유한환 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''유한환'''(有限環, {{llang|en|finite ring}})은 [[유한 집합]]인 [[환 (수학)|환]]이다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] · [[유사환]] · [[가환환]] · 가환 유사환 가운데, [[유한 집합]]인 것을 각각 '''유한환''' · '''유한 유사환''' · '''유한 가환환''' · '''유한 가환 유사환'''이라고 한다. 이 문서에서, 환 · 가환환은 항상 곱셈 항등원을 가지며, (가환) 유사환은 곱셈 항등원을 가지지 않을 수 있다.

== 성질 ==
모든 유한환은 자명하게 좌·우 [[뇌터 환]]이자 [[아르틴 환]]이다. 가환 유한환의 [[크룰 차원]]은 0차원이며, 그 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]은 유한 개의 점으로 구성된 [[이산 공간]]이다.

모든 유한환 <math>R</math>에서, 모든 원소 <math>r\in R</math>는 [[영인자]]이거나 아니면 [[가역원]]이다. 구체적으로, 만약 <math>r\cdot\colon R\to R</math>가 [[전단사 함수]]라면 이는 가역원이며, 아니라면 영인자이다. 이에 따라, 모든 유한환은 0이 아닌 [[영인자]]를 갖거나 아니면 [[유한체]]이다 ([[웨더번 정리]]).

모든 유한 [[단순환]]은 [[유한체]] 위의 [[행렬환]]과 동형이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\operatorname{Mat}(n;\mathbb F_{p^k})</math>

== 분류 ==
유한 유사환 <math>(R,+,0,\cdot)</math>의 크기의 [[소인수 분해]]가 다음과 같다고 하자.
:<math>|R|=\prod_ip_i^{n_i}</math>
그렇다면 <math>R</math>는 다음과 같은 유사환 [[직합]]으로 나타낼 수 있다.
:<math>R=\bigoplus_iR_i</math>
:<math>|R_i|=p_i^{n_i}</math>
즉, 유한 유사환을 분류하려면, 크기가 소수의 거듭제곱인 것만을 분류하면 족하다.

크기가 <math>p^n</math>인 유한 유사환 <math>(R,+,0,\cdot)</math>을 생각하자. 이는 [[아벨 군]] <math>(R,+,0)</math>에 따라 일차적으로 분류된다. (유한 아벨 군은 모두 완전히 분류되었다.) 또한, 이 아벨 군이 [[순환군]]인 경우, 해당하는 모든 유사환을 분류할 수 있다. 따라서, 순환군이 아닌 소수 거듭제곱 크기의 아벨 군 위의 유한 유사환만을 분류하면 된다.

추가로, 만약 <math>R</math>가 가환환인 경우, <math>R</math>는 (크기가 소수의 거듭제곱인) 유한 [[국소환]]의 직합으로 나타낼 수 있다.

=== 순환군 위의 유사환 ===
덧셈 아벨 군이 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(n)</math>인 유사환 <math>R</math>는 다음과 같이 간단히 분류된다.<ref name="Fine"/>{{rp|Theorem 1}}<ref name="Raghavendran"/> 덧셈 아벨 군의 생성원을 <math>a</math>라고 하자. 즉,
:<math>\{0,a,2a,3a,\dots,(n-1)a\}</math>
의 꼴이다. 이러한 유사환의 곱셈 구조는
:<math>a^2=ka</math>
인 <math>k\in\mathbb Z/n</math>에 의하여 완전히 결정된다. 이러한 유사환은
:<math>\langle a|na,a^2-ka\rangle</math>
와 같이 적을 수 있다. 또한, 이러한 두 유사환이 서로 [[동형]]일 필요충분조건은
:<math>\langle a|na,a^2-ka\rangle\cong\langle a|na,a^2-k'a\rangle\iff \gcd\{k,n\}=\gcd\{k',n\}</math>
이다. 따라서, 순환군 <math>\operatorname{Cyc}(n)</math> 위의 유사환들은 <math>n</math>의 약수들과 일대일 대응한다. 이 가운데, 약수 <math>k\equiv n\equiv 0\pmod n</math>인 경우는 영유사환이며, <math>k\equiv 1\pmod n</math>인 경우는 [[정수환]]의 몫환 <math>\mathbb Z/(n)</math>이다. <math>k\not\equiv1\pmod n</math>인 경우는 곱셈 항등원이 없어 [[환 (수학)|환]]을 이루지 않는다.

