유리 표준형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서 '''유리 표준형'''(有理標準型, {{llang|en|rational canonical form}}) 또는 '''프로베니우스 표준형'''(Frobenius標準型, {{llang|en|Frobenius canonical form}})은 임의의 [[체 (수학)|체]]를 성분으로 하는 [[정사각 행렬]]을 그와 [[행렬의 닮음|닮은]], 동반 행렬들의 직합으로 나타내는 행렬 표준형이다.<ref name="Hungerford">{{서적 인용
|이름1=Thomas W.
|성1=Hungerford
|제목=Algebra
|언어=en
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=73
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=1974
|isbn=978-0-387-90518-1
|issn=0072-5285
|doi=10.1007/978-1-4612-6101-8
|zbl=0442.00002
|mr=0600654
}}</ref><ref name="Roman">{{서적 인용
|이름1=Steven
|성1=Roman
|제목=Advanced Linear Algebra
|언어=en
|판=3
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=135
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2008
|isbn=978-0-387-72828-5
|issn=0072-5285
|doi=10.1007/978-0-387-72831-5
|lccn=2007934001
|mr=2344656
|zbl=1132.15002
}}</ref>

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>를 계수로 하는 [[일계수 다항식]]
:<math>p(x)=a_0+a_1x+\cdots a_{\deg p-1}x^{\deg p-1}+x^{\deg p}\in K[x]</math>
:<math>a_0,a_1,\dots,a_{\deg p-1}\in K</math>
의 '''동반 행렬'''(同伴行列, {{llang|en|companion matrix}})은 다음과 같은 <math>\deg p\times\deg p</math> [[정사각 행렬]]이다.
:<math>C(p)=
  \begin{pmatrix}
    0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\
    1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\
    0 & 1 & \cdots & 0 & -a_2 \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \\
    0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{\deg p-1}
  \end{pmatrix}
\in\operatorname{Mat}(\deg p;K)
</math>

=== 유리 표준형 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 임의의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 [[가역 행렬]] <math>G\in\operatorname{GL}(n;K)</math> 및 유일한 [[일계수 다항식]] 집합 <math>\{d_1,d_2,\dots,d_k\}\subset K[x]</math>이 존재하며, <math>G^{-1}MG</math>를 <math>M</math>의 '''(불변 인자) 유리 표준형'''({{llang|en|(invariant factors) rational canonical form}})이라고 한다.
:<math>G^{-1}MG=\operatorname{diag}(C(d_1),C(d_2),\dots,C(d_k))</math>
:<math>d_k(x)\mid d_{k-1}(x)\mid\cdots\mid d_1(x)</math>
:<math>\deg d_i\ge 1\qquad(\forall i\in\{1,2,\dots,k\})</math>
이는 <math>M</math>으로 유도되는 <math>K[x]</math>-[[가군]]
:<math>K^n</math>
:<math>x\cdot v=Mv\qquad(\forall v\in K^n)</math>
의 [[불변 인자 분해]]
:<math>K^n\cong K[x]/(d_1(x))\oplus K[x]/(d_2(x))\oplus\cdots\oplus K[x]/(d_k(x))</math>
에서, <math>M</math>에 대응하는 <math>K</math>-[[선형 변환]] <math>v\mapsto x\cdot v</math>의 다음과 같은 [[기저 (선형대수학)|기저]]에 대한 행렬이다.
:<math>\left\{1+(d_i(x)),x+(d_i(x)),\dots,x^{\deg d_i-1}+(d_i(x))\right\}\subset K[x]/(d_i(x))\qquad(i=1,2,\dots,k)</math>

=== 으뜸 유리 표준형 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 임의의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[가역 행렬]] <math>G\in\operatorname{GL}(n;K)</math> 및 유일한 [[기약 다항식|기약]] [[일계수 다항식]]의 양의 거듭제곱의 [[중복집합]] <math>\{p_1^{e_1},p_2^{e_2},\dots,p_l^{e_l}\}\subset K[x]</math>이 존재하며, <math>G^{-1}MG</math>를 <math>M</math>의 '''으뜸 유리 표준형'''({{llang|en|primary rational canonical form}}) 또는 '''초등 인자 유리 표준형'''({{llang|en|elementary divisors rational canonical form}})이라고 한다.
:<math>G^{-1}MG=\operatorname{diag}(C(p_1^{e_1}),C(p_2^{e_2}),\dots,C(p_l^{e_l}))</math>
이는 <math>K[x]</math>-[[가군]]
:<math>K^n</math>
:<math>x\cdot v=Mv\qquad(\forall v\in K^n)</math>
의 [[으뜸 분해]]
:<math>K^n\cong K[x]/(p_1^{e_1}(x))\oplus K[x]/(p_2^{e_2}(x))\oplus\cdots\oplus K[x]/(p_l^{e_l}(x))</math>
에서, <math>K</math>-[[선형 변환]] <math>v\mapsto x\cdot v</math>의 다음과 같은 [[기저 (선형대수학)|기저]]에 대한 행렬이다.
:<math>\left\{1+(p_i^{e_i}(x)),x+(p_i^{e_i}(x)),\dots,x^{\deg(p_i^{e_i})-1}+(p_i^{e_i}(x))\right\}\subset K[x]/(p_i^{e_i}(x))\qquad(i=1,2,\dots,l)</math>

== 역사와 어원 ==
[[페르디난트 게오르크 프로베니우스]]가 도입하였다.<ref name="Frobenius">{{저널 인용
|이름1=G.
|성1=Frobenius
|제목=Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten
|언어=de
|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik
|권=86
|쪽=146–208
|날짜=1879
|issn=1435-5345
|mr=1579769
}}</ref><ref name="Hawkins">{{저널 인용
|이름1=Thomas
|성1=Hawkins
|제목=Weierstrass and the Theory of Matrices
|언어=en
|저널=Archive for History of Exact Sciences
|권=17
|호=2
|쪽=119–163
|날짜=1977
|issn=0003-9519
|doi=10.1007/BF02464978
|jstor=41133484
|mr=528299
}}</ref> ‘유리’({{llang|en|rational}})라는 표현은 유리 표준형이 임의의 체를 성분으로 하는 행렬에 대하여 성립하기 때문에 유리 표준형을 얻기 위해 체를 확대할 필요가 없다는 사실을 일컫는다.

== 같이 보기 ==
* [[스미스 표준형]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=RationalCanonicalForm|제목=Rational canonical form}}

[[분류:행렬 분해]]