유한형 사상 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''유한형 사상'''(有限型寫像, {{llang|en|morphism of finite type}}, {{llang|fr|morphisme de type fini}})은 대략 유한 개의 변수에 대한 [[다항 함수]]에 대응하는 [[스킴 (수학)|스킴]] 사이의 사상이다.

== 정의 ==
=== 유한형 환 준동형 ===
두 [[가환환]] 사이의 [[환 준동형]] <math>f\colon R\to S</math>가 주어졌을 때, <math>S</math>는 <math>f</math>를 통해 <math>R</math>-가환 [[결합 대수]]를 이룬다. 만약 <math>S</math>가 <math>R</math>-유한 생성 가환 결합 대수라면 (즉, 만약 어떤 충분히 큰 자연수 <math>n</math>에 대하여 <math>S</math>가 <math>R[x_1,x_2,\dots,x_n]</math>의 <math>R</math>-[[몫환|몫대수]]와 <math>R</math>-가환 결합 대수로서 동형이라면), <math>f</math>를 '''유한형 준동형'''(有限型準同型, {{llang|en|finite-type homomorphism}})이라고 한다.

=== 유한형 사상 ===
이 개념은 [[스킴 (수학)|스킴]]에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다.
[[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[스킴 사상]]을 '''국소 유한형 사상'''(局所有限型寫像, {{llang|en|morphism locally of finite type}})이라고 한다
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[아핀 스킴|아핀]] [[열린 근방]] <math>x\in\operatorname{Spec}R\subseteq X</math> 및 <math>f(x)\in\operatorname{Spec}S\subseteq Y</math>가 존재한다.
*: [[환 준동형]] <math>S\to R</math>은 유한형 준동형이다.
* 다음 조건을 만족시키는 <math>Y</math>의 아핀 [[열린 덮개]] <math>(V_i\cong\operatorname{Spec}R_i)_{i\in I}</math> 및 각 <math>i\in I</math>에 대하여 <math>f^{-1}(V_i)</math>의 아핀 [[열린 덮개]] <math>(U_j\cong \operatorname{Spec}S_j)_{j\in J_i}</math>가 존재한다.
*:각 <math>i\in I</math> 및 <math>j\in J_i</math>에 대하여, [[환 준동형]] <math>R_i\to S_j</math>는 유한형 준동형이다.

[[준콤팩트 함수]]인 국소 유한형 사상을 '''유한형 사상'''(有限型寫像, {{llang|en|morphism of finite type}})이라고 한다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|84}}<ref name="Liu">{{서적 인용
 |이름           = Qing
 |성              = Liu
 |날짜           = 2006-06-29
 |제목           = Algebraic geometry and arithmetic curves
 |translator-first = Reinie
 |translator-last  = Erne
 |총서           = Oxford Graduate Texts in Mathematics
 |volume           = 6
 |출판사        = Oxford University Press
 |isbn             = 978-0-19-920249-2
 |zbl              = 1103.14001
 |mr               = 1917232
 |판              = 2
 |url              = http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |언어           = en
 |확인날짜     = 2017-05-07
 |보존url        = https://web.archive.org/web/20160305003407/http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |보존날짜     = 2016-03-05
 |url-status     = dead
}}</ref>{{rp|87, Definition 3.2.1}}

[[유한 생성 가군]]이 되는 것은 유한 생성 대수가 되는 것보다 매우 강한 조건이며, 따라서 [[유한 사상]]은 유한형 사상보다 매우 더 강한 조건이다.

=== 유한 표시 사상 ===
두 [[가환환]] 사이의 [[환 준동형]] <math>f\colon R\to S</math>가 주어졌을 때, <math>S</math>는 <math>f</math>를 통해 <math>R</math>-가환 [[결합 대수]]를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, <math>f</math>를 '''유한 표시 준동형'''(有限表示準同型, {{llang|en|finitely presented homomorphism}})이라고 한다.
* 만약 어떤 충분히 큰 자연수 <math>n</math>에 대하여, <math>S</math>가 <math>R[x_1,x_2,\dots,x_n]</math>의 <math>R</math>-[[몫환|몫대수]] <math>R[x_1,x_2,\dots,x_n]/\mathfrak a</math>와 <math>R</math>-가환 [[결합 대수]]로서 동형이며, <math>\mathfrak a</math>는 유한 생성 아이디얼로 잡을 수 있다.

