유클리드 정역 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조}}
'''유클리드 정역'''(Euclid整域, {{lang|en|Euclidean domain}}), 또는 '''유클리드 환'''(-環, {{lang|en|Euclidean ring}})은 특수한 구조를 가지고 있어서 [[유클리드 호제법]]과 비슷한 과정이 가능한 [[정역]]을 부르는 말이다.

== 정의 ==
[[정역]] <math>R</math> 위의 '''유클리드 함수'''({{llang|en|Euclidean function}}) <math>f\colon R \setminus \{0\} \to \mathbb N</math>는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.
* 임의의 <math>a\in R</math> 및 <math>b\in R\setminus\{0\}</math>에 대하여,{{mindent|<math>a=bq+r</math>}}이며 <math>r=0</math> 또는 <math>f(r)<f(b)</math>인 <math>q,r\in R</math>가 존재한다.
'''유클리드 정역'''은 유클리드 함수가 적어도 하나가 존재하는 정역이다.

일부 문헌에서는 유클리드 함수의 정의에 다음 조건을 추가하기도 한다.
* 임의의 <math>a,b\in R\setminus\{0\}</math>에 대하여, <math>f(a)\le f(ab)</math>
그러나 이 조건을 추가해도 유클리드 정역의 정의는 바뀌지 않는다. 즉, (더 약한 정의에 대한) 유클리드 함수를 갖춘 정역은 항상 더 강한 정의에 대한 유클리드 함수를 갖춘다.

== 성질 ==
모든 [[체 (수학)|체]]는 자명하게 유클리드 정역을 이루며, 모든 유클리드 정역은 [[주 아이디얼 정역]]이다. 일반적으로, 다음 포함 관계가 성립한다.
:[[가환환]] ⊋ [[정역]] ⊋ [[정수적으로 닫힌 정역]] ⊋ [[크룰 정역]] ⊋ [[유일 인수 분해 정역]] ∪ [[데데킨트 정역]] ⊋ [[유일 인수 분해 정역]] ∩ [[데데킨트 정역]] = [[주 아이디얼 정역]] ⊋ 유클리드 정역 ⊋ [[체 (수학)|체]]

== 예 ==
* [[정수환]] <math>\mathbb{Z}</math>는 유클리드 정역을 이루며, 이 경우 유클리드 함수를 [[절댓값]] <math>|\cdot|</math>으로 잡을 수 있다. 절댓값이 유클리드 함수라는 것은 [[나눗셈 정리]]의 따름정리다.
* 체 <math>K</math> 위의 [[다항식환]] <math>K[x]</math>는 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 다항식의 차수 <math>\deg p\in\mathbb N</math>이다.
* 체 <math>K</math> 위의 [[형식적 거듭제곱 급수]]의 환 <math>K[[x]]</math> 역시 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 형식적 거듭제곱 급의 차수 <math>\deg p\in\mathbb Z</math>이다.
* [[가우스 정수]]의 환 <math>\mathbb Z[i]</math>은 유클리드 정역이다. 이 경우 유클리드 함수는{{mindent|<math>f(a+bi)=a^2+b^2\in\mathbb N</math>}}와 같이 정의할 수 있다.

=== 다항식환의 유클리드 함수 ===
다항식환 <math>K[x]</math>에서, 차수 <math>\deg</math>가 유클리드 함수를 이룬다는 사실은 다음과 같이 보일 수 있다. <math>f,g\in K[x]</math>이며, <math>g\ne0</math>이라고 하자. 이 경우,
:<math>f=gq+r</math>
이며 <math>\deg r<\deg g</math>인 <math>q,r\in K[x]</math>의 존재를 보이면 된다.

집합 <math>S\subset K[x]</math>를
:<math>S=\{f-gh\colon h\in K[x]\}</math>
와 같이 정의하자. 자명하게, <math>S</math>가 공집합일 수는 없다. <math>r</math>를 <math>S</math>의 원소 중 차수가 제일 작은 다항식이라 하자. 그렇다면
:<math>f=gq+r</math>
를 만족시키는 <math>q\in K[x]</math>가 존재한다. 이제, <math>\deg r<\deg g</math>이거나 <math>\deg r\ge\deg g</math>이다. [[귀류법]]을 사용해, <math>\deg r\ge\deg g</math>라고 가정하자.
:<math>r=ax^{\deg r}+\cdots</math>
:<math>g=bx^{\deg g}+\cdots</math>
라면,
:<math>\tilde r=r-(a/b)x^{\deg r-\deg g}g\in S</math>
이지만
:<math>\deg\tilde r<\deg r</math>
이므로 모순이다.

=== 유클리드 정역을 이루는 대수적 정수환 ===
[[허수 이차 수체]] <math>\mathbb Q(\sqrt{-d})</math>의 [[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{-d})}</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{-d})}</math>는 유클리드 정역을 이룬다.
* [[체 노름]] <math>f(a+b\sqrt{-d})=a^2+b^2d</math>은 <math>\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{-d})}</math>의 유클리드 함수이다.
* <math>d=1,2,3,7,11</math>

[[실수 이차 수체]] <math>\mathbb Q(\sqrt d)</math>의 [[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[체 노름]]의 [[절댓값]] <math>f(a+b\sqrt d)=|a^2-b^2d|</math>은 <math>\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}</math>의 유클리드 함수이다.
* <math>d=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73</math> {{OEIS|A003174}}
만약 <math>d=14</math>일 경우, <math>\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{14})}</math>는 [[체 노름]]이 아닌 유클리드 함수를 갖는다.

== 같이 보기 ==
* [[나눗셈 정리]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Euclidean ring}}
* {{매스월드|id=EuclideanRing|title=Euclidean ring}}
* {{웹 인용
|url=https://math.stackexchange.com/questions/1148364/what-is-the-euclidean-function-for-mathbbz-sqrt14
|제목=What is the Euclidean function for Z[√14]?
|웹사이트=Mathematics Stack Exchange
|언어=en
}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:에우클레이데스]]