유전환 문서 원본 보기

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[[환론]]에서, '''유전환'''(遺傳環, {{llang|en|hereditary ring}})은 [[사영 가군]]의 [[부분 가군]]이 역시 [[사영 가군]]인 [[환 (수학)|환]]이다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 환을 '''왼쪽 유전환'''(-遺傳環, {{llang|en|left hereditary ring}})이라고 한다.
* [[사영 왼쪽 가군]]의 [[부분 가군]]은 사영 가군이다.
* 모든 [[왼쪽 아이디얼]]이 [[사영 왼쪽 가군]]이다.
* <math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] 범주 <math>_R\operatorname{Mod}</math>의 [[대역 차원]]은 1 이하이다. 즉, 모든 [[왼쪽 가군]]의 [[사영 분해]]의 길이는 1 이하이다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 환을 '''왼쪽 반유전환'''(-半遺傳環, {{llang|en|left semihereditary ring}})이라고 한다.
* [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[사영 왼쪽 가군]]의 [[부분 가군]]은 [[사영 왼쪽 가군]]이다.
* 모든 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[왼쪽 아이디얼]]이 [[사영 왼쪽 가군]]이다.

마찬가지로 '''오른쪽 유전환'''(-遺傳環, {{llang|en|right hereditary ring}})과 '''오른쪽 반유전환'''(-半遺傳環{{llang|en|right semihereditary ring}})을 정의할 수 있다.

물론, [[가환환]]의 경우 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

== 성질 ==
[[반단순환]]은 항상 왼쪽 유전환이자 오른쪽 유전환이다.

[[정역]]의 경우, 유전환인 것은 [[데데킨트 정역]]인 것과 [[동치]]이며, 반유전환인 것은 [[프뤼퍼 정역]]인 것과 [[동치]]이다.

== 예 ==
[[삼각환]]
:<math>\begin{pmatrix}
\mathbb Q&\mathbb Q\\
0&\mathbb Z\end{pmatrix}</math>
은 왼쪽 유전환이지만 오른쪽 유전환이 아니다.<ref>{{저널 인용|제목=An example in Noetherian rings|이름=Lance W.|성=Small|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|pmc=219787|날짜=1965-10|권=54|호=4|쪽=1035–1036|mr=0188252|doi=10.1073/pnas.54.4.1035|언어=en}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Semi-hereditary ring}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Hereditary_Ring|제목=Definition: hereditary ring|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Semihereditary_Ring|제목=Definition: semihereditary ring|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://www.math.uni-bielefeld.de/~ringel/opus/ext2.pdf|제목=What is a hereditary algebra? (on Ext<sup>2</sup> and the vanishing of Ext<sup>2</sup>)|이름=Claus Michael|성=Ringel|날짜=2011|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:환론]]
[[분류:호몰로지 대수학]]