=== Cyc(''p'')<sup>⊕2</sup> 위의 유사환 ===
<math>\mathbb Z/p\oplus\mathbb Z/p</math> 위의 유사환은 총 8개이며, 다음과 같다.<ref name="Fine">{{저널 인용|제목=Classification of finite rings of order <math>p^2</math>|jstor=2690742|url=https://www.maa.org/sites/default/files/Classification_of_Finite-Fine04025.pdf|doi=10.2307/2690742|저널=Mathematics Magazine|권=66|호=4|날짜=1993-10|쪽=248–252|issn=0025-570X|언어=en|access-date=2015-04-11|archive-date=2015-04-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20150411032758/https://www.maa.org/sites/default/files/Classification_of_Finite-Fine04025.pdf|url-status=}}</ref>{{rp|Theorem 2}}<ref name="Raghavendran"/><ref name="GM"/>
* 가환환 3개:
** [[유한체]] <math>\mathbb F_{p^2}</math>
** <math>\mathbb F_p\oplus\mathbb F_p</math>
** <math>\mathbb F_p[x]/(x^2)</math> (<ref name="Fine"/>{{rp|Theorem 2}}에서는 G로 수록)
* 가환환이 아닌 가환 유사환 3개:
** <math>\operatorname{Cyc}(p)\oplus\operatorname{Cyc}(p)</math> 위의 영유사환
** <math>\mathbb F_p\oplus\operatorname{Cyc}(p)</math>. 여기서 <math>\operatorname{Cyc}(p)</math>는 동명의 [[순환군]] 위의 영유사환이다.
** <math>(x)\subset\mathbb F_p[x]/(x^3)</math> (<ref name="Fine"/>{{rp|Theorem 2}}에서는 I로 수록)
* 비가환 유사환 2개
** <math>\left\{\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}\colon a,b\in\mathbb F_p\right\}\subset\operatorname{Mat}(2;\mathbb F_p)</math> (<ref name="Fine"/>에서는 E로 수록)
** 위 행렬 유사환의 반대유사환 (<ref name="Fine"/>{{rp|Theorem 2}}에서는 F로 수록)

=== Cyc(''p''<sup>2</sup>) ⊕ Cyc(''p'') 위의 유사환 ===
[[아벨 군]] <math>\operatorname{Cyc}(p^2)\oplus\operatorname{Cyc}(p)</math> 위의 유사환은 <math>p=2</math>일 경우 총 20개, <math>p\ne2</math>일 경우 총 <math>2p+19</math>개가 있다. 이는 다음과 같다.
* 가환환 3개 (<math>p=2</math>일 경우 4개)<ref name="Raghavendran">{{저널 인용|이름=R.|성=Raghavendran|제목=Finite associative rings|저널=
Compositio Mathematica|권=21|호=2|날짜=1969|쪽=195–229|url=http://www.numdam.org/item?id=CM_1969__21_2_195_0}}</ref>
** <math>\mathbb Z/(p^2)\oplus\mathbb F_p</math>
** <math>(\mathbb Z/(p^2))[x]/(px,x^2)</math>
** <math>(\mathbb Z/(p^2))[x]/(px,x^2-p)</math>
** <math>(\mathbb Z/(p^2))[x]/(px,x^2-mp)</math>, <math>m\in\mathbb Z/(p)</math>은 [[제곱잉여]]가 아닌 정수. (<math>p=2</math>일 경우 이는 불가능하다.)
* 나머지는 모두 단위원을 갖지 않는 유사환이다.

=== Cyc(''p'')<sup>⊕3</sup> 위의 유사환 ===
[[아벨 군]] <math>\operatorname{Cyc}(p)^{\oplus3}</math> 위의 유사환은 28개 (<math>p=2</math>인 경우) 또는 <math>p+27</math>개 (<math>p\ne2</math>인 경우)이다.

이 가운데, (곱셈 단위원을 갖춘) 환은 7개이다.<ref name="Raghavendran"/>{{rp|Theorem 14}} 이 가운데 가환환이 아닌 것은 하나밖에 없으며, [[유한체]] 위의 [[삼각행렬]]의 환
:<math>\operatorname{Upper}(2;\mathbb F_p)=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\colon a,b,c\in\mathbb F_p\right\}</math>
이다 (이 환은 스스로의 [[반대환]]과 동형이다).

