유리 함수 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|유리 함수층|대수학에서의 유리 함수|[[대수다양체]]나 [[스킴 (수학)|스킴]] 위의 유리 함수}}
{{구별|유리형 함수|유리 사상}}
[[대수학]]과 [[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''유리 함수'''(有理函數, {{llang|en|rational function}})란 두 [[다항함수]]의 비로 나타낼 수 있는 함수다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>n</math>변수의 '''유리 함수체''' <math>K(x_1,\dots,x_n)</math>는 [[다항식환]]의 [[분수체]]이다.
:<math>K(x_1,\dots,x_n)=\operatorname{Frac}(K[x_1,\dots,x_n])</math>
유리 함수체의 원소를 '''유리 함수'''라고 한다.

즉, 유리 함수체에 속하는 함수는 다항식들의 비, 즉
:<math>\frac{p(x_1,\dots,x_n)}{q(x_1,\dots,x_n)}\qquad(p,q\in K[x_1,\dots,x_n],\;q\ne0)</math>
의 꼴이며, 약분을 해서 같아지는 다항식들의 비는 같은 유리 함수로 간주한다.

== 성질 ==
체의 계수를 갖는 유리 함수들은 [[체 (수학)|체]]를 이룬다. 즉,  [[교환법칙]], [[결합법칙]], [[분배법칙]]이 성립한다.

유리 함수체의 경우 체의 동형
:<math>K(x_1,\dots,x_n)\cong K(x_1)(x_2)\cdots(x_n)</math>
이 존재한다.

유리 함수체는 [[대수적으로 닫힌 체]]가 아니며, 그 [[대수적 폐포]]를 [[대수 함수]]의 체 <math>\overline{K(x_1,\dots,x_n)}</math>라고 한다.

=== 테일러 급수 ===
유리 함수를 [[테일러 급수]]로 표현했을 때, 그 계수를 [[동류항]] 정리를 통해 일차 [[점화식]]으로 나타낼 수 있다.

예를 들어, 다음 유리 함수의 [[테일러 급수]]를 생각하자.
:<math>\frac{1}{x^2 - x + 2} = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.</math>
양변에 분모를 곱하여 분해할 수 있다.
:<math>1 = (x^2 - x + 2) \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k</math>
:<math>1 = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+2} - \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+1} + 2\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.</math>
그리하여 동류항 정리를 통해 다음 등식을 얻는다.
:<math>1 = \sum_{k=2}^{\infty} a_{k-2} x^k - \sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1} x^k + 2\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.</math>
결국 이 과정을 통해 최초 주어진 유리식을 테일러 전개했을 때, 계수의 일차 점화식을 얻을 수 있다. 이 점화식을 풀면 직접 일반항을 얻을 수 있다.
:<math>a_0 = \frac12</math>
:<math>a_1 = \frac14</math>
:<math>a_{k} = \frac12(a_{k-1} - a_{k-2})\qquad(k\ge2)</math>

== 무리함수 ==
[[파일:RationalDegree3byXedi.gif|섬네일|right|250px|3차 유리 함수 <math>\frac{(x^3-2x)}{(2(x^2-5))}</math>의 그래프]]

유리 함수
:<math>x\mapsto \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}</math>
는 <math>x=\pm \sqrt{5}</math>에서 값이 정의되지 않는다.

유리 함수
:<math>x\mapsto \frac{x^3-2x}{2(x^2+5)}</math>
는 모든 실수에서 정의되지만 모든 복소수에서 정의되는 것은 아니다.

유리 함수
:<math>x\mapsto \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}</math>
는 <math>x</math>가 무한히 커지면 <math>x/2</math>에 접근한다.

== 같이 보기 ==
* [[유리형 함수]]
* [[유리 사상]]
* [[유리 함수층]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Rational function}}

{{전거 통제}}

[[분류:유리형 함수]]
[[분류:대수다양체]]