유한 퍼텐셜 우물 문서 원본 보기

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{{정리 필요|날짜=2020-12-01|문제=정의가 명확하게 서술되어 있지 않음}}
[[파일:Finite Square Potential Well.JPG|섬네일]]
'''무한 퍼텐셜 우물'''은 이상적인 계로서 [[양자 역학]]의 기본 개념을 잘 내포하고 있지만 실제로 구현되기 어렵다.

반면에 '''유한 퍼텐셜 우물(Finite potential well)'''의 경우 실체를 기술하기에 더 적절하다.
그 예로 GaAs층이 Ga<sub>1-x</sub>Al<sub>x</sub>As 의 두 층 사이에 끼어있는 경우 유한 퍼텐셜 우물로써 기술할 수 있다.

== 정의 ==
[[1차원]] 공간에서 [[퍼텐셜]]이 다음과 같은 구조를 가질 때 이 계를 유한 퍼텐셜 우물이라고 한다.

<math>
V(x) = 
\begin{cases}
0 , & \mbox{if }x<0\mbox { outside} \\
-V_0 , & \mbox{if }0<x<a\mbox { inside}\\
0 , & \mbox{if }a<x\mbox { outside}
\end{cases}
</math>
[[파일:유한 포텐셜 우물.JPG|abc]]

== 유도 ==
시간에 무관한 [[슈뢰딩거 방정식]](Schrödinger equation)을 풀면 입자가 유한 퍼텐셜 우물속에 있을 때의 현상을 살펴볼 수 있다.

=== <math>-V_0<E<0</math>인 경우 (속박 상태) ===
:<math>\psi = 
\begin{cases}
\psi_1, & \mbox{if }x<0\mbox{ (the region outside the well)} \\
\psi_2, & \mbox{if }0<x<a\mbox{ (the region inside the well)} \\
\psi_3 & \mbox{if }x>a\mbox{  (the region outside the well)}
\end{cases}
</math>
라고 하자.

각 영역에서 [[슈뢰딩거 방정식]]은 다음과 같다.

:<math>-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = E \psi_1</math>
:<math>-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_2}{d x^2} -V_0 \psi_2 = E \psi_2</math>
:<math>-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_3}{d x^2} = E \psi_3</math>
:<math>k=\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar}</math>
:<math>q=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}</math>
라고 놓으면 각 영역의 해는 다음과 같다.

:<math>
\begin{align}
\psi_1(x)&=e^{qx}\\
\psi_2(x)&=Ae^{ikx}+ Be^{-ikx}\\
\psi_3(x)&=Ce^{-qx}
\end{align}
</math>

경계 조건(<math>x=0</math>과 <math>x=a</math>에서 <math>\scriptstyle \psi\quad </math> 와 <math>\scriptstyle \frac{d \psi}{dx}\quad </math> 가 연속인 조건)을 이용하면 계수를 구할 수 있고, [[포텐셜 우물]]에서의 해를 구하게 되는 것이다.

정리하면

:<math>
\begin{align}
1&=A+B\\
q&=ik(A-B)\\
Ae^{ika}+Be^{-ika}&=Ce^{-qa}\\
ik(Ae^{ika}-Be^{-ika})&=-qCe^{-qa}
\end{align}
</math>

이 되고, 연립방정식을 풀면 계수는 다음과 같다.

:<math>
\begin{align}
A&=\frac{1}{2}\left(1-i\frac{q}{k}\right)=B^*\\
B&=\frac{1}{2}\left(1+i\frac{q}{k}\right)\\
C&=\frac{1}{2}e^{qa}\left(\frac{k}{q}+\frac{q}{k}\right)\sin{ka}
\end{align}
</math>

경계 조건을 잘 정리하면
:<math>ka=(n-1)\pi+2\cos^{-1}{\sqrt{1+\frac{E}{V_0}}}\ (n=1,2,3,4,...)</math>

을 얻을 수 있고, 이 식과 처음에 정의했던

:<math>k=\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar}</math>

을 그래프로 그려보면 속박 상태를 확인할 수 있다. 이때 그래프의 교점으로부터 속박상태의 에너지를 구할 수 있다.
최종적으로 계산한 파동함수는 다음과 같다.

:<math>
\begin{align}
\psi_1(x)&=e^{qx}\\
\psi_2(x)&=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{E}{V_0}}}\sin\left\{k\left(x-\frac{a}{2}\right)+\frac{n\pi}{2}\right\}\\
\psi_3(x)&=(-1)^{n+1}e^{-q(x-a)}
\end{align}
</math>

== 기타 ==
{{출처 필요 문단|날짜=2022-05-24}}
<math>V_0</math>의 크기가 무한히 커지는 경우 무한 퍼텐셜 우물이 된다. 유한 퍼텐셜 우물의 깊이가 깊어짐에 따라 그래프의 교점의 개수가 증가함을 확인할 수 있으므로 속박상태의 개수가 증가함을 알 수 있다.

퍼텐셜 우물의 경우 우물이 생긴 모양에 따라 대칭성을 이용하면 직관적으로 이해하기 용이하다.
Quantum Dot, Quantum well, Superlattice 같은 구조를 갖는 계의 경우 유한 퍼텐셜 우물의 관점에서 물리적인 현상을 기술할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[양자 역학]]
* [[파동 함수]]
* [[반도체]]
* [[초격자]]
* [[상자속 입자]]

== 참고 자료 ==
* {{서적 인용|저자=Paul Harrison|제목=Quantum Wells|출판사=Wires and Dots|출판위치=Wiley|연도=1999}}
* {{서적 인용|저자=송희성|제목=양자역학|출판사=교학연구사}}

[[분류:양자역학 퍼텐셜]]
[[분류:양자 모형]]