>\chi_i(-1/\tau) = \sum_{j\in I}S_i{}^j\chi_j(\tau)</math>
가 되는 행렬
:<math>S \colon \mathbb Z^I \to \mathbb Z^J</math>
이 존재한다. (보다 일반적으로, <math>\mathbb C^I</math> 위에는 <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)</math>의 [[군의 표현|표현]]이 존재한다.) <math>S</math>는 항상 [[유니터리 행렬]]이며, [[대칭 행렬]]이며 (※[[에르미트 행렬]]이 아니다), <math>S^4 = 1</math>이다.

이 경우, 다음과 같은 '''페를린더 공식'''({{llang|en|Verlinde formula}})이 성립한다.<ref name="Blumenhagen"/>{{rp|143, (4.55)}}
:<math>N_{ij}^k = \sum_{l\in I} \frac{S_{il}S_{jl}\bar S_{lk}}{S_{1l}}</math>
여기서 <math>\bar S</math>는 성분별 [[복소켤레]]이다 (즉, <math>(\bar S)^\top = S^\dagger</math>).

== 예 ==
=== 이징 모형 ===
임계 2차원 [[이징 모형]]에 해당하는 [[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]] <math>c=1/2</math>을 생각하자. 이 경우, 세 개의 일차장이 존재하며, 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 기호 !! 설명 !! [[비라소로 대수]] 표현 <math>(h,\bar h)</math>
|-
| 1 || 진공 || (0,0)
|-
| <math>\sigma</math> || 스핀 밀도 || (1/16,1/16)
|-
| <math>\epsilon</math> || 에너지 밀도 || (½,½)
|}

이에 대응되는 융합 규칙은 다음과 같다.<ref name="Blumenhagen"/>{{rp|80, §2.11}}
:<math>I = \{1,\sigma,\epsilon\}</math>
:<math>(-)^* = \operatorname{id}_I</math>
:<math>N(2\sigma) = 1</math>
:<math>N(2\epsilon) = 1</math>
:<math>N(2\sigma+\epsilon) = 1</math>
:<math>N(1+2\epsilon) = 1</math>
:<math>N(1+2\sigma) = 1</math>
:<math>N(\epsilon+2\sigma) = 1</math>

이 경우, 페를린더 대수는 3차원이며, 다음과 같다.
:<math>A = \mathbb Z[\sigma,\epsilon] / (\sigma^2 - 1 - \epsilon,\epsilon\sigma-\sigma,\epsilon^2-1)</math>
즉, 곱셈이 다음과 같다.

{| class=wikitable style="text-align: center"
! · || 1 || σ || ε
|-
! 1
| 1 || σ || ε
|-
! σ
| σ || 1+ε || σ
|-
! ε
| ε || σ || 1 
|}

=== 베스-추미노-위튼 모형 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 복소수 [[단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>
* <math>\mathfrak g</math>의 [[카르탕 부분 대수]] <math>\mathfrak h</math>
** 따라서, [[근계]] <math>\operatorname R(\mathfrak g,\mathfrak h)</math>를 정의할 수 있다.
* [[근계]] <math>\operatorname R(\mathfrak g,\mathfrak h)</math> 위의 순서. 이에 따라서 최고(最高) 근 <math>\theta\in \operatorname R(\mathfrak g,\mathfrak h)</math>을 고를 수 있다.
* 양의 정수 <math>k\in\mathbb Z^+</math>
이제, <math>\hat{\mathfrak g}</math>의 [[우세 무게]] <math>\lambda</math> 가운데 <math>\langle\lambda|\theta\rangle \le k</math>인 것들의 집합을 <math>P_k</math>라고 하자. 이들은 [[아핀 리 대수]] <math>\hat{\mathfrak g}</math>의 준위 <math>k</math>의 표현들과 일대일로 대응한다. <math>\lambda\in P_k</math>에 대응하는 <math>\hat{\mathfrak g}</math>-표현을 <math>\mathcal H_\lambda</math>라고 표기하자.

이제, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 콤팩트 연결 [[리만 곡면]] <math>\Sigma</math>
* <math>\Sigma</math>의 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]] <math>X=\{x_1,\dotsc,x_n\} \subseteq\Sigma</math>
* 함수 <math>\lambda\colon X \to P_k</math>
그렇다면, <math>\hat{\mathfrak g}</math>의 표현
:<math>\bigotimes_{x\in X}\mathcal H_{\lambda(x)}</math>
을 생각하자. 또한, <math>\mathfrak g</math>값 [[정칙 함수]]의 [[복소수 리 대수]] <math>\mathcal O(\Sigma\setminus X) \otimes_{\mathbb C} \mathfrak g</math>는 이 표현 위에 표준적으로 작용한다. 따라서, 다음과 같은 [[복소수 벡터 공간]]을 정의할 수 있다.<ref name="Beauville"/>
:<math>V(X,\lambda) = \left(\bigotimes_{x\in X}\mathcal H_{\lambda(x)}\right)_{\mathcal O(\Sigma\setminus X) \otimes_{\mathbb C} \mathfrak g}</math>
여기서 <math>W_{\mathfrak g}</math>는 <math>W</math>의, <math>\mathfrak g</math>-작용에 대한 쌍대불변량의 공간, 즉 <math>\mathfrak g</math>에 불변인, <math>W</math>의 가장 큰 몫 벡터 공간이다. 

아핀 리 대수 <math>\hat{\mathfrak g}</math>의 표현을 갖는 [[2차원 등각 장론]]인 [[베스-추미노-위튼 모형]]을 정의할 수 있다. 이 경우, 복소수 벡터 공간 <math>V(X,\lambda)</math>는 각 점 <math>x\in X</math>에 <math>\lambda(x)</math>에 해당하는 일차장을 삽입한 경우의 [[등각 블록]]이다.

두 유한 집합 <math>X</math>, <math>X'</math> 및 전단사 함수 <math>i\colon X\to X'</math>가 주어졌을 때, 표준적인 벡터 공간 동형 사상
:<math>V_\Sigma(X,\lambda) \cong V_\Sigma(X',\lambda\circ i)</math>
이 주어진다. 즉, 등각 블록의 차원은 선택한 점들의 수 및 대응되는 표현에만 의존하고, 점의 위치에 의존하지 않는다.

이 경우, 다음과 같은 융합 규칙을 생각하자.<ref name="Beauville"/>{{rp|Example 5.2a}}
:<math>N\left(\sum\lambda_i\right) = \dim V_{\mathbb P_{\mathbb C}^1}(\{x_1,\dotsc,x_n\},(x_i \mapsto \lambda_i))</math>
즉, 이는 [[리만 구]] 위의 등각 블록의 차원이다. 이는 베스-추미노-위튼 모형에 대응되는 융합 규칙이다.

== 역사 ==
[[파일:ErikVerlinde.jpg|thumb|right|에릭 페를린더 (2009년 사진)]]
에릭 페를린더({{llang|nl|Erik Verlinde}}, 1962〜)가 1988년에 [[2차원 등각 장론]]을 연구하기 위하여 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Erik|성=Verlinde|제목=Fusion rules and modular transformations in 2D conformal field theory|저널= Nuclear Physics B|권= 300 |호=3|쪽= 360–376|날짜=1988|doi=10.1016/0550-3213(88)90603-7|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=fusion ring|title=Fusion ring}}
* {{nlab|id=Verlinde ring}}
* {{nlab|id=Verlinde formula}}
* {{nlab|id=fusion category|title=Fusion category}}

{{전거 통제}}

[[분류:등각 장론]]