이 개념은 [[스킴 (수학)|스킴]]에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. [[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[아핀 스킴|아핀]] [[열린 근방]] <math>x\in\operatorname{Spec}R\subseteq X</math> 및 <math>f(x)\in\operatorname{Spec}S\subseteq Y</math>가 존재한다면, <math>f</math>를 '''국소 유한 표시 사상'''(局所有限表示寫像, {{llang|en|morphism locally of finite presentation}})이라고 한다.
* [[환 준동형]] <math>S\to R</math>은 유한 표시 준동형이다.

[[준콤팩트 함수]]이자 [[준분리 사상]]인 국소 유한 표시 사상을 '''유한 표시 사상'''(有限表示寫像, {{llang|en|morphism of finite presentation}})이라고 한다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
|| 스킴 사상 || ⊃ || 국소 유한형 사상 || ⊃ || 유한형 사상 || ⊃ || [[고유 사상]] || ⊃ || [[유한 사상]] || ⊃ || [[닫힌 몰입]]
|-
|| || || ∪ || || ∪
|-
|| || || 국소 유한 표시 사상  || ⊃ || 유한 표시 사상
|-
|| || || ∪
|-
|| || || [[에탈 사상]]
|-
|| || || ∪
|-
|| || || [[열린 몰입]]
|}

[[공역]]이 [[국소 뇌터 스킴]]인 [[스킴 사상]]의 경우,
:국소 유한형 사상 = 국소 유한 표시 사상
:유한형 사상 = 유한 표시 사상
이 성립한다.

=== 닫힘 ===
<math>\mathfrak P</math>가 유한형 사상 · 국소 유한형 사상 · 유한 표시 사상 · 국소 유한 표시 사상 · [[유한 사상]] 조건 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* (합성에 대한 닫힘) <math>X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ</math>에 대하여, 만약 <math>f</math>와 <math>g</math>가 <math>\mathfrak P</math>-사상이라면 <math>g\circ f</math> 역시 <math>\mathfrak P</math>-사상이다.
* (밑 변환에 대하여 안정) <math>X\xrightarrow fY\leftarrow Y'</math> 에 대하여, 만약 <math>f</math>가 <math>\mathfrak P</math>-사상이라면 밑 변환 <math>f'\colon X\times_YY'\to Y'</math> 역시 <math>\mathfrak P</math>-사상이다.
* ([[fpqc 위상]]에서의 [[내림 이론|내림]]) <math>X\xrightarrow fY\xleftarrow gY'</math>에 대하여, 만약  밑 변환 <math>f'\colon X\times_YY'\to Y'</math>가 <math>\mathfrak P</math>-사상이며, <math>g</math>가 [[fpqc 사상]]이라면 <math>f</math> 역시 <math>\mathfrak P</math>-사상이다.
여기서 [[fpqc 사상]]은 [[평탄 사상]]이며, [[전사 함수]]이며, 공역 속의 임의의 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[열린집합]]에 대하여 이를 [[상 (수학)|상]]으로 하는 [[정의역]]의 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[열린집합]]이 존재하는 [[스킴 사상]]이다.

== 예 ==
체 <math>K</math>에 대하여, [[아핀 공간]] <math>\mathbb A^n_K=\operatorname{Spec}K[x_1,\dots,x_n]</math>은 자연스러운 사상
:<math>\mathbb A^n_K\to\mathbb A^0_K=\operatorname{Spec}K</math>
을 갖는다. 이는 유한형 사상이지만, <math>n>0</math>이라면 [[유한 사상]]이 아니다.

[[환 준동형]]
:<math>K[x]\to K[x,y]/(y^2-x^3-x)</math>
으로 유도되는 아핀 스킴 사상
:<math>\operatorname{Spec}K[x,y]/(y^2-x^3-x)\to\mathbb A^1_K</math>
는 [[유한 사상]]이며 따라서 유한형 사상이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=morphism of finite type|title=Morphism of finite type}}
* {{nlab|id=morphism of finite presentation|title=Morphism of finite presentation}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/12/26/the-finite-presentation-trick-or-how-to-get-the-non-noetherian-form-of-chevalleys-theorem/|제목=The finite presentation trick: Or, how to get the non-noetherian form of Chevalley’s theorem|이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2010-12-26|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/1634/finite-type-finite-morphism|제목=Finite type/finite morphism|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/36737/why-does-finitely-presented-imply-quasi-separated|제목=
Why does finitely presented imply quasi-separated?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[고유 사상]]

{{전거 통제}}

[[분류:스킴 이론]]