[[아벨 군]] <math>\operatorname{Cyc}(p)^{\oplus3}</math> 위의 6개의 가환환은 다음과 같다.<ref name="GM">{{저널 인용|제목=Associative rings of order <math>p^3</math>|이름=Robert|성=Gilmer|공저자=Joe Mott|저널=Proceedings of the Japan Academy| 권= 49 | 호=10|쪽= 795–799|권=49|날짜=1973|doi=10.3792/pja/1195519146|mr=0369422|zbl=0309.16015|issn= 0021-4280|언어=en}}</ref>
* <math>\mathbb F_p^{\oplus3}</math>
* <math>\mathbb F_{p^2}\oplus\mathbb Z/(p)</math>
* <math>\mathbb F_p[x]/(x^2)\oplus\mathbb Z/(p)</math>
* [[유한체]] <math>\mathbb F_{p^3}</math>
* <math>\mathbb F_p[x]/(x^3)</math>
* <math>\mathbb F_p[x,y]/(x^2,xy,y^2)</math>

=== 주어진 크기의 유사환의 수 ===
크기가 <math>n</math>인 유한 유사환의 동형류의 수는 다음과 같다 (<math>n=1,2,\dots</math>).
:1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2, … {{OEIS|A27623}}
크기가 <math>n</math>인 유한 가환 유사환의 동형류의 수는 다음과 같다 (<math>n=1,2,\dots</math>).
:1, 2, 2, 9, 2, 4, 2, 34, 9, 4, 2, 18, 2, 4, 4, 162, 2, 18, 2, 18, 4, 4, 2, 68, 9, 4, 36, 18, 2, 8, 2, … {{OEIS|A37289}}
크기가 <math>n</math>인 유한환의 동형류의 수는 다음과 같다 (<math>n=1,2,\dots</math>).
:1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 50, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 12, 4, 1, 1, 1, 208, 1, 1, 1, 16, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 50, 4, 4, 1, 4, 1, 11, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 4, … {{OEIS|A37291}}
크기가 <math>n</math>인 유한 가환환의 동형류의 수는 다음과 같다 (<math>n=1,2,\dots</math>).
:1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 10, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 37, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 10, 4, 1, 11, 4, 1, 1, 1, … {{OEIS|A127707}}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=Rings of small order|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1980-03_64_427/page/n10|이름=Colin R.|성=Fletcher|저널=The Mathematical Gazette|권=64|호=427|날짜=1980-03|쪽=9–22|jstor=3615885|doi=10.2307/3615885|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Siberian Mathematical Journal|날짜=1982-07|권=23|호=4|쪽=457–464|제목=Rings of order <math>p^3</math>|이름=V. G.|성=Antipkin|공저자=V. P. Elizarov|doi=10.1007/BF00968650|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Noncommutative rings of order <math>p^4</math>|저널=Journal of Pure and Applied Algebra|권=97|호=2|날짜=1994-11-25|쪽=109–116|이름=J.B.|성=Derr|공저자=G.F. Orr, Paul S. Peck|doi=10.1016/0022-4049(94)00015-8|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Rings of order <math>p^5</math> Part I. Nonlocal rings|이름=B.|성=Corbas|공저자=G.D. Williams|doi=10.1006/jabr.2000.8349|저널=Journal of Algebra|권=231|호=2|날짜=2000-09-15|쪽=677–690|issn=0021-8693|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Rings of order <math>p^5</math> Part II. Local rings|이름=B.|성=Corbas|공저자=G.D. Williams|doi=10.1006/jabr.2000.8350|저널=Journal of Algebra|권=231|호=2|날짜=2000-09-15|쪽=691–704|issn=0021-8693|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Finite local rings|doi=10.1216/RMJ-1973-3-4-521|저널=Rocky Mountain Journal of Mathematics|mr=364218|zbl=0289.12020|이름=G.|성=Ganske |공저자= B.R. McDonald|권=3|호=4|날짜=1973|쪽=521–540|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://home.wlu.edu/~dresdeng/smallrings/|제목=Small rings|이름=Gregory|성=Dresden|언어=en|확인날짜=2010년 7월 17일|보존url=https://web.archive.org/web/20100717021842/http://home.wlu.edu/~dresdeng/smallrings/|보존날짜=2010년 7월 17일|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=ftp://ftp.mathe2.uni-bayreuth.de/axel/papers/noebauer:the_number_of_small_rings.ps|제목=The numbers of small rings|이름=Christof|성=Nöbauer|언어=en}}{{깨진 링크|url=ftp://ftp.mathe2.uni-bayreuth.de/axel/papers/noebauer:the_number_of_small_rings.ps }}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/7133/classification-of-finite-commutative-rings|제목=Classification of finite commutative rings|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:유한환| ]]
[[분류:환론]]
[[분류:대수적 조합론]]